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好吧，Kanlee，我错了，我错怪你了。 那么我上传的这个东西算是我以前说的intuition的补充吧，证明过程就是按照我以前帖子里面的intuition来的。
我干么找irvingy，我怕了脾气这么大的人。。。。好像他天下第一似的。见多了牛人好好做presenation和seminar的，
就是没有讲过这么“牛”的人
上次有个人说你，或者你自己在帖子里面说，“在衍生物里面不适合使用Ito caculus”，或者类似这样的表述。当然我不确定你是否确实说过，或者确实有这样的想法。 如果真的有这样的疑问，我找一个资料给你看啊，呵呵，题目叫做
why we need Ito caculus in finance
以前没有看过你写的东西,看到别人对你的评论,我也就跟着评论,然后我觉得对dw square质疑是不可以思议的...,对此表示抱歉
其实我也没有改多少,就是对你的第一个表达式就有疑问,请见我的修改
另外,我觉得很多争吵的人,都是纯粹的争吵, 如果要使得争论有意义,还是多写几个数学表达式吧,
kanlee的证明是没有错的，因为我自己也证明过，问题是人家用的就不是微分形式。很多教科书上用微分形式的证明，那在数学上本身就是不严谨的，这点估计现在很多教的老师自己都不清楚。
附件中是shreve的书，其中关于微分和积分形式的我特意找出来了。shreve说的很明白了dw^2=dt是１０５开头，"We write informally......"下面一段解释了这个dw^2=dt的数学含义。
微分方程的那边也是一样，147页开头就讲了，１４６页的"Theorem 4.4.６is stated in mathematically precise language." 微分那个形式为了方便而已，所有的严格数学证明都是在积分形式下完成的，根本也就没有用到dw^2=dt这个条件。
这样子解释应该可以了吧．．．．
他贴了两个doc文件证明BS是错的，我大概的看了第一个，根据主要是Ito's lemma是适用于积分的，而不是适用于微分的，换句话说(dB)^2 = dt是错的，因为dB是个随机变量，(dB)^2也是个随机变量，它的方差是和(dt)^2同阶的，它的标准差和dt是同阶的，不能忽略，所以在dt的时间内，delta hedging不能消掉(dB)^2，所以无风险套利不存在，所以不能得到BS PDE，所以整个BS都错了，错了30多年，然后整个衍生产品定价理论, Girsanov theorem，martingale measure都是错的，根本就在于这个微分(dB)^2 = dt是错的
说(dB)^2“等于”dt确实是错的，(dB)^ = dt数学上是没有意义的，垃圾树说的就是这个
另外delta hedging推BS PDE确实是不严格的，也就是大多书里面的推法，比如Hull和Wilmott，这一点20多年前就有人指出来了，因为underlying加option的portfolio不是self financing的，但是推导不严格不说明结果是错的，原因是多出来的一项是martingale，这个在Musiela & Rutkowski里面有讲到
严格的推导是underlying加option加money market account构成self financing portfolio，然后证明这个portfolio agrees with option payoff at maturity almost surely，比如Shreve和Baxter & Rennie
我现在也看了他的证明了，不知道是第一个还是第二个版本，
不过个人认为，错误的原因都不是那些基本的数学问题，比如积分形式好啊，还是微分形式好。那东西只要自己写表达式的时候心理有数就行了吧。 我认为主要错误是他的第一个表达式（定理）有问题，我疑问和说明在以前的回帖中传了一个附件说明。希望kanlee也给我一个关于他使用的那个定理的说明，看看到底那里错了？
总的说来，大家还是创召一个平静的争论环境吧。大家不要攻击了，Kanlee先生也改改你自己版上的狂妄语气吧。
上传一个附件，算是一个BS model的推导吧，有兴趣的人可以看看
[此贴子已经被作者于2008-3-20 9:40:51编辑过]
干什么，恼羞成怒了
一，我从来没说过我要原创
二，我说要推导Black-Scholes PDE，没说要证明Ito's lemma。kanlee纠缠了半天也承认Ito's lemma是对的，所以好像没必要我再推一遍。现在讨论的是怎么用Ito's lemma，不是怎么证Ito's lemma。你没又看到证明，正常，因为我根本就没证明。既然我没有证明，关于(dW)^2和Ito's lemma的过程也谈不上intuition，我自己写的都没有看到intuition，你倒看见了，佩服。
三，Bjork的讲义在这里，http://www.hhs.se/Finance/PhDProgram/PhDCoursesInFinance/FinIILiterature.htm
在你73楼贴的证明里，除了以下这两段以外
首先kanlee的证明暗合financial economy no－arbitrage的证明思路，虽然他的证明中没有self－financing 等setting。 但是个人认为kanlee的证明的第一个表达式（定理），我有怀疑，关于次怀疑的附件pdf已经在以前的回帖中上传。
最近有点空，把BS推导大致写一下吧。推导中是整个financial econmy『bank account，stock，option』实现no－arbitrage。 证明过程大概是在选择一个portfolio which includes Stock and Option，让这个portfolio 的收益也是银行利率r，我把详细的证明过程写一下把（证明过程在13－16页，前面其它部分是一些详细的说明把，可以直接去看最后4页的证明，如果有疑问请在前面12页中寻找详细说明）
注意：该证明不是martingale approach的严格证明，但是严格证明的思路基本如此，只不过写的更加数学化严格化而已。希望某些喜好追求严格证明的人士不要就此来责问我。。。
全部来自于Lecture 2，直接的连接在这里，http://www.hhs.se/NR/rdonlyres/E5F2AC93-8522-452C-BCB1-C1FA9A4A8857/0/TBIII.pdf
而且全部是copy & paste，到最后也没有看见Bjork的名字
看清楚了，你说的是“最近有点空，把BS推导大致写一下吧”，要么你所谓的“写”是指copy & paste并且不注明来源，要么你一开始的两段中文化了你狠多时间，而且你认为这两段才是“把BS推导大致写一下”，一定要等你“有点空”了才能完成
四，我不受打击。我上来就说了nothing new，我在paraphrasing Musiela & Rutkowsi。我的Black-Scholes PDE证明是数学上严格的，好吧，不是我的证明，是Merton原创的，不过好像我没有把Merton藏起来，我没有忘记说credited to Merton。按照我的逻辑，最后加上作者的名字和文献就行了
OK,你的解释够牛够牛，佩服了
有空就去看看kanlee关于CAPM的证明吧。不要和我jjyy了，我是佩服你了。。。。(我和stocholm以及那里的讲义没有关系）
不过我到现在也没有看kanlee的capm，但是既然已经说了要看证明，那么必定会给他一个答复的；无论是没法说服他也罢，没有指出错误也罢。总要对人家有个交代吧。
如果有人确实对严格数学证明有兴趣，敝人不才，建议他们看看Real Analysis， Royden 写的，国内fudan u，数学大二下学期用这本书，课时60小时。老师认为没法讲完全书，所以选择了其中章节的： 集合论，实数域够造，一般测度论，一般积分理论。 但是没有讲几个具体的测度论和积分论章节（比如lebesgue 测度和lebesgue积分）
对于随机数学，我总共三个学期也才90学时，应该说是乱学的.。。。（这点比较郁闷）
老师给的参考书目很多很多的，但是几乎都是为了寻找家庭作业的答案才看的
主要看的还是老师的讲义了（几乎没有定理证明的，都是intuition），这个讲义的思路我现在才明白是走real analysis的路子，而不是走probablilty路子。 这种路子经典的文章发源于bonn university，被叫做foellmer approach了，他写了一片文章叫做，Ito caculus without probability。 改日我找到了相关的文章和讲义资料，再传过来。
至于别的随机数学课本和体系，敝人几乎一无所知（只能这么形容了。。）
最后提一下，kanlee再他的版上，提到了 ”股票或者利率等的瞬时波动真的是GBM等随机dynamics?"，希望irvingy等达人提供点相关资料吧。我现在看过的资料基本还是foellmer体系的。基本答案就是“如果不用ito cacuclus，那么聪明人就可以通过买卖套利了。
ito caculus without probability （paper）
why do we need ito caculus in finance，希望对kanlee有用，我截取别人的讲义而成
[此贴子已经被作者于2008-3-21 15:12:27编辑过]
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