这个很正常的，如果自变量跟控制变量相关的话，系数会发生变化

那如果自变量*调节变量显著，就证明调节作用存在，自变量不显著也没关系吗

没关系啊，调节效应是否显著关键看交互项是否显著啊。

应该没有调节作用。调节变量加入，是在保证自变量与因变量仍显著相关的前提下，改变二者之间的显著性程度，但没有把显著关系变为不显著这种说法。推荐大家看一下下面这篇文章，不管看多少遍都感觉怪怪的！
张琨, 杨丹. 董事会性别结构、市场环境与企业绩效[J]. 南京大学学报（哲学·人文科学·社会科学）, 2013, 50(5)42-52.