再谈一谈《高维欧氏几何学》一书中有经验性意义的内容。
　　《高维欧氏几何学》有着广泛的应用前景。为了验证这一说法，书中对《高维欧氏几何学》在运筹学领域的规划问题的应用方法进行了探讨。　　
　　规划问题分为线性规划和非线性规划。
　　根据规划问题的需要，我创立了“特定n维系图解法”。所谓“特定n维系图解法”，就是将目标函数和约束条件的方程都用特定n维系中的图形来进行表示，分别称作“目标泛曲面”和“约束泛平面”。
　　规划问题将参与运算的“量”分为两种，一种是约束方程中的“量”，通常是变量，故可称约束变量，另一种是反映目标函数值的“量”。但传统的规划问题是从线性规划问题开始入手的，而线性规划由于有了一种统一的解决办法——单纯形法，在单纯形法中，反映目标函数值的“量”基本上是被作为一种常量对待的。所以，受这一方法影响，非线性规划问题的解决过程中实际上也将目标数量当作了常量。
　　传统的求解非线性规划问题的方法一方面苦苦地追求目标函数的最佳值，另一方面却没有把反映目标函数值的“量”真正地当作变量。
　　“特定n维系图解法”则将约束变量与反映目标函数值的“量”一起都作为变量去考虑。从表面看来，这样做的结果无形之中增加了一个变量，但是，相应的运算效果反而却大大提高了。这是什么原因呢？从逻辑上讲，由于将目标函数真正地当作了变量，就在思维模式上比传统的求解方式多出了一维。这意味着什么呢？意味着我们将所要观察和研究的对象全部放在一个广阔的平面状区域（即泛坐标面）上，而我们却站在空中去观察和研究它们。显然，这要比我们原先只是站在那个平面状区域上进行观察和研究要更加视野开阔，更加容易把握全局。
　　过去，人们为在非线性规划问题中没有一个象在线性规划中的单纯形法那样的统一算法而感到遗憾，并为此而进行了不懈的努力。但是，始终无法跳出极值理论的局限。其中的内点法，曾被认为是近乎完美的方法。但内点法的设想虽很新颖，但却未免失之于天真。因为内点法最终只是将约束条件的方程由不等式化为了等式，改变了方程的形式，同时也不免改变了它们的解析性质，因而导致了错误的结果（见《数学界的洋相之一——“内点法”错误举例》，相关链接：http://club.cat898.com/newbbs/dispbbs.asp?BoardID=41&ID=1827247）。“特定n维系图解法”指出，极值问题与目标函数的最佳值之间没有直接的、必然的（只有间接的、偶然的）联系。
　　“特定n维系图解法”有几个值得关注的亮点：在线性规划方面，解决了在不同斜轴变换下，只要保持使目标泛平面呈面状，则单纯形各顶点在泛坐标面上的直观位置在一条平行于目标迹线（目标泛平面与水平坐标面相交的交线）的直线上移动，即，单纯形各顶点到目标迹线的直观距离不变，这一原理称为“恒距定理”；单纯形各顶点离目标迹线距离越远，目标函数值越大，距离目标迹线最远的顶点，即是所求的最优点，这一原理称为“最优点定理”。在非线性规划方面，当目标泛曲面为“空心”时，根据不同情况提出了三种不同的搜索方法：简单平移法，膨胀平移法，膨胀率法；当目标泛曲面为“实心”时，可采用“绝对差”法。其中，“绝对差”法有待于人们通过进一步实践逐步加以完善，最终将有可能成为解决包括线性规划在内的所有规划问题的统一的主流算法。
　　在创立“特定n维系图解法”过程中，还得到了一个不大不小的意外收获：提出了对单纯形法进行改进的办法——隐藏松驰变量法。单纯形法若按照这种思路进行改进，将使得计算量减少近50%！

（转自凯迪论坛文化散论《真实的牛顿苹果叫哈雷》）

[此贴子已经被作者于2008-1-19 11:27:21编辑过]