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Q=1010.208318

需要详细求解过程吗？

需要，谢谢！

我不太明白你的意思。
应该是：$f\left(x \right)$是$N\left(1000,250 \right)$的密度函数吧。如果是这样的话，楼上正解。
Q约为1010.208318475766
Q的准确值为：$-10 \left(\sqrt{5} \text{erfc}^{-1}\left(\frac{1}{27} \left(27 \text{erfc}\left(20 \sqrt{5}\right)+40\right)\right)-100\right)$

为了方便查看，这里整理一下楼上的做法：

设$\xi \sim N\left( 0,1 \right)$，$\eta \sim N\left( 1000,250 \right)$。

则有

$P\left\{ 0\le \eta \le Q \right\}=P\left\{\frac{0-1000}{\sqrt{250}}\le \xi \le \frac{Q-1000}{\sqrt{250}} \right\}$

$=P\left\{ \xi \le\frac{Q-1000}{\sqrt{250}} \right\}-P\left\{ \xi \le \frac{0-1000}{\sqrt{250}}\right\}$

所以

$P\left\{ \xi \le \frac{Q-1000}{\sqrt{250}}\right\}=\frac{20}{27}+P\left\{ \xi \le \frac{0-1000}{\sqrt{250}} \right\}$

所以

$Q=1000+\sqrt{250}{{\Phi}^{-1}}\left( \frac{20}{27}+P\left\{ \xi \le \frac{0-1000}{\sqrt{250}} \right\}\right)$

剩下的事儿就是查表了。
如果可以使用软件的话，就更方便了，下面是求解的Mathematica代码：