开学大献礼：怎样理解时间序列的“平稳性”？

5572

收藏 2014-04-13

一、问题的提出
经典计量经济模型常用到的数据有三种类型：
1．时间序列数据（time-series data) ，亦即单一变量按时间的先后次序产生的数据。
2．截面数据(cross-sectional data) ，亦即多个变量在同一个时间点（截面空间）上产生的数据。
3．平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data) ，也称时间序列截面数据（time series and cross section data）或混合数据（pool data），是多个变量的时间序列的组合（或称时间序列数据与截面数据的结合）。
在这三类数据中，时间序列数据以及截面数据都是一维数据；而面板数据则是统计分析人员在时间和截面空间上取得的二维数据。在经济计量实践中，时间序列数据使用的频率最高。

二、平稳性的含义
平稳性是用来描述时间序列数据统计性态的特有术语。
1．时间序列平稳性的定义
假定某个时间序列由某一随机过程（stochastic process）生成，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到的。如果经由该随机过程所生成的时间序列满足下列条件：

均值E(Xt)=m是与时间t 无关的常数；
方差Var(Xt)=s^2是与时间t 无关的常数；
协方差Cov(Xt,Xt+k)=gk 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；

   则称经由该随机过程而生成的时间序列是（弱）平稳的（stationary)。该随机过程便是一个平稳的随机过程（stationary stochastic process）。
   例如，白噪声（white noise）过程就是平稳的：Xt=ut  ， ut~IIN(0,s^2)因为它的均值为常数零；方差为常数s^2；所有时间间隔的协方差均为零。但随机游走（random walk）过程是非平稳的：Xt=Xt-1+ut ， ut~IIN(0,s^2)，因为尽管其均值为常数E（Xt）=E（Xt-1），但其方差Var(Xt)=ts^2非常数。
   不过，若令DXt=Xt-Xt-1，则随机游走过程的一阶差分（first difference）是平稳的：DXt=Xt-Xt-1=ut ，ut~IIN(0,s^2)一般地，在经济系统中，一个非平稳的时间序列通常均可通过差分变换的方法转换成为平稳序列。
2．时间序列平稳性的理解
   凭以推测经济系统（或其相关变量）在未来可能出现的状况，亦即预测经济系统（或其相关变量）的走势，是我们建立经济计量模型的主要目的。而基于随机变量的历史和现状来推测其未来，则是我们实施经济计量和预测的基本思路。这就需要假设随机变量的历史和现状具有代表性或可延续性。换句话说，随机变量的基本特性必须能在包括未来阶段的一个长时期里维持不变。否则，基于历史和现状来预测未来的思路便是错误的。
   样本时间序列展现了随机变量的历史和现状，因此所谓随机变量基本性态的维持不变也就是要求样本数据时间序列的本质特征仍能延续到未来。我们用样本时间序列的均值、方差、协（自）方差来刻画该样本时间序列的本质特征。于是，我们称这些统计量的取值在未来仍能保持不变的样本时间序列具有平稳性。可见，一个平稳的时间序列指的是：遥想未来所能获得的样本时间序列，我们能断定其均值、方差、协方差必定与眼下已获得的样本时间序列等同。
   相反，如果样本时间序列的本质特征只存在于所发生的当期，并不会延续到未来，亦即样本时间序列的均值、方差、协方差非常数，则这样一个过于独特的时间序列不足以昭示未来，我们便称这样的样本时间序列是非平稳的。
   形象地理解，平稳性就是要求经由样本时间序列所得到的拟合曲线在未来的一段期间内仍能顺着现有的形态“惯性”地延续下去；如果数据非平稳，则说明样本拟合曲线的形态不具有“惯性”延续的特点，也就是基于未来将要获得的样本时间序列所拟合出来的曲线将迥异于当前的样本拟合曲线。

   可见，时间序列平稳是经典回归分析赖以实施的基本假设；只有基于平稳时间序列的预测才是有效的。如果数据非平稳，则作为大样本下统计推断基础的“一致性”要求便被破坏，基于非平稳时间序列的预测也就失效。