三角恋爱中第三者的策略

sealeo

11074

收藏 2008-04-03

三角恋爱中第三者的策略

——基于市场进入阻扰博弈模型的分析

本文只是笔者在学习博弈论的过程中头脑一时发热的产物，我带着一种玩耍的心态写作本文，我也希望各位在阅读本文时能得到享受。既可以用一种时髦的方式对三角恋爱这样一个烦人的问题做一思考，又可以通过这样一个思考对博弈论的基本思想做一领会。
在这个世界上，好多人都会像歌德早期最重要的作品《少年维特的烦恼》中那个主人公维特一样，在自己失意的时候，碰到自己生命中的绿蒂：她是那么天真纯朴，却善于明辨是非，那么温顺和蔼，却非常坚毅刚强，心灵是那么宁静，生活却是那么活泼……一句话，在你见到她的一瞬间，她就已经俘虏了你整个心。可是当时，绿蒂已经许给了人，许给一位很出色的人儿——阿尔贝特（为了表述的方便，在文中，我们用字母V、A、L分别表示维特、阿尔贝特和绿蒂）。

这就是上帝这个闲老头对你的戏弄。但是事情已经摆在了面前，你就必须做出以下的决定：作为后来者，有没有必要介入这份注定是悲剧的三角恋爱？这自然需要事先估计，最后的结果将会是如何。

本文将采用不完美信息下动态博弈模型对最后可能的结果做一个预测，并通过求解这一模型的纳什均衡，为第三者（维特）提供一个最优的选择。

一、博弈模型的构造

首先我们需要对为何采用不完美信息下动态博弈模型来描述三角恋爱做一说明：在三角恋爱这样的情况中，首先要选择参与者的类型，但是只有参与者自己知道自己的类型，其他参与者却是不了解的，如文章开始所提到的例子中，维特（V）就不知道阿尔贝特(A)是不是比自己更优秀，能否给绿蒂更多的幸福，所以信息是不完美的；在明确类型之后，参与者开始行动，参与者的行动有先有后，后行动者可以观测到先行动者的行动，但不能观测到先行动者的类型，如在本例中，作为后行动者的维特可以观察到先行动者阿尔贝特对待绿蒂的方式，但是维特还是不能精确判断阿尔贝特的能力类型，所以博弈是动态的。

其实我们可以套用市场进入阻扰博弈模型来描述三角恋爱。假定有两个时期，t=1，2。在t＝1，绿蒂（L）只有一个追求者——阿尔贝特，而维特作为一个潜在的进入者考虑是否介入；如果维特介入，在t＝2，两人进行库诺特博弈，否则，阿尔贝特仍然是垄断者。假定A有两种可能的类型：比维特优秀或没有维特优秀，V在博弈的开始时只知道A优秀的概率是μ，不优秀的概率是1－μ。这个概率是V的先验信念。假定V只有一个类型：介入的成本是2；如果V介入的话，他恋爱的支付函数与不优秀的A的支付函数相同。在t＝1，在V决定是否介入之前，作为垄断者的A要选择该时期对待L的方式，假定只有三种可能的对待方式：α＝{整天陪伴}，β＝{频繁相见}或γ＝{两地分居}。如果A是不优秀的，对应三种对待方式的收益分别是：2，6和7；如果A是优秀的，对应的收益分别是6，9和8。因此，不优秀A的单阶段最优对待方式是两地分居，因为这是成本最低的方式；而优秀A的单阶段最优对待方式是频繁相见，因为优秀的A能够同时在工作和爱情上做到游刃有余，通过在这两方面的合理安排，自然可以获得最大的收益。

在t＝2，如果V已经介入，A的恋爱支付函数变成了共同知识：如果A是不优秀的，两人的支付函数相同，两人的收益相同；而如果A是优秀的，两人的支付函数不相同，两人的收益不相同。如果V不介入，t＝2时期A仍然是L的垄断者，不同对待方式下的收益水平与第一阶段相同。具体结果如图1所示，在图中，x={V面对着L，不能自己，选择介入}，y={V克制住自己的感情，没有介入这份爱情}。

图1 三角恋爱博弈

图1是这个博弈的一个简化的扩展式表述。图中A有两个单结信息集，表示A知道自己的类型；而V有三个信息集，每个信息集有两个决策结，表示V能观测到A的对待方式但不能观测到A的能力状况（是否比自己优秀）。我们将第一阶段不同对待方式下的收益向量写在博弈树y线的终结点，因为如果V不介入，t＝2时期A仍然是L的垄断者，不同对待方式下的收益水平与第一阶段相同。注意，V第一阶段的收益恒为0。而写在博弈树y线的终结点上的收益向量情况如下：如果A是不优秀的，两人的支付函数相同，两人的收益相同；而如果A是优秀的，两人的支付函数不相同，两人的收益不相同。但是V的收益要扣除介入成本2 ，得到净收益，如图所示。

二、求解博弈均衡
因为我们假定参与者的行动是类型依存的，每个参与者的行动都传递着有关自己类型的某种信息，后行动者可以通过观察先行动者所选择的行动来推断其类型或修正对其类型的先验信念（概率分布），然后选择自己的最优行动。先行动者预测到自己的行动将被后行动者所利用，就会设法选择传递对自己最有利的信息，避免传递对自己不利的信息。因此，博弈过程不仅是参与者选择行动的过程，而且是参与者不断修正信念的过程。由于我们采用了贝叶斯法则对信念进行修正，所以由此得到的动态博弈均衡称为精炼贝叶斯均衡。精炼贝叶斯均衡要求，给定有关其他参与者的类型的信念，参与者的策略在每一个信息集开始的“后续博弈”（亦可成为“终结历史（Terminal History）”）上构成贝叶斯均衡；并且，在所有可能的情况下，参与者使用贝叶斯法则修正有关其他参与者类型的信念。

在静态贝叶斯均衡中，参与者的信念是事前给定的，但在动态贝叶斯博弈中，后行动者可以按照贝叶斯法则任意地修正自己有关先行动者支付函数的信念。正如上述精炼贝叶斯均衡所要求，在求解动态贝叶斯博弈的时候，我们不仅要考虑两个行动者所采取的行动之间的互动，还要考虑两个行动者的行动所传达的信息的互动，所以求解就相对复杂一点了。正如在上例中，尽管当博弈进入第二阶段后，两人的行动选择是一个简单的静态博弈决策问题，但是第一阶段的选择要复杂得多。V是否介入依赖于他对A支付函数的判断：给定A是不优秀时介入的净收益为1，优秀时介入的净收益是－1，当且仅当后行动者认为A是不优秀的概率大于1/2时，V才会选择介入。这一点与不完全信息静态博弈的介入决策没有什么不同。但与静态博弈不同的是，现在，在观测到A第一阶段的对待方式后，V可以修正对A支付函数的先验概率μ，因为A的对待方式可能包含着有关其支付函数的信息。比如说，无论何种情况下，优秀的A不会选择两地分居（因为优秀的A不希望V认为自己是不优秀的），因此，如果V观测到A选择两地分居，它就可以推断A一定是不优秀的，选择介入是有利可图的。预测到选择两地分居会招致V介入，即使不优秀的A也可能不会选择两地分居，尽管两地分居是他单阶段的最优对待方式。类似地，低成本的A也可能不会选择β（频繁相见），如果频繁相见会招致V介入的话。这里问题的核心是A 必须考虑对待方式的信息效应：不同的对待方式如何影响V的后验概率从而影响V的介入决策。一个非单阶段最优价格会减少现期收益，但是如果它能阻止介入者介入，从而使A得到垄断收益而不是库诺特均衡收益，如果垄断收益与库诺特均衡收益之间的差距足够大，如果A有足够的耐心，选择一个非单阶段最优价格可能使最优。由此我们得到了精炼贝叶斯均衡：在μ<1/2时，不论优秀与否，A都选择β（频繁相见）；V选择介入，当且仅当他观测到γ（两地分居）。当μ≥1/2时，优秀的A选择α＝{整天陪伴}，不优秀的A选择γ＝{两地分居}；V选择不介入，如果观测到α＝{整天陪伴}；V选择介入，如果观测到β＝{频繁相见}或γ＝{两地分居}。

三、说明
最后需要说明的是：本文只是笔者学习博弈论的过程中头脑一时发热的产物，对于解释三角恋爱这一种状况，这种分析工具好像没有什么优势可言，反而显得有些繁琐；最大的问题就出在两个竞争者所面对不是类似利润水平和市场份额这样的死物，而是一个活生生的人——各自心目中的天使，不祥利润水平和市场份额这样的死物，可以任由人们争斗，她也会有自己的偏好和反应，如果你真的爱她的话，那么相对她而言，你必然是一个利他主义者，所以她的反应和感受会直接你的收益，自然就会影响到均衡结果，由于篇幅所限，对此本文并没有加以讨论；其实写作本文最荒唐的是，如果人类之间的爱情（甚至扩展到交往）都可以采用payoff function加以赋值，然后通过成本收益的比较得出最优选择的话，那么这个世界还有什么乐趣可言。

幸运的是，这个世界足够的复杂，让我们每天都可以感受到恐慌和惊喜！

参考文献：

[1]艾里克·拉斯缪森：《博弈与信息（第二版）》[M]，北京大学出版社，北京，2003年10月第1版。

[2]罗伯特·吉本斯：《博弈论基础》[M]，中国社会科学出版社，北京，1999年3月第1版。[3]朱·弗登博格、让·梯若尔：《博弈论》[M]，中国人民大学出版社，北京，2002年10月第1版。