如何使用delta-gamma方法计算期权的VaR

cash_king01

25148

收藏 2014-05-13

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题目如下：

You have sold 1,000 put options on a stock. The current price of the stockis USD 82 per share, the delta of each option is -0.3, the gamma of the optionis 0.027 and the price volatility of the stock is 32% p.a.

Calculate the 1-day VAR at the 99% confidence level (2.326 standard deviations)based on the delta-gamma approximation method.

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Chemist_MZ

2014-5-13 10:11:54

cash_king01 发表于 2014-5-15 17:51
我看到书上提供的正确答案公式如下，不知道和你的是否一回事？

Well this is another way to do it:

I show you how to get it, begin from:

dC=Delta*dS+1/2*Gamma*(dS)^2

dS=mu*S*dt+sigma*S*dw

dw=e*sqrt(dt), where e is a N(0,1)

So: dC=Delta*dS+1/2*Gamma*(dS)^2

dC=Delta*sigma*S*sqrt(dt)*e+1/2*Gamma*sigma^2*S^2*dt*e^2+Delta*mu*S*dt

take dt=1.

Var(dC)=Delta^2*sigma^2*S^2*Var(e)+1/2*Gamma^2*sigma^4*S^4*Var(e^2)

=Delta^2*sigma^2*S^2*Var(e)+1/4*Gamma^2*sigma^4*S^4*Var(e^2)

Var(e)=1, Var(e^2)=2 (can be shown)

Var(dC)=Delta^2*sigma^2*S^2+1/2*Gamma^2*sigma^4*S^4 ##

this method takes the discretization error of (dw)^2=dt， because this equation only holds in a limit sense.

The method mentioned above is also widely used. See this article.

http://thinxlabs.com/blog/finance/delta-gamma-var-excel/

best,

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Chemist_MZ

2014-5-13 22:01:20

Using Ito lemma

dC=Delta*dS+1/2*Gamma*(dS)^2
=Delta*dS+1/2*Gamma*sigma^2*S^2*dt

calculate the 1-day 99% VaR of dS, than convert it to dC. It's done.

best,

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cash_king01

2014-5-15 17:51:14

我看到书上提供的正确答案公式如下，不知道和你的是否一回事？

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cash_king01

2014-5-20 10:17:06

Using Ito lemma
dC=Delta*dS+1/2*Gamma*(dS)^2
=Delta*dS+1/2*Gamma*sigma^2*S^2*dt
calculate the 1-day 99% VaR of dS, than convert it to dC. It's done.

我对第一步没有疑问，但第二步是如何得到的？如果假设股票价格服从Ito process
dS=S*mu*dt+s*sigma*dw　　则有：
(dS)^2=S^2*mu^2*dt^2+S^2*sigma^2*(e*sqrt(dt))^2+2*S^2*mu*sigma*dt^2*e^2
=S^2*sigma^2*dt*e^2 (neglecting terms of higher order dt as it approaches zero)

then, we should have dC=Delta*dS+1/2*Gamma*sigma^2*S^2*dt *e2
你的结果中是否漏掉了一个e^2?

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Chemist_MZ

2014-5-20 10:37:46

cash_king01 发表于 2014-5-20 10:17
我对第一步没有疑问，但第二步是如何得到的？如果假设股票价格服从Ito process
dS=S*mu*dt+s*sigma*dw　 ...

(dw)^2=dt是在dt趋于0的时候得到的（因为e^2的variance趋于0），一般模型推导都是在continuous的情况下，因此都这么写。如果dt不趋于0的话是会有个error e^2，其实就看你要的精确度。两者皆可。或者这种非极限的情况写成d某某不合适，就换成delta某某吧，这样可能清楚些。

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cash_king01

2014-5-20 13:30:08

(dw)^2=dt是在dt趋于0的时候得到的（因为e^2的variance趋于0），...如果dt不趋于0的话是会有个error e^2，其实就看你要的精确度。两者皆可。

还是不太明白：1.var(e^2)-->0难道就意味着e^2能够从公式中省略掉吗？我理解只有同时E(e^2)-->1时好像才可以啊.
2.此外加上e^2后意味着dS中包含随机性，去掉后则意味着随机性消除了，好像这不仅关系到精度问题。能解释一下吗？

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Chemist_MZ

2014-5-20 20:36:44

cash_king01 发表于 2014-5-20 13:30
还是不太明白：1.var(e^2)-->0难道就意味着e^2能够从公式中省略掉吗？我理解只有同时E(e^2)-->1时好像才可 ...

1. e是个N(0,1)，因此E(e^2)自然等于1（因为就是e得方差），我觉得这个是很明显得结论，因此省略了。这个可以去看一些随机分析得书看Ito lemma得推导。

2. 你说得对，所以我才强调， (dw)^2的随机性只有在极限得情况下才不存在（其实严格得说不能说它得随机性完全不存在，我只能说它L2 收敛到dt上，就是almost surely converge到dt），这个如果不是很理解还是得去看书，通俗地说你可以认为这个关系接近100%成立，如果不是极限得情况，我们只能说"on average" 是dt，其实是dt*e^2。error是(1-e^2)随着dt趋于0这个误差就会消失，这关系到算volatility会不会多出来一项，因此我说这是一个精度得问题。
连续话得处理会带来很多方便，但是确实在现实当中做不到，所以会有error。

这回应该说得很清楚了。

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cash_king01

2014-5-21 10:22:13

Chemist_MZ 发表于 2014-5-20 20:36
1. e是个N(0,1)，因此E(e^2)自然等于1（因为就是e得方差），我觉得这个是很明显得结论，因此省略了。这个 ...

明白了！
1. if e~N(0,1), then V(e)=E(e^2)-E(e)^2, which means E(e^2)=V(e)-E(e)^2=1-0=1
2. quite clear.

还有问题：

dC=Delta*dS+1/2*Gamma*(dS)^2 =Delta*dS+1/2*Gamma*sigma^2*S^2*dt
calculate the 1-day 99% VaR of dS, then convert it to dC. It's done.

如果我们计算出1-day 99% VaR of dS的话，然后难道直接计算(dS)^2不就可以了吗，为什么还要通过第二步推导变化为(dS)^2 =sigma^2*S^2*dt的来算？

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Chemist_MZ

2014-5-21 11:31:18

cash_king01 发表于 2014-5-21 10:22
明白了！
1. if e~N(0,1), then V(e)=E(e^2)-E(e)^2, which means E(e^2)=V(e)-E(e)^2=1-0=1
2. quite ...

其实我觉得无可厚非，原则上没有不可以。但是一般我们都把精度控制在跟dt一个数量级上，如果dS^2会引入一些高阶的部分（例如dt^2)，一般finance都不考虑这些高阶的部分(因为极限的情况下这些term都会消失，但是非极限情况会存在）但是我想这是一个习惯做法。

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cash_king01

2014-8-19 11:05:33

Chemist_MZ 发表于 2014-5-20 10:37
(dw)^2=dt是在dt趋于0的时候得到的（因为e^2的variance趋于0），一般模型推导都是在continuous的情况下， ...

又翻了一下John Hull的书，感觉上面你说e^2的variance趋于0是不确切的（应该是趋于2）。John Hull的解释过程大致如下：
因e~N(0,1), 所以e^2服从自由度k=1的卡方分布，根据卡方分布的性质，E(e^2)=k=1, V(e^2)=2k=2
这样(e^2)*dt的期望值为dt, 而(e^2)*dt的方差为2(dt^2)。
由于dt^2更高阶于dt，所以(e^2)*dt的方差相对于其期望值更快地趋于零。由此，我们可以近似地认为(e^2)*dt是deterministic, 从而用其期望值dt代替。
但对于John Hull的解释我仍然存疑。虽然(e^2)*dt的方差2(dt^2)是dt的高阶函数，但如果看其标准差，则是sqrt(2)*dt, 是dt的一阶函数。此处衡量不确定性到底应当使用方差还是标准差？我们能够仅仅根据其方差比期望值更快地趋向于0就判断说(e^2)*dt可以近似看作非随机的吗？

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Chemist_MZ

2014-8-19 11:47:32

cash_king01 发表于 2014-8-19 11:05
又翻了一下John Hull的书，感觉上面你说e^2的variance趋于0是不确切的（应该是趋于2）。John Hull的解释过 ...

可能我笔误我是说dt*e^2的variance，e是一个N(0,1)显然variance不可能是0.

我的意思其实和Hull的一样，

你如果要深究那你就得了解一种随机数新的收敛方式就是L2收敛，我和Hull的解释只是想让大家不过多拘泥于数学。L2就是均方差收敛，Ito积分本身也是定义在L2收敛上，（跟黎曼积分不一样）。L2收敛L1(就是你说的标准差）肯定收敛。这个很好理解，如果你能证明方差趋于0，那么x一定收敛于期望。

应该解决了你的问题，希望有帮助，如果实在不明白可以去看shreve的 stochastic calculus for finance II 198页习题，有证明这个结论

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