下面是我阅读王则柯教授的《别人的信封似乎更诱人》时想到的一个问题,我写出来的问题中的条件与原来那个问题的条件是不一样的:
有两个信封,每一个包含一定的数量的钱,钱的具体数目可能是5,10,20,40或80元,而且其中一个信封装的钱恰好是另一个信封的钱的两倍.现在随机把这两个信封中的一个交给张三,另一个给李四.在他们拆开信封之前,给他们一个交换信封的机会:假如双方都想交换,我们就让他们交换.注意,在交换之前,每个人都不知道自己的信封里有多少钱,并做一个假设,张三和李四都是风险中性者.
好了,现在我们来分析张三交换前的思考过程:他会想,假如自己的信封里是5元,那么交换的期望收益是10-5=5块钱;假如自己的信封里面是10元,那么交换的期望收益是(20+5)/2-10=2.5元;假如自己的信封里是20元,同样可以算出交换的期望收益是5元;假如信封里是40元,那么交换的期望收益是10元;假如是信封里是80元,那么交换的期望收益是-40元.上述每一种情况出现的概率都是1/5,那么总的期望收益是0.2*(5+2.5+5+10-40)=-3.5元,也就是说张三如果参与交换的话,自己的期望收益是负值.
李四处于张三一样的情况,他交易的期望收益就也应是-3.5元.
在这样的情况下,两个人都会拒绝交换,因为交换导致了双方的利益都会减少,奇怪,为什么会出现这样的情况呢?难道有"双亏"的赌博,按理说,在赌博中,如果一个人收益减少,另一个人的收益就会增加,也就是说一方之得就是另一方之失,可是我们上面分析的结果是双方都"失",这肯定是错误的,但是这个推理过程错在哪里呢?我实在想不出来,哪位大德帮忙解释一下?
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期望只是期望,不是现实。现实肯定是一个亏一个赚。
p.s.我还在怀疑期望有没有算错,如果想出来了再回复。
是这样的,张三和李四拿到钱的情况有以下8种:
(5,10),(10,5),(10,20),(20,10),(20,40),(40,20),(40,80),(80,40)
收益的期望E=[5+(-5)+10+(-10)+20+(-20)+40+(-40)]/8=0
期望为0意味着盈亏几率相等。
楼主犯的错误是没有考虑清楚各个事件的概率。事实上张三拿到10的几率是拿到5的两倍。因为按题目的解释,我们应该认为以上8种可能组合概率相等。
我们可以这么理解:
张三和李四交换前各自拿到的钱的期望值是相等的(因为概率对两个人而言是公平的,出现一种组合即一定存在另一种相反的组合)。那么他们交换的期望值显然是0。
这也印证了我上面的算法才是正确的。
明白了吗?
学习一下,应该是零和的
概率计算真要细心,楼主每种情况都算1/5,也就是说另一个人如果有两中可能的话
概率就只有1/10了!!
关键在这里用期望收益是否合理.
什麼是风险中性者?
我认为这道题在计算期望收益的时候应该只考虑能够实现的交换。如果两个人都不肯交换,或者说一个人愿意交换而另一个人不愿意交换,那么按照规则交换就不能实现,此时收益的概率是0,显然是不能计算在期望收益之内的。比如说当你拿到40元信封对方拿到80元信封时,你愿意交换,且交换的收益是+40,但此交换概率为0,因此此交换的期望收益也就是0。
那么我们可以考虑,当张三拿到80元时,他一定不愿意交换。此时二人交换不能实现,且该情况适用于李四。
当他拿到40元信封时,他有可能愿意交换,因为对方可能拿到80元。但此时如果李四拿到80元信封时,李四是不会愿意交换的,所以如果李四同意并最终实现交换,可能只有一种即李四那到的是20元信封。
于是,张三拿到40元信封时必选择不交换。依此类推,只有某人那到5元信封时,他才愿意交换,也即只有两人都拿到5元信封才能实现交换,但这是不可能的。
因此此题中交换根本就不可能发生不管策略组合的支付是什么,交换的期望收益都是0。
不知道这样理解对不对
希望楼主能把原题给出来,大家参照一下,为什么文章的题目叫《对方的信封更诱人》呢?