上一期，我们讲了牛掰家族伯努利提出的伯努利实验和伯努利分布（略微涉及了二项分布的部分内容），今天我们就详细的看看伯努利分布的老子，二项分布的一些概念和性质。
本期内容分为四部分

• 二项分布概述
• 二项分布的性质（期望，方差）
• 性质证明
• 二项分布与其他分布的关系
  

首先我们来聊聊什么是二项分布
       上文我把二项分布成为伯努利分布的老子，其实是因为伯努利分布是一个特殊的二项分布（就像他的一个儿子~~），如果有一个伯努利实验，我们在相同的条件下重复做N次，并且每次实验结果互相独立，那么这就是N重伯努利实验，如果X是个随机变量，用它作为伯努利实验成功的次数，那么X就是二项随机变量，如果再用一个函数来刻画X取不同值时的概率值，那么这个函数就被称为二项分布。
       统计学上的定义是这样的：在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n = 1时，二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异的二项试验的基础。


什么时候可以用二项分布？
       医学领域有许多二分类记数资料都符合二项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时仍应注意考察是否满足以下应用条件：(1) 每次实验只有两类对立的结果；
     (2) n次事件相互独立；
     (3) 每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。

二项分布的期望和方差是多少？
如果X~B(n,p),E(x)=np;Var(x)=np(1-p)

如何证明？
二项分布的数学期望
X～b(n,p)，其中n≥1,0<p<1.
P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.
EX=np,VarX=np(1-p).
证明方法(一)：
将X分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和：
X=X1+X2+...+Xn,Xi～b(1,p)，i=1,2,...,n.
P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.
EXi=0*(1-p)+1*p=p,
E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,
VarXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).
EX=EX1+EX2+...+EXn=np,
VarX=VarX1+VarX2+...+VarXn=np(1-p).

证明方法(二)：
EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n-k)
=np∑C(k-1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1)
=np∑C(k,n-1)p^kq^(n-1-k)
=np∑b(k;n-1,p)
=np
VarX=npq 可用公式VarX=EX^2-(EX)^2求出
EX^2=∑k^2b(k;n,p)
=∑[k(k-1)+k]b(k;n,p)
=∑k(k-1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p)
=n(n-1)p^2∑b(k;n-2,p)+np
=n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq
=n^2p^2+npq
所以VarX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2
=npq

其实二项分布除了和伯努利有“血缘”关系，还和很多分布都有牵连（情感线很丰富啊~~），比如下面已经被我们找到的这些：

• 泊松二项分布：二项分布是泊松二项分布的一个特殊情况。泊松二项分布是n次独立、不相同的伯努利试验(pi)的和。如果X服从泊松二项分布，且p1 = … = pn =p，那么X ~ B(n, p)。
  

• 正态分布：如果n足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适当的连续性校正，那么B(n, p)的一个很好的近似是正态分布N(np,np(1-p))，n越大（至少30），近似越好，当p不接近0或1时更好。不同的经验法则可以用来决定n是否足够大，以及p是否距离0或1足够远：一个规则是x=np和n(1 − p)都必须大于 5。
  

• 泊松近似：当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为λ = np的泊松分布可以作为二项分布B(n, p)的近似，如果n足够大，而p足够小。
  

• 多项分布：当实验结果不是两种对立，而是多种对立，比如扔硬币和掷骰子，就是二项分布和多项分布了。
  

最后来个小技巧：如何使用excel计算二项分布
二项分布=BINOMDIST（x(d),n,p,false），括号里分别为成功次数，试验次数，成功概率，累计分布。
    成功次数：指在试验中成功的次数；
    试验次数：指独立试验的次数；
    成功概率：指每次试验成功的概率；
    累计分布：若0，得到的是概率值；若1，得到的是累计概率。

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