第一，当然没有数学方法来“证明”，原因很简单，这些公切线是平行还是不平行，完全取决于偏好的特性而无法保证是否平行。

有事了，稍后再恢复，抱歉

公切线是平行还是不平行，完全取决于偏好的特性而无法保证是否平行？

这偏好的特性指什么？是保证连续、凸、……吗？这又如何能说明“无法保证是否平行”？而且这些我猜测一定是能证明的，就如一般均衡的数学证明已经完成并进入教材一样，只是我想确切知道，您是不是真的知道“当然没有数学方法来‘证明’”？如果不是，您完全可以说“非不能也，实不会也”。这样我就不问了，我找会的人。其实我也没问您，一刹春先生在吗？

有些问题是通过讨论逐渐清楚或者说形成共识，论坛本来就是大家集思广益促进交流的地方，你说是吧！

在两人两种商品的纯交换经济中，交换契约曲线上点最初只是两人两条无差异曲线的切点，(暂且)与价格无关。只是用于说明最优与一般均衡关系时二者才联系起来。这是其一。

其二，契约曲线上不同切点处的斜率相等问题，一般而言不切线不平行，这个问题不是要证明，而是只要给一个反例。大致说来，对应着科布-道格拉斯形式的偏好时平行。如果你能沿着这一思路构造一个非科布-道格拉斯形式的偏好，比如把其中一个加上一个只取决于一种商品的，那么相信你会得到正确结论的。

是的，效用函数可能有很多种形式，我认为讨论平行与否并不是问题的关键，我原来也是这证明过,但是由于数学知识有限所以没有证明出来.

我认为讨论平行与否很关键，虽然效用函数可能有很多种形式，但如果跟生产最优联系起来，我们能保证在任何一种效用函数下都只存在一个最优配置吗？显然这也是证明一般均衡点（生产和交换）的唯一性的“一般存在”与否的问题。如果框图内各切线平行，明显的，在框内将有无数个点的切线是与生产边界上点的切线是平等的，交换与生产同时达到的最优配置就不是一个组合了。

军官说的对，契约曲线上点最初只是两人两条无差异曲线的切点，(暂且)与价格无关。只是用于说明最优与一般均衡关系时二者才联系起来，可这一联系起来，在只有两人时，显然不是完全竞争了，如果说两人是两个“代表性个人”，那么就是说可以是完全竞争，这时，价格是不是给定的呢？还是说，这价格只是存在于思维游戏中的一种必然，即我们“总能找到一组价格”，这一组价格是只针对一个切点还是针对所有切点？

还有，在微分证明中的所构造的拉氏函数中的两个乖子，其经济意义何在？

不过还是非常谢谢二位，我似乎能理解你们，特别是军官的意思，但我仍然觉得，即使数学知识有限，也应该能从思想意义上来解说这平行与否到底含义在哪里，希望能继续讨论。

谢谢

我在开始提出的问题至今没有得到解决，你不明白我在什么吗？哪些不明白，你可以罗列一下，好吗？

那好吧，我们就你最初的几个问题回答：

1，埃奇沃斯框图中的那些切线平行吗？

不一定，一般说来不平行。

2-1，在生产可能性边界上是不是只有一点是符合帕累托条件三的？

在单一消费者单一要素，并且满足消费和生产凹性的条件下只有一个。

2-2，是边界上的点决定了框图内的最优点吗？而且在框图中的交换最优点有几个？

是。可能有多个，这取决于交易方最初的财富量。

3、要么是在框图内有一交换的最优点决定了边界上一个点？还是框图内若干平行切线与契约线的交点都是最优点（福利经济学第一定理是不考虑分配的，即初始禀赋是无关的，是吗？），它们共同决定了生产可能边界上的某一生产最优点？

这个问题可以这样理解，代表性消费者偏好与生产技术一起决定了产出，可能性曲线与无差异曲线的切点满足生产最优。这一产量组合再进行交换。对应着框内的某一平行切线的切点是交换最优的。

建议看一下varian的高级微观，再重新思考一下一般均衡与最优之间的分析过程。(感觉这可能是问题所在。)

您说，代表性消费者偏好与生产技术一起决定了产出，可能性曲线与无差异曲线的切点满足生产最优。这一产量组合再进行交换。对应着框内的某一平行切线的切点是交换最优的。

同时，又说埃奇沃斯框图中的那些切线平行与否不一定，一般说来不平行。而且在框图中的交换最优点可能有多个，这取决于交易方最初的财富量。

问题正是这样，如果在“不一般”的情况下框内各切线平行时（比如你说的K-D效用函数下），当生产最优决定了，并且也限制了框内的交换时，交换最优的点还是某一吗？还是许多？这时，同时符合生产和交换的生产配置当然是唯一的，可它决定的交换最优唯一吗？帕累托条件三是说这二者同时决定的组合可以不唯一吗？

非常感谢您！能继续讨论吗？

我把福利经济学第一定理和第二定理写给你，希望你能注意我用括号表示的重点：

一般均衡的配置是帕最优的。(((因为先有均衡，当然不涉及唯一之类的)))

一个帕最优状态，我们(((可以找到)))一个价格向量和初始财富，在该价格及初始财富下恰好达到原有的状态。(((这里是存在问题，也就是说可能有多个)))

这解决了你的问题了吗？

这个问题很简单，完全是常识问题，很容易构造一组所有公切线都平行的效用函数以及总量约束。同样更容易构造一系列公切线不平行的效用函数以及总量约束。如果连这个都还不会，那么只能让人怀疑你的基本素质。

至于拉格朗日乘数，是所求条件极值函数自变量的一个函数，只有当满足条件极值的自变量确定时，拉格朗日乘数才确定，换而言之，在契约线的不同点，拉格朗日乘数可以不一样。在忙着看“数学证明”之前，我倒是建议你去补一下基本的微积分课程。

我也在想这个问题。

退一步：

无差异曲线是“平行”的吗？

   若是平行的，则收入提供线就是一条直线。？

   若是平行的，edgeworth box中的公切线是平行的，交换契约线是一条直线。  ？