需要指出的是，这个游戏确实不是公平的，只不过玛丽莲采用了错误的分析方法。

人们在玩游戏的时候总会自己制定一些策略。在博弈论中，策略（strategy）有两种，一种是确定的，称为纯策略（pure strategy），在什么情况下出什么牌、做出什么选择都已经定好，只需要照章办事。另一种是随机的，叫作混合策略（mixed strategy），给你的所有动作都定一个概率，按概率随机从中选一个。人们在说到随机的时候，直觉上倾向于认为各种情况等概率出现，而有时候，控制某些情况出现的概率却会产生神奇的效果。上面我们已经看到玛莉莲就采用了混合策略，而我们又想出了新的混合策略来应对。

任何一个游戏中，玩家们都会想方设法让自己的利益最大化，有时甚至作出出人意料的决定，这让游戏的局势变得错综复杂，典型的例子就是海盗分金问题 。可在这复杂的关系下，存在一个惊人的规律，那就是在有限人的游戏中，总存在这样一种情况，每个人都能采取一种策略，使得他的利益不能再增大了。这就是博弈论中重要的纳什均衡（Nash Equilibrium）。纳什均衡分为纯策略纳什均衡（pure strategy Nash equilibrium）和混合策略纳什均衡（mixed strategy Nash equilibrium），前一种是所有玩家都采取纯策略，后一种则是至少有一人采取混合策略。

回到美女请你玩游戏这个问题。列出我们的收益矩阵：

在m行n列的收益矩阵a中，存在如下不等式：

当它能取到等号时，游戏存在纯策略纳什均衡。简单来说就是玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少。否则只存在混合策略纳什均衡。而在这个问题中，行最小值的最大值（－2）不等于列最大值的最小值（1）,所以这个游戏只存在混合策略纳什均衡。

假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1－x。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，不然对手总是可以改变正反面出现的概率让我们的总收入减少，由此列出方程就是

解方程得x＝3／8,也就是说平均每八次出示3次正面, 5次反面是我们的最优策略。而将x＝ 3／8代入到收益表达式 3*x + (-2)*(1-x) 中就可得到每次的期望收入，计算结果是 －1／8元。

类似的，列出美女的收益矩阵。

设美女出正面的概率是y，反面的概率是1－y，列方程

解得y也等于3／8，而美女每次的期望收益则是 2（1-y）- 3y = 1／8元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况下，平均每次美女赢1／8元。

其实只要美女采取了（3／8,5／8）这个方案，不论你再采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是（3＋3＋3－2－2－2－2－2）／8＝－1／8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是（－2－2－2＋1＋1＋1＋1＋1）／8＝－1／8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是－1／8元。但是当你也采用最佳策略时，至少可以保证自己输得最少。否则，你肯定就会被美女采用的策略针对，从而赔掉更多，比如上述玛丽莲的解答。

另外借助于计算机模拟这个游戏，我们也可以轻而易举地得到一样的结论。这里附上一个这样的小程序，算是另一个证明吧。