若一个随机过程 必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程,而该序列的 阶差分仍然是非平稳的,则称 具有d阶单整性。用xt I(d) 表示。
对于平稳过程表示为I(0)。注意:单整过程是指单整阶数大于零的过程。
对于I(d) 过程
(L) (1- L) d xt = (L) ut
因含有d个单位根,所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验(unit root test)。
若xt I(d),yt I(c),则
zt = (a xt + b yt) I (max[d, c]).
zt = (a xt + b yt) = (a xt + b yt) - (a xt -1 + b yt - 1) = (a xt + b yt)
当 c > d 时,zt只有差分c次才能平稳。一般来说,若xt I (c),yt I (c),则
zt = (a xt + b yt) I (c)
但也有zt的单整阶数小于c的情形。当zt的单整阶数小于c时,则称xt与yt存在协整关系。
多数经济变量都是非平稳的。一般具有一阶或二阶单整性。看起来这些变量很难存在长期均衡关系,而实际上某些经济变量的线性组合却有可能是平稳的。经济理论指出这些变量存在长期稳定的均衡关系。比如净收入与消费、政府支出与税收、工资与价格、进口与出口、货币供应量与价格水平、现货价格与期货价格以及男、女人口数等都存在这种均衡关系。虽然经济变量在变化中经常会离开均衡点,但内在的均衡机制将不断地消除偏差维持均衡关系。
非平稳经济变量间存在的这种长期稳定的均衡关系称作协整关系。协整是对非平稳经济变量长期均衡关系的统计描述。
对于多个非平稳随机变量,协整性反映的是它们经过线性组合之后非平衡程度的变动性。
解决协整关系的方法就是建立误差修正模型。
误差修正模型的作用在于不依赖于某些解释变量,而是仅仅依靠解释变量与因变量之间长期关系的偏差以及对因变量的调整,便可以来解释经济中不同变量之间的长期稳定均衡关系及其自身的变化过程。相对于不同变量的性质而言,经济理论更关心经济变量之间的相互作用、相互影响,回归模型中引入差分就能解释这一点。