灰色去余控制理论模型：
一、灰色去余控制理论概述 (一)系统的结构模型
由第八章第二节的介绍，我们知道，一个系统的动态过程，可以用一定 的传递函数表示。如果 U 与 X 分别表示系统的输入与输出的拉普拉斯变换， 系统的传递函数记为 W，则有：
X
有时更习惯于用
= W (1)
U
W-1X=U (2) 表示系统的输入-输出关系。
若系统中有反馈 Z，将 X 反馈回输入端，则其动态关系为：
(3)式可以被写成：
X W
=
U 1 + WZ
1? WZ W
X ? U
(3)
或者 W-1 X = U - ZX (4)
上述关系式称为反馈系统的结构范式，或者称为系统的结构模型。 对于上述的系统结构模型，特作以下几点说明： (1)等号(=)是系统输入与输出的比较环节。等号左端的 X 为系统的输
出，右端的 U 为系统的输入。
(2)从系统的输入端 U 经过 W 到输出端 X 的通道称为主通道，W 称为主通 道的传递函数；将 X 经过 Z 反馈到输入端的通道称为反馈通道，Z 称为反馈 通道的传递函数，ZX 称为反馈项。
(3)结构模型等号左端 X 的系数 W-1 是主通道传递函数的倒数。
(4)反馈项 ZX 前面的符号代表反馈极性，“+”表示正反馈，“-”表示 负反馈。
(5)结构模型中的 X 与 U 可以是单一变量，也可以是多个变量构成的向 量；当 X 与 U 为向量时，W 与 Z 为矩阵。
(6)称 Z=0 的结构模型
为开环系统，称
W-1X=U
W-1X=U-ZX
为闭环系统。但是，这种叫法是相对的，事实上，带有反馈项的结构模 型同样可以化为无反馈的形式，譬如令：
W ?1 ? 1 ? WZ
Σ W
则有：
W ?1X ? U
上式在形式上是无反馈的开环系统，而实际上却是有反馈的闭环系统。 (7)系统的结构模型不是唯一的。
(二)灰色去余控制的基本思想 灰色去余控制理论认为，系统的动态品质的好坏，主要反映在闭环系统
传递函数 G 的结构与参数上，因此，要改善系统的动态品质，实现系统的优 化控制，就需要改变闭环系统的传递函数。
设原系统的结构模型为：
G-1X=U (5)
记预期的(优化的)系统为
G -1 X = U (6)
记两系统的逆传递函数矩阵G -1 与G _1之差为Q，即：
-1 -1
Q = G *
则原系统可以改写成：
-1
- G (7)
G * X = U + QX (8)
(8)式代表了主通道传递函数为 G*，反馈项为 QX 的系统。这说明原来的系统
G -1X = U，可以看作是由预期系统G -1 X = U与反馈项QX所组成。从预期系统
的动态品质来看，QX 项是多余的，故 QX 称为系统的多余项，它以“虚内反 馈”的形式作用在系统上，恶化了系统的动态品质。
当系统的多余项被分离出来后，则只要加入传递函数相等，反馈的输入
与输出相同，而极性相反的控制项抵消多余项，系统就可以得到令人满意的 品质。这种用外反馈抵消多余项的控制方法称为系统的去余控制。其去余过 程，可以用结构关系：
多余项 去余项
?1
G * X ? u ? QX ? QX
? ? ? ?
? ? ?
原系统
?
G?1 X? u
预期系统