tianyu0401 发表于 2009-10-23 08:10
为什么不能选择一个无理数来表示r（Z）？

tianyu0401 发表于 2009-10-23 21:10 为什么不能选择一个无理数来表示r(Z)？

sungmoo 发表于 2009-10-24 11:09

tianyu0401 发表于 2009-10-23 21:10 为什么不能选择一个无理数来表示r(Z)？

http://www.pinggu.org/bbs/thread-294014-1-1.html

这里的证明思路是：

如果存在可以表达字典式偏好的效用函数，那么基于这个效用函数我们可以推出有理数的势不小于实数的势。而这与有理数的势小于实数的势矛盾。

定义在C=[0, +∞)×[0, +∞)上的字典式偏好D的意义是：∀x,y∈C：xDy x1>y1或(x1=y1且x2≥y2)。

可知，∀x,y∈C：x与y无差异（即xDy且yDx）的充要条件是x=y。

若D存在效用函数表示u:C→R，则由D的性质知，∀x∈[0, +∞)：u(x,2)>u(x,1)，于是∃有理数r：u(x,2)>r>u(x,1)；∀x'∈[0, +∞)且x>x'：∃有理数r'：u(x',2)>r'>u(x',1)。由D的性质知，r>r'。

这样基于u，对于[0, +∞)中不同的实数，总可以找到不同的有理数与之对应，这表明有理数的势不小于实数的势。