第一个证明很简单，反证法
方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数）,则p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数
方法二：设x=根号3,则有方程x^2=3
假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数）,根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾

第二个其实是子序列不变性的证明
设数列{a(n)}收敛于a,那么对于{a(n)}的任意子序列{a(n(k))},
由于是子列,n(k)>=k ；
任取e>0,存在N>0,当n>N,有|a(n)-a|N,n(k)>N,那么有
|a(n(k))-a|

thankyou