长期成本函数，即是假设这个企业在最优情况下，总产出和总成本之间的关系。

这个生产函数是 Cobb-Douglas 的，如果你对这个函数用拉格朗日法求最大值，假设总投入为 c，即 w1z1 + w2z2 + ... = c，那么企业在购买每一个投入品 z_i 的时候，所花费的金额（即 wi * zi）占总投入 c 的百分比，必为 alpha_i / (alpha1 + alpha2 + alpha3 + ...)。楼主也可以在高等微观经济学的课本里面看到这个结果的。

换句话说，上面的结果可以写作 wi * zi / c = alpha_i / (alpha1 + alpha2 + alpha3 + ...)。那么现在假如我们要求企业采取最优策略，我们可以把每一个投入品的需求写作一个关于总成本的函数，即 zi(c) = alpha_i / (alpha1 + alpha2 + alpha3 + ...) * c / wi。把这个函数代入到生产函数里面去，我们就可以得到最优情况下总成本和总产出之间的关系，这也是长期状态下成本和产出的关系。把这个关系稍微处理一下，可以写作长期成本函数。