价值计算公式的推导和数学证明

    一、价值计算公式的推导

    设有N个人，他们的需求和劳动能力（即生产任意一物品的生产能力）相同。
    再假设共有n种物品，对其需求分别为：
    U1 = D1/T0、
    U2 = D2/T0、
    …… 、
    Un = Dn/T0；
    生产能力分别为：
    M1 = Q1/T1、
    M2 = Q2/T2、
    …… 、
    Mn = Qn/Tn；
    对应的生产者分别为：N1、N2、…… 、Nn。
    （其中T0 = 24小时，为一个人的生命常数，其意义为：我们每个人的生命都是按一天24小时来计算并度过的，这也是需求量最基本的计时单位或周期。Dn为每一个人在一天中对各种物品的需求量，Un = Dn/T0就是各种物品的效用。Mn = Qn/Tn表示一个人的全要素单位时间内的产量，是生产某种物品的相关的各种直接生产时间之和。）
    设满足需求时生产物品A1、A2、…… 、An的劳动时间分别为T1′、T2′、…… 、Tn′，A1、A2、…… 、An分别是D1、D2、…… 、Dn的倍数，则：
    N×D1 = N1×M1×T1′，
    N×D2 = N2×M2×T2′，
    …… ，
    N×Dn = Nn×Mn×Tn′。
    基于公平或平等的原则，应该每个人生产每一种物品的劳动时间都相等，这样就应该T1′ = T2′ = …… = Tn′，由此可以得到：
    N1 = N×U1×24小时/T1′×M1，
    N2 = N×U2×24小时/T2′×M2，
    …… ，
    Nn = N×Un×24小时/Tn′×Mn。
    各式相比就可以得到：
    N1:N2:……:Nn = U1/M1:U2/M2:……:Un/Mn。
    基于公平或平等的原则，生产者得到的每一种物品的数量都应该相同，因此A1×D1 = M1×T1′、A2×D2 = M2×T2′、…… 、An×Dn = Mn×Tn′，所以可以得到：
    A1 = M1×T1′/D1 = T1′/24(U1/M1)，
    A2 = M2×T2′/D2 = T2′/24(U2/M2)，
    …… ，
    An = Mn×Tn′/Dn = Tn′/24(Un/Mn)。
    A1:A2:……:An就是以使用价值为基准单位的各种物品的数量交换比，进而我们可以得到：
    A1:A2:……:An = 1/(U1/M1):1/(U2/M2):……:1/(Un/Mn)。
    如果以使用价值中的物品数量作为基本交换单位，当交换对等时，因为A1×D1 = A2×D2 = …… = An×Dn，所以可以得到：
    D1:D2:……:Dn = (U1/M1):(U2/M2):……:(Un/Mn)。
    从以上式子中我们可以看到，不论是生产者人数比还是以使用价值作为交换单位的数量比，都与U/M这一比值有关。这一比值反映出的就是物品在生活中与人有关的一种固有的性质，我们把这种性质定义为物品的价值实际上正是反映了一种自然情况，完全可以认为价值是一种自然存在的作用原理。我们把U/M用V表示，即令V = U/M，于是就得到了计算价值的公式；同时也可以得出：
    N1:N2:……:Nn = V1:V2:……:Vn，
    A1:A2:……:An = 1/V1:1/V2:……:1/Vn，
    D1:D2:……:Dn = V1:V2:……:Vn。
    依据价值的计算公式，我们就能理解并证明劳动时间在什么特殊情况下才能用来直接衡量价值。
    因为V = U/M = (D/T0)/(Q/T)，当Q = D时，即把生产能力中的产量Q约成与使用价值中的需求量D相同或者是按正好满足需求生产，则可以得到：V = T/T0。由于T0是常数，所以价值的大小只与这一特殊的生产时间T有关并成正比。不过因为这种时间一般不会自动显露出来，所以用劳动时间衡量价值做法总是行不通。另外要注意的是，即便如此也只能算出各种物品的价值比例数值。因为所谓的绝对价值还与T0有关，这实在是太普通了，从而使得价值的确定很不容易被察觉。
    从上面的分析和论证我们可以得出结论：价值确实与社会形态无关而具有普遍性，也可以认为在经济领域是存在着基本的或者说是普遍的原理的，这就是价值的自然作用；即价值等于使用价值比生产能力，这将决定不同物品间的生产人数和交换比。

    二、价值计算公式的数学证明

    我们可以把有关边际效用的问题用数学语言来表达，依此就能严格地证明价值计算公式的一般形式。
    设一常数数列为C，即数列是C，C，C，C，C，…… ，则其和为∑Cn = n×C。所谓边际是C，整体应是总数∑Cn，边际效用就是C与∑Cn的比值即：
    C/∑Cn =1/n。
    这样我们就能理解，边际效用递减规律的意思是指随着n的增加边际C对整体∑Cn的影响程度（占比）会越来越小。这就像宋承先在其著作《现代西方经济学（微观经济学）》中认为的那样：“由此可见，经济分析中使用的‘边际’这个概念，无非是用来表达有函数关系的诸变量中，自变量的微量变化引起的因变量相应变化的程度的大小。”[1]但是我们应该注意这么一个问题，这并不意味着C也非得跟着变化不可；要是也跟着变小只能说明其影响程度会递减得更快，即∑Cn发散的速度将降低。也可以这么认为，所谓的边际效用是边际C对整体∑Cn的影响问题，随着n的增加C与∑Cn的比值必然会减小，再用边际C的逐渐减小就把结果重复了。正是这种重复很容易混淆边际与整体的问题，不自觉地把各种条件以及结论张冠李戴了。
    把常数C理解成是某一固定的效用，则n个C的总效用就是其数列之和即：∑Cn = n×C。这与有多少个C有关，而与C所处的位置即边际效用并非无关但不直接相关。因为这是两方面的问题，所代表或反映的意义是不同的。假设不是这样，认为总效用由边际效用1/n决定，则会得到总效用为n×1/n = 1，这就与什么都无关了。边际效用价值论的问题正是出在了这里，看似可以用边际效用直接确定价值，实际上除了人为任意规定的“递减”的边际价值（认为等于边际效用）之外根本就无法计算任何与事实有关的真正的价值而只能成为一种主观价值论。或者说，这只是通过边际效用递减的规律把价值变化的现象反映出来了，但不可能由此算出正确而又准确的价值数值。
    在C后面缀上物品的名称，并把数量用一个人在一天（24小时）的需求作为其常数的固定意义，则此时的C就是一种可度量或可量化的效用即C/24小时（不等于价值）。∑Cn不能凭空而来，这显然与具体的生产有关，我们把C用一个人在单位小时（T）内的产量来表示就能得到∑Cn所代表的生产意义即：(∑Cn /24) = C/T。于是可以得到：
    C/∑Cn = (C/24)/(∑Cn/24) = T/24。
    或者说，把C和∑Cn都用一个统一的时间24小时衡量就可以得到：C/∑Cn = (C/24)/(∑Cn/24)。令时间T的意义为生产C 的时间含量即(∑Cn/24) = C/T，于是可以得到：
    C/∑Cn = (C/24)/(∑Cn/24) = T/24。
    这说明当生产C的用时T越小（对应着n越大）其对于以一个人在24小时（一天）为基本标准的获得的影响程度就越小，这种影响程度就是我们日常生活中的价值的意思。如果不进行量化，即不确定一个比较的共同基准，则总价值就是n×1/n = 1，这同样与什么都无关而没有任何实际意义。反之，n个C的总价值应该是n×T/24。这不等于边际效用的倍数，也不是简单的所谓“边际价值”的倍数。对此我们也可以这么理解，如果没有一个统一的标准，例如把C都减少1/4、1/3、1/2等，只要其“个数”相等所得到的“边际效用”即增量比都是一样的，那就自然失去了实际意义。例如，把“一张饼”分成七份，不论怎么规定效用数值所得到的“价值”都没法反映出这张饼到底有多大。为此必须首先制定经济学中的数量量度标准，这就是对物品的效用进行量化；而这种量化或量度标准显然没有离开人以及时间的道理，进而就构成了使用价值。
    把量化后的C用使用价值U表示，把∑Cn用生产能力M表示，并用V代表价值的符号，就可以得到：
    V = U/M。
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[1] 《现代西方经济学（微观经济学）》，上海复旦大学出版社，1994年，第145页。

有关需求、使用价值或效用的概念可参阅“效用的量化”一文：http://www.pinggu.org/bbs/thread-466590-1-1.html
有关生产的概念可参阅“生产的量化”一文：http://www.pinggu.org/bbs/thread-469685-1-1.html
有关价值的概念可参阅“价值的计算方式”一文：http://www.pinggu.org/bbs/thread-469983-1-1.html