fancunhui 发表于 2009-9-27 16:32 拟凹是凹的特殊情况，拟凸是凸的特殊情况

fancunhui 发表于 2009-9-27 16:32 函数f(x)是凸函数，如果f(ex1+(1-e)x2)>ef(x1)+(1-e)f(x2); 拟凸则是>=关系。对于凹函数，反则反之。

sungmoo 发表于 2009-9-27 20:01

凹是拟凹的特殊情况（凹是拟凹的充分但非必要条件），凸是拟凸的特殊情况（凸是拟凸的充分但非必要条件）。

凸也可以拟凹，凹也可以拟凸，拟凹也可以拟凸。

nazam 发表于 2009-10-5 20:02
10# 猫爪
错了。生产函数先边际递增后边际递减是说明函数先凸后凹，中间有拐点，函数凸凹发生变化。但是这样的函数可能是一个单峰函数。我们经常看到的生产函数就是一个拟凹函数，才不是“又拟凸又拟凹”。

twomantou 发表于 2009-10-6 09:20

nazam 发表于 2009-10-5 20:02
10# 猫爪
错了。生产函数先边际递增后边际递减是说明函数先凸后凹，中间有拐点，函数凸凹发生变化。但是这样的函数可能是一个单峰函数。我们经常看到的生产函数就是一个拟凹函数，才不是“又拟凸又拟凹”。

有一点不明白，既然我们说生产函数先边际递增后边际递减是说明函数先凸后凹，我们又说凸是拟凸的特殊情况，凹是拟凹的特殊情况，（即如果函数是凹的，那么这个函数是拟凹的，凸亦然）。那么为什么说一个"又凸又凹"的函数是"又拟凸又拟凹"是错的呢？这个论断逻辑上没问题啊？

nazam 发表于 2009-10-6 09:15 无差异曲线是凸的，是说边际替代率递减（二阶导数在上升）

nazam 发表于 2009-10-6 19:08 数学上很少说又凸又凹，除非该函数是线性的。你所言的又凸又凹是说有时凸有时凹。有这么一种可能：一个函数在区间（1，2）上是凸的，当然也是拟凸的，在另一个区间[2，3）上是凹的（也是拟凹的），我们不能说这个函数在区间（1，3）上又拟凸又拟凹。但有可能这个函数在（1，3）上整体是拟凹的。事实上，对于单变量函数来说，只要函数单峰（先单增然后单减）它就是拟凹函数，就如微观经济学上所言的生产函数，它是拟凹的，所以就能定义等产量曲线，且该曲线是凸函数。

nazam 发表于 2009-10-6 09:15 无差异曲线是凸的，说明集合{(X1,X2)|U(X1,X2)>=A}（至少保证效用水平为A的那些消费束集）是一个凸集。因此，无差异曲线是凸的，与效用函数的水平集是凸集等价，进而推出效用函数是拟凹函数。

nazam 发表于 2009-10-6 09:02
10# 猫爪
错了。生产函数先边际递增后边际递减是说明函数先凸后凹，中间有拐点，函数凸凹发生变化。但是这样的函数可能是一个单峰函数。我们经常看到的生产函数就是一个拟凹函数，才不是“又拟凸又拟凹”。

sungmoo 发表于 2009-10-6 19:34

nazam 发表于 2009-10-6 09:15 无差异曲线是凸的，说明集合{(X1,X2)|U(X1,X2)>=A}（至少保证效用水平为A的那些消费束集）是一个凸集。因此，无差异曲线是凸的，与效用函数的水平集是凸集等价，进而推出效用函数是拟凹函数。

如果偏好不满足单调性，凸无差异曲线（按你的定义）未必保证效用函数拟凹。

凸集是连通的。

nazam 发表于 2009-10-7 13:20 任意水平无差异曲线的凸性, 足以保证效用函数是拟凹的. 两者本身互为充要条件. 你所谓的单调性对于效用函数的存在性有意义.

nazam 发表于 2009-10-7 13:05 无差异曲线也未必是条曲线.

nazam 发表于 2009-10-7 13:20 任意水平无差异曲线的凸性, 足以保证效用函数是拟凹的. 两者本身互为充要条件

nazam 发表于 2009-10-7 13:14 先凸后凹的函数多了去了. y= - x^3

sungmoo 发表于 2009-10-6 19:27

nazam 发表于 2009-10-6 19:08 数学上很少说又凸又凹，除非该函数是线性的。你所言的又凸又凹是说有时凸有时凹。有这么一种可能：一个函数在区间（1，2）上是凸的，当然也是拟凸的，在另一个区间[2，3）上是凹的（也是拟凹的），我们不能说这个函数在区间（1，3）上又拟凸又拟凹。但有可能这个函数在（1，3）上整体是拟凹的。事实上，对于单变量函数来说，只要函数单峰（先单增然后单减）它就是拟凹函数，就如微观经济学上所言的生产函数，它是拟凹的，所以就能定义等产量曲线，且该曲线是凸函数。

（1）“数学上很少说”不等于“不存在”。

（2）y=x^0.5，该函数既全局拟凹又全局拟凸。

sungmoo 发表于 2009-10-7 14:05

nazam 发表于 2009-10-7 13:20 任意水平无差异曲线的凸性, 足以保证效用函数是拟凹的. 两者本身互为充要条件

我想看一下你的证明。

不过，这里先请你明确给出“凸无差异曲线”的定义。

如果它就是用“效用函数拟凹”来定义的，两者自然等价。