误差在生活实践中的应用

                          于德浩

                          2016.11.4

误差源于生活实践，人们一般把细枝末节的不确定性称为误差。比如，一个人说他身高是1米7，一般人都不会纠结于他到底是171厘米还是168厘米。无所谓，人们只要知道他过1米8的门，碰不到头就可以了。可是，人们为什么一般只设计1米8的门而不是2米的门呢？ 对了，这就是误差在实践中的应用。人们简单统计发现一般中国人的平均身高大约是170cm，误差是10cm，大约80%的人都在180厘米以下。当然了，如果在欧美“高个子”国家，那么门的一般设计高度就是2m，因为他们的平均身高大约是190厘米。

生活中的具体问题，对于误差的限定，一般是粗糙的，“够用就行”。物理学中对误差的定义要精确的多。实验的真值是对已观测的所有事例进行算术平均，而误差是观测数据的平方的平均值减去真值的平方，然后再开根号。物理学中误差的定义，是为了展示，实际观测值相对统计平均值的偏离。误差越大，那么偏离就越多；误差越小，偏离就越少，也就是说把平均值看作真值要更精确，实际应用就更“靠谱”。

简单举例，事件A，依次出现为，{9,10,11}；事件B，{5,10,15}。显然，A的平均值是（9+10+11）/3=10；同理，B=（5+10+15）/3=10。虽然，A和B的平均值一样，但是如果让我们去预言，下一次A或B的实际发生值是多少？我们可以大胆地说，“A大约会是10，可能略有出入。”但对于B，我们只能小心的说，“B可能是10吧？这个说不好，偏差太大。”

在数学上，误差的定义要更为严格。概率统计学中认为，事件的真值是其数学期望值，既要包括已有的历史数据（已观测事例），也要包含未来的还未发生的所有事件。所以说，严格的讲，事件的真值或期望值，是人们永远也不可能精确知道的。但是，根据大数定律，当已观测的事例数N趋于无穷多时，其算术平均值就与真值无限接近。也就是说，物理学上的实验真值或平均值，只是其数学期望值的近似值，默认已满足N非常大的苛刻条件。

从某些具体实践应用来看，数学上的严格似乎是多此一举。比如，N=1亿才能满足数学上的无穷大要求；而实际上，N=1万，甚至N=1千就“足够”是现实中的无穷大了。数学也是侧重应用的，“平均值不是严格的真值”主要是告诉人们，对于事件真值的估计，除了平均值估值法，还有很多其他的方法，比如“最大概然值估值法”。人们切不可局限于“求平均值”这么一种方法。

简单举例，现有1万个历史数据，对于传统的“真值”估计，就是把1万个事例算术平均，比如，求得真值是10。而“最大概然值估值法”要相对更简单，我们只要随机抽取其中的100个事例，大体的粗略观察，发现其中80个事例都是在10附近，于是我们也可以得出结论，事件的真值应该就是10。

概率统计学中，随机变量的二阶中心矩被定义为方差。方差的平方根就是标准差，标准差就是物理学中的误差。数学上的中心矩概念要更规范，一阶中心矩就是真值或期望值，也就是一般人们所说的平均值；二阶中心矩就与误差相对应，三阶被称为偏度，四阶被称为峰度。更高阶数学上也可以有，但是实际生活中根本就用不到。当然，人们日常生活中最常用的还是平均值和误差，就是数学上的期望值和标准差。

我很有必要在此强调的是，老百姓口中的“未来的真实情况”不是数学上定义的事件的真值，而是指未来事例的某一个观测值。简单举例，比如现在股票的价格是15元，这是一个现在的实际观测值；证券分析师说，该股票估值是10元，这个是分析师依据某一种分析方法估计的期望值或真值。股民问，一年后股票的价格会变成多少，他是想知道一年后的股价具体观测值。分析师一般会这么回答，一年后股票估值约为12元，这个是指期望值或平均值。而一年后，股票价格到底是变成12元；还是上涨为20元或40元；还是下跌为10元或5元；这些具体的未来实际观测值，分析师他当然不知道，任何一个人也不可能知道。

我们说，世界是不可预测的，就是指未来的具体观测值不确定性太大，无法预言；我们说，世界是有规律可循的，就是指其期望值或真值，人们是可以合理估计的。由于股票价格的误差相对太大，所以仅就某1年的价格和期望值一一对应是不切实际的。但是，如果人们能够坚持10年或20年，都一贯以企业的内在价值去对应股票价格，这种做法就是可取的。用数学语言表述，10年的事例数足够多了，才达到了N趋于无穷大这个前提条件。

下面，我举一个简单例子，来具体看一下误差的计算及应用。假设，事件A有3万个历史数据，大体可以认为是{9,10,11}这个基本数列的1万次重复循环。现在，我们只需简单分析这一组3个数即可。 显然，A的真值或平均值，就是（9+10+11）/3=10；而方差是，[（9^2+10^2+11^2）/3]-10^2=2/3；误差或标准差就是，（2/3）^0.5=0.82。于是，人们一般写为，A=10加减0.82。值得注意的是，误差不是1；即看上去想当然的10-9或者11-10=1。

在这个具体的事件A中，期望值是10，标准差是0.82；所有的3万个事例都分布在距离真值正负1.2个西伽马以内，其中1.2=（11-10）/0.82或者（10-9）/0.82=1.2。对于下一次未来的类似事件A，人们给出的预言是，其观测值大约应该是10，可能有0.82大小的偏差。当然，量子力学式的描述会更精准，“其观测值将处于9,10,11这么3个量子态，每个概率都是1/3。”

在实践中，如果人们对事件A的要求很宽，比如只要介于6-15就好，那么事件A就是可行的，而且成品率为100%。如果人们要求A大于等于10且小于12，那么事件A的成品率就是2/3=67%。假如人们要求成品率高于50%就行，那么事件A也是可行的；而若人们要求成品率必须高于80%，那么事件A就不可行，人们应该去找寻新的方案B或C。

具体到福利彩票的案例，一般来说，投注1次2元，中奖200万元的概率，大约是一千万分之一。也就是说，平均需要花费2000万元，才能得到200万元；这显然是一个亏本的买卖，理性人是不可能让这个事件A发生的。但是，感性人的要求很宽，一千万分之一的成品率已经达到了他的要求。所以，一般都是知识文化水平较低的穷人捐款福利彩票，富人一般不参与这个游戏。

物理学上的测量误差一般满足正态分布，所以大都写成上面的事件A=平均值+-误差的形式。高斯分布是关于期望值左右对称的分布，而且期望值与最大概然值重合。一般人们可以计算出高斯分布1倍标准差以内的事例占比是70%，2倍西伽马以内是95%，3倍西伽马以内则高达99.8%。就是说，如果一个事件A满足高斯分布，那么所有的过去现在及未来的事例几乎都会在3倍标准差以内，逃不出这个如来佛的手掌心。这个3倍西伽马原则是一个非常有用的法宝，富人一般会用于股票投资。比如，股票的价值是10元，误差很大也是10元。显然，如果仅用“平均值”这个参量是没多少意义的。如果，假设股票价格分布满足高斯分布，适用于3倍标准差原则。那么，好了，我只要在10元处买入股票，然后耐心的等到股票价格总有一天会上涨到10+3*10=40元，到达最右端的3个西伽马处。这时卖出，就有3倍的利润。当然，这个过程很可能是漫长的，煎熬的，正如巴菲特所言，也许是5年、10年或20年。

而且，股票价格分布明显就不是正态分布，人们只能用普通的随机分布去限制它，这时候的应用法则就是切比雪夫不等式。他证明，随机变量落在n倍西伽马以内的概率大于（1-1/n^2）。就是说，随便一个随机分布在2倍标准差以内的概率是1-1/4=75%，在5倍西伽马以内的概率是1-1/25=96%。人们一般把概率小于5%的事件归为小概率事件，在实际生活中不会或很少发生，这就是5倍西伽马原则。依据上面的分析，5倍标准差更好啊，那就意味着股价可以从10元上涨到10+5*10=60元，获利500%啊。我要说明的是，高斯分布给出的是一个确定的等式，而切比雪夫给出的是不等式。这很可能意味着，股价上涨到50元，就开始回撤了，你死等60元最高目标价换来的是白做一趟过山车。“辛辛苦苦盼五年，一朝回到解放前。”

当一个随机事件的分布不是正态分布时，这时候的误差或标准差限定其实意义不大。股票价格的概率分布，从大体上看，与家庭财富的社会化分布很类似，赤贫的人很少，大多数是普通工薪阶层，少数中产阶层，极少数富人阶层。从图形上看，就是左侧较低，迅速攀升到最大概然值处，然后缓缓下降，形成右端长尾分布。期望值或平均值在最大概然值的右侧，就是说平均工资要高于一般工薪阶层，这就是人们常常调侃说，“我又被高工资平均了一次。”目前，经济学界往往以幂级数或指数分布来描述期望值右端的长尾巴。在我看来，这个分布实际更类似于黑体辐射中的普朗克分布，我估计经济学家可能很少看物理学。

如果看一个长周期的牛熊市，股价大部分时间都处于相对低价位。比如，在2006.1-2013.6这个大约7年半的长周期里，上证指数大约在1000-2000点的超低点位持续了1年；在3000-6000点的较高处持续了1年半；而在2000-3000点则持续了漫长的5年。在股民们最喜欢最狂热的5000-6000点仅持续3个月，前两个月的最后冲刺紧跟着一个月的大幅下跌。

我在此主要想说的是，对于类似股价分布这样的非对称的右长尾分布，标准差或误差的参考意义就几乎没有了。就是说，假使我们仍然认为2000-3000点是处于正负1个标准差以内，概率达到70%。那么标准差就是（3000-2000）/2=500。但是如果一旦这样认定，那么最高处6000点就相当于（6000-2500）/500=7倍西伽马处。这就远远超出高斯分布的3倍西伽马原则，也超过了切比雪夫的5倍西伽马标准。

另外一种我认为比较合理的分法就是，把3000点看作是期望值，1000是标准差。上证指数在期望值左侧1个标准差内的概率是5年/7.5年=2/3=67%，而6000点最大值仍然是处于右端3倍西伽马处，（6000-3000）/1000=3。当然，这有些牵强附会。

我认为，针对此类情况可以舍弃误差分析，而改为区间概率分析。就是说，我们把事件出现的状态分为3种：普通，稀有，特殊。 其中普通常态大约占比70%，稀有占比25%，特殊占比5%。人们的任务主要是界定普通常态的区间及特殊态的区间。

比如，我把2000-3000点归为普通常态；5000-6000点，归为特殊态。具体的投资实践指导，就是在常态或以下时买入股票，在特殊态时卖出股票。常态时买入股票，可以从容的慢悠悠的建仓，特殊态时卖出股票可以防止高位博傻。也许你说，你怎么区分常态和特殊态呢？很简单，常态有5年呢，基本上每天都可以买入股票；而特殊态更好判断，疯狂的时候肯定是特殊的。在2007年最后一个季度时，人们很难预测上证综指会不会突破1万点，但是几乎每个股民都知道，这是疯狂的，现在很不正常。

当然，最令人困扰的是，如果2009年买入3000点的股票，实际上也是一个相对高点，而且，后面是漫长的5年熊市。我只能说，这个无法避免，只能等，耐心的等到下一个牛市即2015年的5000点到来。“吃得苦中苦，方为人上人”，巴菲特就是这么日复一日坚持的，我们为什么就不能向股神学一学呢？