说清楚“这些条件”，是关键。

（也正是公理化概率定义的关键）

我顶楼上的同志们~

进入玄学

讨论的内容开始重复了

未必重复。

有些人对事件域应包括哪些可测集仍有模糊认识。

sungmoo版主的基本功挺好

大家讨论后就更加明白了

大家讲了很多,我也该出马了,
概率到底是什么,savici为代表的人认为概率是特定个体对特定命题的真实性的相信程度.
事件本身没有概率,而概率是由人附加给事件的,其有两个特性:可变性和相对性.(主观概率)
以 rudolf carnap为代表的逻辑概率, 事件的确认度的量化,也是说证据对假设的支持度.(几何概率)
频率解释,基于大数定律和中心极限定理(这也是概率是统计学基础的一个关键点),但对单个事件没有意义.
小结: 以上是经典概率的定义.

以测度论为基础的现代概率,大家讲了很多.在这里不多说.

对于以上都一个共同的特定就是可加性, 然而我们的概率不可加性没有给出明确的解释, 也没有告诉我们为什么
不可加性的概率不可以.
量子概率给出概率交互效应,这对于统计概率来说非常重要,但我能力有限无法讲清楚, 给大家一篇文章见下.同时大家给下面这个问题做个解释
在统计中方差分析有主效应和交互效应之分,但是如果我们从概率的角度考虑,会怎么样? 我理解不了,只能提出这个问题

我们把概率的置信度(主观)解释、确认度(逻辑)解释、频率(真实度)解释统称为概率的经典解释；
而概率概念在量子力学应用中带来的变化称为量子概率。量子概率与经典概率在概念上有联系也有
区别。借助于概率的“可视度解释”，将概率定义合理地引到单个事件及波的干涉，可将量子力学
几率解释与量子力学曲率解释联系起来，排除经验主义的纠缠，合理地解释电子的双缝干涉实验。
第一节  经典概率

一  概率的几种解释┆

1.置信度解释(1)

概率的置信度解释又叫信念度解释或主观解释。代表人物是拉姆赛、德·芬内蒂和萨维奇(萨维奇称其为私人主义解释)。所谓置信度，是指特定个体对待特定命题真实性相信的程度。也就是概率是对个人信念合理性的量度。概率的置信度解释表明，事件本身并没有什么概率，事件之所以指派有概率只是指派概率的人头脑中所具有的信念证据。一方面，不同的人对同一事件的置信度不相同，因此，置信度是相对的；另一方面置信度又随个人的认识程度和所具有的知识状态的改变而改变，因此，置信度又具有可变性。置信度的可变性和相对性是概率主观解释的核心。

可以举例加深对概率主观解释的理解。赌博是常见的事例。某人下赌注，他的赌注到底下哪一边，下多少，是成功还是失败，只是下赌注的人信念上的事，不需要涉及任何客观统计资料。这种成功与失败，其概率是主观上的估计，是个人对可几事件的置信度。这也是人们把这种概率叫主观概率的重要原因。主观概率要求每一个有合理信念的人不能自相矛盾，信念自始至终首尾一惯。这种作为信念合理性量度的主观概率尽管是观念性的，但仍然遵守概率演算公理，并符合经典统计力学的因果关系。

2.逻辑解释(确认度解释)

对概率的解释，除主观解释之外，还有以鲁道夫·卡尔纳普为代表的逻辑解释。逻辑解释通过对可几事件确认度(确证度)的量度得到定义。确认度则是对可几事件的一种逻辑推理，也就是将归纳逻辑看作任意命题H(假说)与证据E之间所具有的逻辑关系，即E对H的归纳支持度。这样,概率P(H，E)(读作H对E的概率)的值，至少在原则上可以单值地定义。以气象预报为例。气象预报之前要收集气象资料(气象数据)，然后，对气象资料进行分析。通过逻辑推理，推断明天“晴”或者“雨”，这一随机事件出现的概率。这里，所收集的资料(气象数据)，并不一定与预测的随机事件“晴或雨”发生直接的联系，但逻辑上有关系，因此可在一定程度上作为可几事件出现的支持证据。例如,通过对气象数据的逻辑分析，得出明天下雨的概率是80%。但这就必须注意，这个80%要下雨只是逻辑推理的结果。它1)不是事实，还没有到明天，2)也不能理解为实际发生事件的一个相对频率，3)更不意味着是可确认的。80%的几率总不能与事实相符，无论是否下雨，它只是一个确认度而已。看来，概率的逻辑解释中，概率既不是事实的，也不是可证实的，概率陈述和经验结果之间并不存任何直接的必然联系［2］。它是通过资料之间的逻辑关系，对可几事件的一种预测。可几事件的概率本身是观念性的，但可几事件的出现受因果关系制约。

3.频率解释

概率的频率解释又称频度解释或客观解释(真实度解释)，是指一类特定事件E中，某一事件H出现的相对频率。精确定义是：被指派概率的数值P，是一重复事件H的一个无穷系列E在长趋势中所表现的相对频率的极限值。其数学表达式是：

                                            (6.1)

其中：0≤m≤n，0≤P≤1，m是H产生的次数，n是E的总次数.m、n都是整数，在频率解释中，概率是整数与整数比的极限。必须注意，这里事件的“类”是形成概率的条件。“类”的选择不同，概率的值也就不同［3］。概率的频率解释无须假定“随机事件的无差异原理”，而是根据事件出现的客观状态，通过相对频率的极限计算随机事件出现的概率。所以，又称频度概率为客观概率。概率的频率解释也有其不足之处，就是当相对频率的极限不存在时，概率就无法定义。同时频率解释不适用于单个事件或假说。

概率的频度解释中相对频率与概率的关系可从下例得到说明。

投硬币，当n→∞时，正面朝上的概率为50%，但当n不是无穷大时，正面朝上的相对频率却是可变的。表6-1中是A、B、C三人投硬币的实验数据。根据相对频率的计算公式：         

fi＝ m / n                                         (6.2)

可计算相对频率。见表6-1。

表6-1   相对频率实验数据

实验者        实验总次数(n)     正面朝上次数(m)        相对频率fi

     A                   4040                       2048                       0.5469

     B                  12000                      6019                       0.5016

     C                  24000                     12012                      0.5005

从表6-1不难看出，相对频率的数值并不正好等于0.5，而是随着实验次数的增加，相对频率逐渐逼近极限值0.5。这个0.5，就是当n→∞时，投硬币正面朝上的概率。

概率的频率解释有缺点，也有优点。优点在于强调概率的客观性，将概率与科学实验相联系，断定客观世界有统计规律存在。但是我们仍然必须注意，客观概率也只是一种大数统计的规律性，它是一种知识，对单个事件不能定义。对单个事件，只能定义相对频率，而不能定义概率。而概率的“可视度解释”，却可以综合包容上述两方面的内涵，扬长而避短。在第四部分我们将详细论述。

二 经典概率的特征

1.概率的知识性和单次随机事件的因果性

我们把概率的主观解释、概率的逻辑解释，概率的频率解释统称为经典概率。经典概率的重要特征之一，是概率的知识性和单次随机事件的因果性。概率表示一种数学知识，代表一类事物出现的统计规律，并且单次事件的出现受经典力学控制。概率的主观解释中，赌徒下赌注，完全凭的是主观判断。当然，他可能有他的依据，比如，他依据“无差异原理”和“庄家手的摇动姿势”等等。这是置信度形成的过程。但他的信念程度与骰子出现的点数没有必然的内在联系。因此，赌徒估计的概率，是他的一种信念程度，是主观的而不是客观的。只有当庄家揭盖子的时候，主观的概率才向客观的现实转化。这种转化不受主观制约，只受客观条件制约。随机事件的发生符合经典力学的因果关系。当然主观可能与客观相符，也可能不符，相符概率是1，不符概率是0。一般地主观概率是(0,1)之间的一个百分比，而现实只有“是(1)”或“不是(0)”，这两种情况。我们把这叫主观概率向客观现实的(0,1)突变。概率的逻辑解释也有类似的情形。天气预报中，气象数据与预报的结果之间是一种逻辑推理关系。说明天60%要下雨，那也是一种预计，是对各种气象资料综合分析得出的结论。这是概率的形成过程。它与明天是否下雨没有必然的内在联系。然而，真的到了明天，天气不管是“晴”还是“雨”，“天晴”则下雨的概率变为0，“下雨”，则下雨的概率变为1。真实的明天，下雨的概率还是在(0,1)之间突变的。天气预报“明天60%要下雨”，仍然是一种对天气了解的相应知识，它也存在一个主观向客观转化的过程，而且这种转化只受气候因素制约，而与人的主观判断无关。

概率的频率解释也不例外。虽然由频率解释得到的概率叫客观概率，这只是针对概率的形成而言的。客观概率是对大数统计规律性的量度，概率本身仍然是一种数学知识。定义式(6.1)中的n→∞，是表明随机事件出现的概率伴随一个大数统计过程，即从具体到抽象的过程。因此，概率的形成求取过程，实际就是从单个物理实在向观念或知识上升的过程。掷硬币，正反面出现的概率各为50%，也正是表明一种大数统计规律，是一种知识。通常我们比较注意概率形成求取过程，而比较不注意其反过程。所谓反过程，是指通过大数统计，我们知道了某类随机事件出现的概率后，再观察随机事件出现的过程。比如掷硬币，虽然我们已经知道了正反面出现的概率各为50%，但此后的每次掷硬币，仍然只有两种确定的状态：要么正面，要么反面。用概率来表征，就是正面(或反面)出现的概率要么是1，要么是0。而且，单次事件的出现受经典力学的条件控制。由此我们得出结论：如果把大数统计的分析归纳过程看作是由单一物理实在(0,1)向观念知识上升的过程；那么反过来，知道概率之后，再次观察单次随机事件发生的过程，也可以看作是由观念(知识)向物理实在(0,1)转化的反过程。不管概率的哪种解释，无论初始条件怎么复杂，如何不可预料，单次随机事件的出现，其物理机制总是受经典力学因果关系制约的。

2.概率的迭加性

我们再来看看经典概率对子弹(以子弹取代电子)穿过双缝实验的描述［4］。如图6.1所示。图6.1中A是子弹发射源。第一步关闭缝S2，只开S1，得到子弹在屏B上的概率分布曲线P1；第二步关闭S1，只开S2，得到子弹在屏B上的概率分布曲线P2；第三步将S1、S2同时打开，得到的分布曲线是P，而且

P＝P1+P2                                        (6.3)
                                


图6.1经典概率对子弹穿过双缝实验的描述

这表明经典概率符合迭加原理。
3.概率的条件性
      在概率的主观解释中，形成主观概率的个人，他的最基本的依据是相信随机事件出现的“无
差异原理”。比如硬币或骰子，这个“无差异原理”就是硬币和骰子的“材质均匀”。这际上是主
观概率出现的条件。如果硬币和骰子的“材质不均匀”，而且有人知道了这种“不均匀”，那么他
所形成的主观概率肯定会与其他不知道的人不同。在概率的逻辑解释中，某一命题(事件)出现的概
率，是通过其他命题(事件)与其之间的逻辑关系推断出来的。比如前面提到的天气预报，预报者掌
握的气象数据不同，预报的准确度也就不同，掌握的气象资料越多，越全面，预报的准确度就会越
高，对气象资料的掌握，当然就成了逻辑概率形成的条件。在概率的频率解释中，随机事件选取比
较的“类”不同，概率也会不同。比如，抽烟得癌症的病人占全市人的概率，就与抽烟得癌症的病
人占抽烟人的概率不同。同一个随机事件，选取比较的“类”(全市人与抽烟人)不同，其概率就不
同。这里“类”的选取实际上是概率形成的条件。
     一般地，若R是比Si更强的条件，即满足R的事件都满足Si，在Si条件下进行的N次随机实验中，
有NR次出现R事件，则在Si条件下R事件出现的概率(几率)为［3］
                                     (6.4)
我们把既满足条件A，又满足条件R的事件，称作“R·A”事件。若在Si条件下进行的N次
随机实验中，有NR·A次是R·A事件，则在Si条件下，R·A事件出现的概率(几率)为
                                                      (6.5)
又，在NR次出现R事件的实验中，有NR·A次出现事件A，因此在R条件下，事件A出现的概率(几率)是：
                  (6.6)
将(6.5)除以(6.4)得：
                                 (6.7)
比较(6.7)、(6.6)式得：
                          P(A/R)=P(R·A/Si)/P(R/Si)                                  (6.8)
(6.8)式中只有条件R＝Si时才有
              P(A/R)=P(R·A/Si)                          (6.9)
否则
              P(A/R)≠P(R·A/Si)                                            (6.10)
        (6.10)式表明经典统计条件的变化，同一事件出现的概率(几率)将发生变化。这种变化不是前
面提到的从观念到物理实在(0,1)的变化。从观念到物理实在的转变，其背后有着更深层的力学边界
条件的限制，受因果关系制约。了解这一点，对理解量子概率有十分重要的意义。
第二节  量子概率

在海森伯提出量子力学矩阵形式（1925）后不久，薛定谔提出量子力学的波动形式（1926）。在薛定谔的波动方程中波函数ψ描述了电子的运动状态。对波函数ψ最先给出明确意义的是玻恩。1926年玻恩在一篇题为“论碰撞过程的量子力学”的论文中指出：|ψ|2dτ量度了在空间体积元dτ中找到粒子的几率。这就是玻恩的波函数ψ的几率解释。按玻恩当时的理解，电子等微观粒子被设想为古典意义下的质点，它在每一时刻既具有确定的位置，又具有确定的动量［5］。“波动力学并不对粒子碰撞之后的精确状态是什么?”做出回答，而只是回答了“碰撞之后处于某一确定状态的几率是多少?”这一问题。在量子力学中，对一切事件所能说的只能是某事件以什么概率出现，这个概率就取决于概率波的波函数ψ的平方（玻恩在一开始没有强调“平方”，后来做出了改正）。电子波是按概率变化的波。玻恩的几率波克服了薛定谔等人提出的物理实在波的一些困难，如波包扩散等等。玻恩获得了成功。但是，把玻恩原始经典意义下的几率解释（由于没有分清“概率”与“概率幅”的区别）用来说明诸如电子单缝衍射及双缝干涉之类的现象时，却遭到了令人沮丧的失败。电子波的概率不是经典意义下的概率，电子概率不遵从前面提到的经典概率迭加原理，也就是不遵从经典因果律。量子概率具有波的干涉效应。图6.2则是对这种干涉效应的说明。ァ　　　　　　　            

　　　　　　　　　　　












图6.2电子双缝干涉实验

在图6.2中电子通过双缝S1、S2之后，不是形成为图一中的叠加曲线P，而是形成了干涉图样P′。实验可以在电子流极弱的情况下进行，使得一次只有一个粒子通过仪器。从数学分析可知每个粒子所带有的波同它自己发生干涉。“数学波”的干涉可以通过粒子在屏幕上的物理分布显示出来。这意味着电子波含有一种真实的物理作用。因此，波函数必定有某种物理实在性，量子概率不应是经典概率意义下的知识性的东西，也就是说不是经典意义下的知识波——数学波。这是量子概率与经典概率的一个重大区别。

按照玻恩对量子概率的经典方式的理解，|ψ|2dτ应是体积元dτ粒子出现的几率。根据概率频率解释含义， |ψ|2dτ应体现为某个整数与另一个整数之比。即电子出现在体积元dτ 中的次数(整数)，与出现在体积 τ中的次数(整数)之比。然而，任何一个具体的波函数，都无法体现概率的整数比形式。这也是将波函数理解为概率的另一个巨大障碍。电子双缝实验表明量子概率不具有经典概率的迭加性，量子概率不同于经典概率，不遵从经典力学作用规律。量子概率具有相干性。“上帝掷骰子”，既可以掷出①点，也可以掷出②点，还可以掷出①+②同时存在的状态。数学分析还表明电子波是自身和自身干涉，一个电子能同时通过双缝，这是经典力学无法理解的。量子概率应有不同的力学基础。然而电子在屏上的落点却又具有经典概率的品质。一个电子落在屏上的A处，它就不能落在屏上的B处(由亮点显示)，形成量子概率的每一个元素——电子，其落点，仍然具有(0,1)、(1,0)的决定论属性。

如何解决量子概率既有与经典概率不同的本质，而在从概率向物理实在的转化中又具有经典概率的(0,1)特征呢?这真是对人类智慧的检验。物理学和哲学家们有两条思路：第一条思路是电子波不是数学波(几率波)，而是物理波。德布罗意、薛定谔、马德隆等人是其代表人物，爱因斯坦是这一思路方式的积极支持者。第二条思路是电子波是几率波，因为电子在屏上的落点是统计性的。但波函数不能完全理解成一种数学的虚构，而应赋予一种潜在的物理实在性。因为纯数学波的干涉不能产生真实的物理作用。人们相信只有真实的物理相互作用，才能产生真实的物理效应——干涉图样。哥本哈根学派是这一认识路线的代表。海森伯认为是一种“潜能”和“趋势”在控制量子概率的发生。它是一种处于物质与观念精神之间的中间层次的实在［5］。量子力学中的几率波被理解成由“潜能”或“趋势”控制着的几率波。这就是说，决定量子概率的深层基础不是经典牛顿力学和相对论力学，而是处在“物质实在”与“观念精神”之间的中间层次的“潜能”或“趋势”，被看作是一种新型的“物理实在”。“潜能”和“趋势”的力学基础是什么?不明确。但是，海森伯在试图对电子通过威尔逊云室的路径做出几率解释时，赋予了微观粒子动量和位置的不可确定性属性，而正是这个不可确定性属性在电子双缝实验中，将“潜能”和“趋势”做了具体化。所以海森伯说：“这种不确定性正是量子力学中出现统计关系的根本原因。”［5］这样，量子概率的出现，就不需要经典概率那样的不可知的力学边界条件，其统计性的出现，由微观粒子自身的不确定性得以完成。

经典概率形成的原因是事件发生的力学初始条件的不可控制性，但事件的发生仍然遵循牛顿力学和相对论力学的基本规律。量子概率形成的原因是微观粒子自身本质上具有动量和位置的不可确定性。微观世界的这种“不可确定性”，是粒子自身的属性，它不需要外在的基础。相反，又正是这种“不可确定性”，奠定了微观世界物质运动的“新”的力学基础。这就是正统诠释的所谓“量子力学”的本质。“不可确定性”真的是微观粒子自身的属性?在微观世界中，微观粒子真的都患有米尼米氏多动症?近一百年来围绕量子力学正统诠释出现的一系列悖论，量子力学中波函数是物理波还是数学波的争论仍然没有完结。就笔者的研究所知，至少还有如下一些问题值得讨论。

第一，薛定谔方程是建立在经典电磁学基础上的，因此，薛定谔方程是决定论的。彭罗斯把这称作U过程。一个位置和动量不能同时确定的电子，其运动方程的演化却是确定的?描述电子运动状态的方程不需要电子同时具有确定的动量和位置?电子没有确定的位置和动量，能有确定的状态?

第二，海森伯的“不确定性”，只能为电子在屏上落点的统计性或者波函数的几率性，提供一个人为约定的理论基础，它是公理性的。不确定性并没有解决电子波的干涉问题。电子通过双缝表现出波的干涉的物理机制还没有明确。于是又引出了一个电子落点的统计性是在测量的一瞬间完成的问题。彭罗斯把这叫R过程。玻尔认为电子的波性和粒子性是设计的仪器系统赋予电子的,想设计电子是波的仪器系统，它就表现出波性；想设计出电子是粒子的仪器系统，它就表现出粒子性。电子的波粒二象性属于现象形态，被看作是人类经验的产物。有人把这看作量子概率是条件概率的依据。这里又给人们预留了一个想象的空间，测量中形成的电子的波性和粒子性，或者电子落点的统计性与经典力学是相融的。

第三，解释薛定谔方程需要电子遵从经典力学；解释电子通过双缝的干涉效应和屏上落点的波动性，表明电子不遵从经典力学，需要赋予电子自身的不确定性属性；由于不确定性并不能理想解决电子波的退相干的物理机制，哥本哈根又将电子引向经典力学一边，引出了量子测量的许多问题。为了解释微观物理现象，一个电子就这样被人们在决定论和非决定论中推来推去，无所适从。人的认识也因此变得越来越糊涂，甚至痛苦不谌。人类的智慧真的已经穷尽?对微小的电子—一愁莫展?不是的。量子力学曲率解释或许是试图解决这一问题的金钥匙。

サ谌节  量子概率的产生

1.微观粒子非质点特性的科学论证

霍夫施塔特利用电子的“散射”实验，测量了质子和中子的尺寸。实验的成功使他获得了1961年诺贝尔物理学奖。霍夫施塔特实验是电子非点粒子的最有力的实验依据。

霍夫施塔特实验测量表明，质子的电荷分布半径约在1.1×10－15m的范围内，刚好是康普顿波长 λ/2π=(h/2π)/m0c(＝0.21×10－15m)数量级范围。中子似乎在一个大致等于质子尺寸的空间区域内分布着等量的正负电荷，正电荷靠近中央，负电荷处于外围。中子的康普顿波长 λ/2π=(h/2π)/m0c(＝0.21×10－15m)，也与中子的实测半径数量级相同。因为λ0=2πr0 ，如果把λ0看做圆的周长，上式表明，质子和中子的实测半径r0理论上可以通过康普顿波长λ0来计算。尽管人们至今还不知道电子的内部结构，但人们在粒子加速器上进行过电子电荷分布半径的测量，能量高达60Gev时，测得电子的半径小于10－16cm，如果考虑相对论质量效应m0/(1-v2/c2)1/2 ，此时的康普顿波长λ0/2π=(h/2π)/mc=(h/2π)/m0c(1-v2/c2)1/2=(λ0/2π)(1-v2/c2)1/2＝3.2×10－16cm，刚好也与实验测得的电子半径数量级相吻合。有人还做过能量为20Gev电子对撞实验，实验测得电子电荷分布半径小于10－15cm，与此时的康普顿波长 λc/2π=(h/2π)/mc=(h/2π)/m0c(1-v2/c2)1/2=(λ0/2π)(1-v2/c2)1/2＝0.965×10－15cm，吻合得很好。看来，考虑相对论质量效应，用康普顿波长λc 计算微观粒子的分布半径与实验值符合得很好。可见，人们习惯上用康氏波长λc估算粒子的线度是有依据的。与静电子、中子、质子对应的康普顿波长是：

λ0电子/2π=(h/2π)/m0c＝3.86×10－11cm

λ0中子/2π=(h/2π)/m0c＝0.21×10－15m

λ0质子/2π=(h/2π)/m0c＝0.21×10－15m

把康普顿波长λ0作为粒子半径的理论值，理论值与实验值的比较可列成下表：

表(6-2)：电子、质子、中子半径实验值与康氏波长理论值比较

λ0/2π λc/2π

r0 rc

质子(静)

λ0/2π
中子(静)

λ0/2π
静电子

λ0/2π
动电子(20Gev)

λc/2π
动电子(60Gev)

λc/2π

理论值

λ0/2π λc/2π
0.21×10－15m
0.21×10－15m
3.86×10－11cm
0.965×10－１５cm
3.2×10－16cm

实验值

r0 rc c
1.1×10－15m
1.1×10－15m
  
＜10－15cm
＜10－16cm


ぁ∮缮媳砜杉，理论值与实验值数量级符合得很好或比较好。微观粒子不是质点，并且带电微粒的电荷呈球状分布，半径r0(λ0/2π） 随粒子运动速度的增加而减小。实验与理论值的比较还告诉我们：以康氏物质波波长 λ0为圆周的圆的半径与电子“球面”半径r0 有某种内在联系，即电子康氏波波长与电子“球面”的空间特性有某种相关性，也即与电子的“表面曲率”有某种内在联系。

康普顿波长λ0/2π=(h/2π)m0c及相对论静能m0c2是物质实体对任何惯性系都具有的不变量，它是不可直接观察的，也就是说，它的存在与人类观不观察无关。因此，由静态康普顿物质波波长决定的粒子的半径r0 (λ0/2π)及与此对应的粒子的康普顿静止动量m0c 、静能m0c2 ，是与“自在实体”相对应的特征量。而λc/2π=(h/2π)/mc，mc 和mc2 ( m为动质量)是与坐标系的选择有关的物理量，它是可变的，它的存在及大小与人的观察地位及使用的观察信号有关，应是与“现象实体”相对应的特征量。我们的实验测量均在这一范畴之内。霍夫施塔特对质子、中子及尔后电子半径的实验测量，均提供了可靠的实验验证。罗嘉昌先生在他的“关系实在论”中，试图用相对论四维时空中的时空间隔不变量ds作为“本体论”依托，修正经验主义者对“物质本体”的丢失，这是一种很好的尝试。但是，在我们看来，时空是物质相互作用的外在体现，它属于“现象”层次。更深层的，体现物质本体论不变性的，应是我们称之为康普顿动量的m0c和相对论静能m0c2 ，以及由此构成的与“自在实体”对应的康氏波长λ0/2π(或半径r0)。它们紧附于“物质”之上，对任何参照系都不变。因此，只有它们才是“不以人的意志为转移的”外在“不变之物”。我们认为m0c和m0c2及r0 ( λ0/2π)，比ds更具有“本体论”意义。

1930年，朗道(Landau)等人对m0c有一种解释，他认为考虑到相对论效应，即使测量一个单一的力学量，其精度在原则上也受到限制。在相对电子静止的参考系中，位置测量的不确定量为：                             

                                     △x=(h/2π)/m0c                                         (6.11)

动量的不确定量为：

                                    △p0= m0c                                                  (6.12)

(6.11)、(6.12)式中c是光速,m0是电子的静止质量，h是量普朗克常数，它们都是不变量。因此△p0、△x0也应是不变量，也就是朗道的“不确定量”是不变量，即形是不变量。在讨论的问题中，若△x0的大小（微观客体形的大小）可以忽略不计时，微观粒子即可按宏观经典力学的质点来处理。

现在知道，朗道静电子位置不确定量，正是实验测得的静电子的非点粒子半径r0 (△x0)的理论值，并由反映电子本体论特征的不变量m0c决定，

即                                             r0=λ0/2π=(h/2π)/m0c                          

其实，朗道对△x0所作的解释，只能来源于电子的点粒子假设，而量子力学中电子刚好是质点。电子本来不是质点，具有真实的半径△x0，如果把电子当成质点，那么，这个质点就必须弥散在△x0的范围之内。电子的大小△x0就成了电子(质点)可能存在的范围。于是，电子有了位置的不确定性。显然，电子位置的不确定性，是在对微观客体作质点抽象时赋于电子的。这就与经典力学中把物体抽象成质点时完全不同，在对电子作质点抽象的同时，赋于了电子新的性质—电子位置的不确定性。量子力学中测不准关系赋于电子的不确定性，来源于电子的质点抽象或量子测量，不能看作电子自身具有的属性。电子的形不能忽略，不确定性产生，电子即有波性；原子内部,非连续作用的出现,形成独立相干波源,相干性产生;连续作用的介入,独立相干波源消失,相干性消失;宏观经典力学中,形可以忽略，波性消失，电子可简化为宏观的质点。

二　“测不准原理”的决定论意义

我们还是先回顾一下海森伯单光子-电子碰撞实验。设想用γ光子去碰撞一个静电子，并且碰撞后电子获得的动量为p电 (p电=△p电)、能量为E电 (E电=△E电)。对光学仪器而言，根据波动论，光子的波长越短，仪器的分辩能力越高，电子的位置就测得越准确。若△x电代表测量电子位置的某种误差，上述分析意味着

△x电∝λ光/2π                        (6.13)

光子的波长越短，光子的动量p光 、能量E光就越大，这意味着单光子-电子碰撞中动量、能量的转移越大。即电子的动量改变量△p电 (＝p电 )与光子的动量p光成正比例

                                       △p电∝p光                                   (6.14)

由德布罗意关系

                          λ光/2π=(h/2π)/p光               (6.15)

(6.13)式乘(6.14)式得

         △p电·△x电∝p光·（λ光/2π）

将(6.15)式代入上式得

          △p电·△x电=h/2π                         (6.16)

(6.16)式即为量子力学中的测不准关系式。

正统量子力学对(6.16)式的解释是：△p电 、△x电 代表一种测量精度，是动量和位置的不确定量，是测量误差。动量测准了( △p电=0)，位置就完全测不准(△x电=∞)；位置测准了( △x电=0)，动量就完全测不准(△p电=∞)。(6.16)式表明对动量和位置测量精度的一种限制。我们不能同时准确测量一对共轭力学量。

    应该提醒注意的是：在海森伯单光子—电子碰撞实验中，正统量子力学讲的测不准量p电  实际上是电子在碰撞中获得的动量改变量，也是电子碰撞后具有的动量，即△p电=p电而△x电，则是具有动量p电的电子的德布罗意物质波波长λ电为圆周的圆的半径r电，即λ电= 2πr电。

量子力学中电子是个质点，质点无大小，有确定的位置坐标。从粒子说的角度看，如果电子是质点，在单光子—电子碰撞实验中，质点与质点相碰，要么碰上，要么碰不上，碰上了就百分之百的测准了，碰不上就百分百测不准，不存在测量误差。量子力学正统解释认定△x电是位置的测不准，是测量误差，而电子又是质点，因此，作为质点力学 ，正统诠释必须赋予电子(质点)具有内禀不确定性。即作为质点的电子在△x电范围内无确定行踪，具有位置不确定的内在属性。这样，在碰撞中，可能碰上，可能碰不上，碰上碰不上是随机的，取决于电子位置的不确定性，不确定范围就是△x 。碰上的概率越大，△x 越小，碰上的概率越小， △x越大，碰上的概率为零，△x→∞ ，碰上的概率为100%， 。△x→0碰上的概率当然就是电子出现的概率。象对电子“自在实体”的分析一样，测不准关系式中，电子位置的不确定性，也是在对电子做质点抽象和对波函数作几率解释时强加给电子的。

但是，实验证明，电子不是质点。如果电子不是质点，上述测量误差就必然存在。测量中，只要非质点的光子碰上了非质点的电子，不管碰上电子的哪一部分，电子总是被测到的，并记录一个电子的存在位置。但每一个单次测量值都不能说是电子的准确位置，电子的“位置”遍布于电子自身空间形象范围之内。电子自身的空间分布才是单光子-电子碰撞实验中产生电子位置测量误差或位置不确定性的根源。

如果说△x0=λ0/2π=(h/2π)/m0c代表静电子“动量”改变△p 0=p 0=m0c时，“自在实体”的电子某种“空间”分布， △xc=λc/2π=(h/2π)/mc代表运动电子“动量”改变△p=p=mc  ( m为动质量)时，“现象实体”的电子在闵氏四维时空中的某种空间分布，那么△x电=△λ电/2π=(h/2π)/△p电 则是电子“自在实体”受到光子碰撞，因相互作用使四维时空三维空间中动量改变 △p电(＝p电＝mv )时，“现象实体”在三维空间上同时呈现出来的粒子“形象”的“影视”分布范围。它是可观察量。这个范围与质点抽象中，三维空间中质点可能存在的范围一致。经典量子力学则是m＝m0的特例形式。我们讨论的则是点电子在三维欧氏时空中的概率分布。

于是我们对量子力学中的“测不准关系式”有决定论解释：在光子-电子碰撞中，光子让电子在获得动量改变量△p电的同时，在彼此的相互作用中，电子的“形象”发生了改变，“现象实体”在三维空间中同时呈现出一个“粒子形象”，其曲率半径就是△x电 ，并且

                         △p电·△x电=h/2π

上式表明，电子在三维空间中的形象由电子获得的动量p电 (＝△p电 )决定。并且，动量改变量△p越大，曲率半径△x就越小，曲率R (＝1/△x )就越大，电子的位置就越准确，测量误差就越小；动量改变量△p电越小，曲率半径△x就越大，曲率R (＝1/△x )就越小，电子的位置测量误差就越大。动量改变与粒子“形象”同时产生。量子力学几率解释把这一机制理解成“动量”和“位置”不能同时测准，并转化成点电子动量和位置的不确定范围，有道理，但没有抓住问题的本质，尤其是强加给了电子位置和动量本质上的不确定性属性。一种极限情况，当动量改变量△p电→∞时，相互作用无穷大，△x电 (λ电/2π）→0，R→∞ ，光点亮度极强，电子变成质点，位置确定了，电子波消失，所以电子的波性只有电子不是质点时才能出现。另一种极限情况，△p电=0，△x电 (λ电/2π）→∞，R→0 ，表明没有相互作用，没有光，看不见电子，不知道电子在哪里。电子没有三维空间中的“形象”。电子的“形象”在光的极强和极弱中变化，这就是电子波形成及收进其自身的物理过程。电子波是通过光学现象描述电子自身“影视”形象结构变化的波动。测不准原理是电子波性和粒子性的判据，是一个实实在在的物理定律。

必须指出，静电子在与光子碰撞之前因无相互作用，谈不上人类观测的时空形象，即只有“自在实体”而无“现象实体”。同时，在谈到“现象实体”(由 mc，mc2 、λc 量度)时，已经考虑了观测信号作用对“自在实体”在时空显现上的影响，是相对论四维时空中的事。因此，这里所说的由相互作用形成的电子的时空形象△x ，不能简单地看作是电子的真实“大小”，而是“现象实体”的形象在三维空间中的投影分量。简证如下：

由相对论能量公式：

m2c4=p2c2+m02c4

得                                           m2c2=p2+m02c2

令pc=mc ，p 0= m0c ， p=mv，式中m为动质量， m0为静质量。mc 、m0c 都具有动量量纲，

称作为康普顿动量和康普顿静止动量（王国文教授也给予了相同的定义）。于是有：                                                              pc2=p2+p02                           (6.17)

因而，(6.17)式中pc 、p 、p0 构成一动量直角三角形：

　　　











图6.3动量直角三角形

图6.3表明，实验中电子获得的动量改变量△p (＝p )，只是康氏动量pc在三维空间中的分量，有可观察值。 p0与三维时空垂直，它的作用在三维空间中的投影为零，属不可直接观测量。根据测不准原理：

△p·△x= h/2π




则                   △x=(h/2π)/ △p


△x是动量改变△p(=p)时，由于相互作用，“现象实体”在三维空间中同时呈现，并被观察到的电子的空间形象。

而                       △x=λ/2π=(h/2π)/p是以德布罗意物质波波长为周长的圆的半径，故



             R=1/△x=p/(h/2π)                                   (6.18)

是此圆的曲率。表示以△x为半径的曲面的弯曲程度。

将(6.17)式两边同除以 (h/2π)2，得

             pc2/(h/2π)2=p2/(h/2π)2+p02/(h/2π)2                       (6.19)

令

Rc=1/△xc=pc/ (h/2π)      (△xc= (h/2π)/mc)

R0=1/△x0=p0/ (h/2π)      (△x0= (h/2π)/m0c)

结合(6.18)式，(6.19)式变为：

Rc2=R2+R02                               (6.20)

(6.20)式中Rc 、R 、R0 构成曲率直角三角形。如图6.4。






         

          图6.4曲率三角形

△x0是电子“自在实体”的曲率半径，因此，R0是电子“自在实体”的表面曲率，与p0同方向，代表电子“自在实体”的形象； △xc是电子“现象实体”的曲率半径，因此，Rc是电子“现象实体”的表面曲率，与PC同方向，代表电子“现象实体”的形象； R与p同方向，是相互作用中Rc在三维空间中的“投影”，即“现象实体”在三维空间中的“显现”。这是人的经验层次，由于


                          △x=(h/2π)/ p=(h/2π)/mv

                                                    △xc=(h/2π)/ pc=(h/2π)/mc

而在经典量子力学中v＜＜c ，故△x＞＞△xc所以德布罗意物质波描述的电子的形象是电子“现象实体”在三维空间中放大了的“影象”。测不准关系式中的测量“误差 △x”，是电子“影象”的分布范围，不能代表电子自身的真实大小。处在“影象”层次的“电子”，其形象与非连续作用和连续作用及测量手段十分相关，反科学实在论者的立论依据即在这一层次。

因为曲率R表示曲面弯曲的程度，曲率越大，粒子性越清晰，而平面到处都一样，什么也看不见。因此，曲率 R的大小，表示电子粒子性的“可观察程度”。即可看见的程度。例如，对自由粒子△p=0，△x=∞，R=0，粒子的形象看不见。这是因为没有力作用在粒子上(或∑Fi=0 )，我们不知道电子在哪里。电子的出现，可以是随机的。其出现的几率即是电子开始作匀速运动前的瞬间电子动量p=△p ，由测不准关系△p·△x= h/2π中，△x 在形点转换中所体现的概率分布。自由粒子波函数的平方等于常数，不仅表明粒子在全空间几率处处相同，而且表明没有力的作用，粒子原有的形象不变，不知道粒子在哪里。这不仅为双缝干涉、单缝衍射实验中电子出现的随机性，提供了物理基础，而且几率缩扁的矛盾也因此得到了消除。△p≠0、∞，△x≠∞、0，R≠0空间有弯曲，有“可视度”，粒子性出现。 R越大，曲率越大，可视度越大，粒子性越强，电子看得越清楚。 R=∞(△p=∞，△x=0）电子变成质点，有准确的位置，可视度100%。 曲率R ，通过“可视度”概念与“几率”有很好的对应。几率的变化可以“翻译”成曲率的变化。对几率解释而言，测不准关系中，△p越大， △x越小，电子出现的几率就越大； △p越小， △x越大，电子出现的几率就越小。而电子出现几率的大小，也可以认为是电子可看见程度的大小。几率大，则是在该处可看见的程度大，几率小，则是在该处可看见的程度小。几率 ρ、△x 、及可视度的关系是：

ρ∝1/△x∝可视度

对曲率解释而言，测不准关系中， △p越大， △x越小，曲率R就越大，粒子性越强，可视度越大； △p越小，△x 越大，曲率R就越小，粒子性表现不强，可视度小。曲率R 、 及△x可视度的关系是：

R∝1/△x∝可视度

所以                       ρ∝R∝可视度

ρ、R 、可视度三者通过测不准关系中的△x ，形成了有机的内在联系。很明显，曲率解释与几率解释的区别，关键在于对 △x的理解。几率解释把电子“现象实体”在三维空间中“形象”的分布范围，理解成了点粒子电子的可能存在范围。这当然是一种很正常的思维方式。但是遗憾的是，当作上述质点抽象时，自觉或不自觉的赋于了电子不可确定的本质属性。而这是电子自身所没有的。曲率解释完全不需要这种假设，只是将曲率半径△x ，转换成对应的曲面曲率，几率波变成了曲率波，从而清除了不确定性给量子力学解释带来的诸多隐患。这才是坚持测不准关系决定论解释的要害所在。

测不准关系式的决定论诠释与非决定论诠释，取决于对光子—电子碰撞过程中相互作用机制的理解。决定论诠释的基石是电子的非质点特性，这是有实验基础的；非决定论诠释的基础是对电子的点粒子抽象及由此赋于电子的不可确定性，这是一种人为的操作。对相互作用机制的不同理解，引来了量子力学曲率解释和量子力学几率解释的重大区别，构成了两种诠释体系各自的哲学基础。前者为科学实在论提供依据，后者是反科学实在论的立论基础。我们认为，测不准关系式决定论诠释对光子——电子碰撞过程中相互作用机制的理解更有合理性。

依据对测不准关系式的上述决定论理解，对电子波波函数的数学形式进行分析发现，描述电子等各类微观粒子的波函数振幅和相位中均可分离出由物质波波长或测不准关系式确定的，代表粒子在对应能态下空间结构特征的物理量——基准曲率(或特征曲率)。波函数是曲率函数，电子波是电子形态变化的曲率波。

λ/2π

万小龙称赵国求的这种决定论理解为内禀非完全决定论，以示与量子力学中通称的决定论、非决定论及非完全决定论相区别。

三　 概率的可视度解释

为了解决量子力学解释中的矛盾，现在我们有必要而且有可能对概率解释的内涵作适当扩充。

在微观世界，我们的研究对象不是点粒子，而是有一定的几何形象。但是我们可以通过点粒子抽象将粒子的几何属性转化成点粒子的不可确定性；或者反过来说，我们也可以把点粒子的不可确定性，还原成粒子的几何属性。如果粒子的几何属性用曲率来表征，那么量子力学几率解释就自动转变成了量子力学曲率解释［6］。粒子的几何形象是可视觉的，当把粒子表面的弯曲程度作可视度的一种量度时，概率的频率解释又可与概率的可视度解释互相通约。这样，微观粒子本质上具有不可确定性的属性就被抽掉了，并且理论上也恢复了经典力学的地位。这是质点抽象建立理论的一头。

在实验检验的另一头，光点在屏上随机地出现。光点散落得越多的地方，可视的程度——可看见的清晰程度越高；光点散落越少的地方，可视的程度越低；没有光点的地方，看不见光点，可视度为零，不可视。这里所说的可视度是大数统计规律，光点的多少不受限制，因此，它不需要象频率解释那样需要n→∞的极限约束条件。然而，它却又与频率解释有内在的通约性。可视度高的地方光点多，光点出现的概率也高；可视度低的地方，光点少，光点出现的概率也小；可视度为0，光点不出现，光点出现的概率为0。而可视度，即可看见的清晰程度，可以是一个连续的概念，可以与波联系在一起。因此，我们通过概率的可视度定义，又把一个非连续的可几事件的次数，转化成了可连续变化的空间视觉的量度。这无疑是扩大了定义概率的内涵。用可视度定义概率，既可适用大数统计，又要适用于单个事件。一个电子出现在屏上的某处，某处出现一个光点，电子在这里出现的概率为100%，那么可视度也就是100%，也就是概率为1。电子没有出现地方，电子出现的概率为0，而可视度也是0。大数统计的可视度,可看作是单个事件的综合效应；单个事件出现的概率，可看作是大数统计在单个事件上的特例，二者相铺相成，没有矛盾。タ墒佣雀怕士梢越柚曲面的性质进行公理化运算。一个曲面，由平直向弯曲转化，人的可视度也在变化。平面到处无区别，可视度为零；平面上凸出来一块，看得见，则有可视度；曲面越弯曲，则可视度越高。曲面的弯曲程度由曲率来量度。可视度与曲率R的关系是：曲率R为0→平面→可视度为0%；曲率R为无穷大→点→可度为100%。这正好对应单个事件的0概率和1概率。曲率R由0→无穷大过渡，刚好对应大数统计(光点统计)某一概率的出现，它是0%到100%之间的某一个百分比。

将理论一头的不可确定性与粒子的形象钩通，引出概率的可视度解释；将实验一头的光点的大数统计——频率概率与可视度概率钩通并与曲面的几何形象相联系，则用曲率波解释双缝实验的逻辑基础就建立起来了。双缝实验中电子波的的干涉，本质就是曲率波的干涉，一个粒子通过双缝，实际上是粒子所具有的时空特征通过双缝，粒子是虚的，波是实的。空间是物质的延展性有了物理体现。粒子与粒子占有的空间是统一的，是一个问题的两个方面。人类认识的空间是变化多端的。平直空间(R=0)与点R=∞，只是时空和物质延展性的两种极限状态；弯曲空间比平直空间更具有普遍性；波动空间及其相干性是微观世界的重要特征，它与微观世界相互作用的非连续性直接相关。

参考文献

［1］桂起权等，机遇与冒险的逻辑［M］，北京：石油大学出版社，1996.       Ｐ75-117

［2］吴大猷，吴大猷科学哲学文集［M］，北京：社会科学出版社，1996.Ｐ34-55

［3］谭天荣，揭开EPR关联之谜［M］，天津科学技术出版社，1995.Ｐ51-80

［4］倪光炯等，近代物理学［M］，上海科学技术出版社，1986.Ｐ151-152、317-318

［5］(美)雅默，量子力学的哲学［M］，北京：商务印书馆，1989.Ｐ53-54、55、70

［6］赵国求，论量子力学曲率解释实在论哲学基础，科学技术与辩证法［J］，2001，No5.

概率可以认为是一种百分比 某事件发生的概率可以看成是该事件的权重 这样的话就容易理解为什么要用测度来描述概率了

如果不对最后一个字表达的概念做出明确定义，这种说法就会带来误解。

个人以为，概率的公理化定义就是为了避开这些问题。

“概率”应该满足什么性质（从而引出什么才算“事件”），比什么叫“概率”更重要。

无论怎么分类，凡是叫“概率”的东西，是否都会满足一些共有的性质？

一个模型中，“概率”所对应的“现实体”是（或应该是）什么，个人以为，不是数学家的任务。

（当然，这绝不是说数学家不可以将其对应某个“现实体”）

引出来的问题是：概率的σ-可加性，与量子力学中的“交互效应”，是不是同一概念？

理解量子力学的“几率波”对应的“概率的可加性”（此意义按前文的理解），关键应该是：|ψ(r)|^2是概率密度，其中ψ是波函数，r是任一向径。

只要理解这一点，就很容易分清前文提到的“交互效应”与“可加性”不是一回事。

重复地说一句：这个问题的关键是，确切地给出相关概念的定义。

个人以为，提出“量子概率”这个概念，并无必要。

上面的文章将“量子态的叠加”与概率的“可加性”，混为一谈了。

如果硬是要谈概率的直观解释，本人只相信频率解释，其他的都是胡扯

这里（“直观解释”）涉及一个问题：“频率”如果不“稳定”，将概率与频率联系起来，似乎意义不就大了。那么，如何确切地说明“频率的稳定性”？

最严格的概率定义的概率的公理化定义，而要理解这个需要具备相当的数学基础，需要精通实变函数、泛函分析以及测度论。
我们学校一个长江学者数学博导说，他到现在还没弄明白概率到底是什么，呵呵

我是说解释概率的意义,只有在重复试验,近似重复试验,或者虚拟重复试验中的频率计算中,才能获得一种实在理解

我想说，“重复试验中的频率”对“概率”的意义的解释（或者说，实在理解），其实需要“频率是稳定的”这一前提。

而“频率的稳定性”需要确切的定义或描述。

个人以为，这句话的意义是，在不断思考什么样的“现实客体”用“概率”来描述才恰当。

赞同,我的"重复"二字已经表达了此意

“重复”，表达的是“确定的”条件可控制性，还是不确定的？

“条件可控制性”如果足够，该如何理解“不确定性”？

这里可能涉及那个老问题：上帝是否在扔骰子；上帝扔骰子时，上帝对扔出的结果有把握吗？

好问题,sungmoo版主,
如果把所有因素分为可以控制的"基本条件"与不可控制(或不去控制)的"其他条件",
则"重复"二字既是保持"基本条件"不变,而对"其他条件"不加控制或者更准确的说对"其他条件"甚至刻意"随机化"
不知道我这种理解可否?

严格说,我想这个世界没有"重复",往往是"近似重复",近似足够足矣

爱因斯坦说:上帝不喜欢扔色子.
但是,我想即使如此,也不能排除概率论上的"随机"的意义,随机也可以视为隔一定距离观察世界
这个距离既是"随机"产生源,你所站的位置既是"基本条件"

譬如,大家都说抛一枚硬币,其结果是随机的
这个说法,严格应该是,将硬币抛出手后,即不再理会硬币落地前所遭遇的各种境遇;
但是,如果将硬币抛出后,继续用高新仪器细致观察其落下各种条件:风力,空气阻力,不停计算各处的速度....直至落地之前一霎那,则不再有不确定性.
不确定性,产生于"距离"

人们产生“不确定性”这一观念，可能有几个原因：

（1）认为自己对客体的认识还不充分；
（2）认为自己已经认识到客体内在的确定性的机制，但无法精确把握外在的（产生某一结果的）条件——混沌；
（3）认为自己已经认识到客体内在的机制本身就是不确定的。