猫爪 发表于 2009-8-28 22:28 
我也向馒头斑竹请教一个思考很久的问题：
契约曲线其中的一段是否会出现从左上到右下的“扭曲”？
说请教是太客气了，我也不知道这个问题的答案。下面是我的一下简单的推导，大家看看，我也不知道对不对。
考虑这个问题，假设每个人的效用函数分别是
u1(
x,
y),
u2(
x,
y),两种商品的禀赋分别是
wx,
wy,那么契约曲线在内点一定满足
rewrite:
F(
x,
y) =
u1
x(
x,
y)
u2
y(
wx −
x,
wy −
x) −
u1
y(
x,
y)
u2
x(
wx −
x,
wy −
y)
其中
uix是第i个人对商品x的边际效用。因为我们考虑的是扭曲的问题，所以应该只需要讨论内点解。上式定义了一个
y对
x的隐含数，如果这个曲线左上到右下扭曲的话，那么也就是说这个隐含数是递减的。假定这个函数可导（纯粹为了省事，当然可能不可导），那么用隐含数定理可知:
现在我们就可以讨论了：
如果我们要求偏好是单调的且凸的话，那么我们就有
。但我们不知道
uixy的符号，在这种情况下我们没法确定
dy /
dx的符号，那么契约曲线也就有可能递减。如果
,比如Cobb-Douglass，或者任何x y可分离的情况，那么我们可以确定
，这样也就不可能单调递减。除此之外，似乎在这个general form下没有什么办法可以确定dy/dx的符号。
如果我们进一步假定两个人的效用函数相同，那么：
这样的话这个问题就可以有一个确定的答案。如果
，那么如前所述，必有
，不可能出现扭曲;所以我们只需要讨论
uxy < 0。给同样的假定，即凸性和单调性，我们现在有：
这个地方有点不严谨，因为我直接用了海赛阵而没有用加边海赛；结果应该差不多的，就偷懒了:)
这个条件等价于:
这里面不等号变换了方向，因为每一项都是负的。那么，如果在dy/dx那个式子里面的分子大于零，那么一定有分母也大于零；换句话说，上下同号，故我们有
,不可能出现扭曲：
最后这个不等式是这样的推导的：
从分子大于零我们知道：
将这个式子带入上式，我们有：
最后这个式子也就等价于分母大于零了。
如果分子小于零的话，根据上面的逻辑，分母也会小于零。所以无论是什么情况，我们都有dy/dx\geq 0,这也就是说，契约曲线不会出现递减情况，也就不会扭曲。
总结一下：
如果两个人的效用函数不相同，那么没有扭曲的充分条件是偏好的凸性，单调性，以及
。我觉的最后这个条件应该是有个名字的，跟complementary 有没有关系？不知道了，那位大哥指导一下。。。。。因为最后这个条件并不是最基本的条件，那么有可能出现左上到右下的扭曲
如果两个人的效用函数相同，那么只要偏好满足凸性和单调性（这点不太严谨，我证明的是效用函数满足凹性和单调性，关于凸性的问题，我觉的应该是可以成立的，不过懒得弄加边海赛了……），那么就不可能出现扭曲的情况。
最后，那位大哥能指导一下怎么在这个论坛输入数学公式啊，我这个可是在wiki里面敲出来然后粘过来的……很痛苦。
update:
似乎公式显示怎么着也有点乱，感兴趣的可以去我的wiki上看一下比较清晰的版本：
http://en.wikipedia.org/wiki/User_talk:Malin84
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