哎，写了一大堆居然回复的时候发生错误，晕倒

好了，我简要说明，他的问题应该是在用偏好购建消费者选择的框架内求支出最小化的时候证明支出函数关于p是凹的，那么x1、x2和x3的消费组合的效用是一样的，这样才能推出p1x3>=p1x1,p2x3>=p2x2。

我不知道你所说的GARP是不是Weak axiom of revealed preference，如果是的话，消费者选择满足弱显示性偏好公理也是无法推出p1x3>=p1x1,p2x3>=p2x2的。只有消费者选择满足弱显示性偏好公理并且满足p3x3>=p1x1,p3x3>=p2x2才有上面那个结论的。你好好思考，网上看东西经常容易不思考，会犯错误的。

你说得对。

明显Anderuth说的是对的。

这里不是显示偏好理论应该出现的地方。

关于Anderuth所说的理论，我再补充一些（或许不需要补充，但是出于对理论科学的负责）。支出函数e(p,u)说的更准确一些，应该叫做最小支出函数，他是指当给定价格向量和至少必须达到的效用水平的条件下，最小的支出，单位是钱。

用数学语言表述 e(p,u)= Min px s.t. u(x)>=u

字面意思就是，给定一个具体价格和一个具体效用，变化所选择的消费组合x，使得所得到的效用u(x)不小于给定具体效用u情况下的最小支出。

这是一个m=px的value function，可以通过使用Kuhn Tucker条件求解，并且可以通过Duality Theorem得出其关于价格的一阶导数就是希克斯函数h(p,u)，其二阶导数就是众所周知的Slutsky Matrix。

关于楼主的问题，可以直接用支出函数的定义得到证明。注意，x1，x2和x3三个消费束都能得到相同效用，这是因为，他们分别是希克斯函数h(p1,u),h(p2,u)和h(p3,u)的解，可以证明，当价格不为零时，这是成立的。

那么必然的有p1x3>=p1x1,p2x3>=p2x2。