交易的数学描述·1/3

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收藏 2009-10-14

　　经济学似乎对“变量”非常重视，斯蒂格利茨在其著作《经济学》第一章“经济学当中的科学”一节当中就说过“经济学家感兴趣的是变量之间的关系”，并将“发现与解释变量关系”当作是经济学家的主要任务。然而，如果经济学家对变量感兴趣，恐怕首要的任务是向自然科学家一样，赋予变量以正确的定义并给出可以测度的方法（给出定义与测度方法也就决定了变量的性质）。
　　可惜的是，经济学家连本学科最基本的一些变量的定义以及如何测度都不清楚。经济学的很多问题起因于概念的含糊不清，例如交易量和价格这些基本概念。经济学发展到如今，貌似与数学结下不解之缘，但毫不客气地说就是建立在一大堆含糊不清的概念之上的夸夸其谈，多为数学缪用而非运用。
　　通常在货币经济里的商业习惯是，交易量指交易当中涉及到的非货币的商品的量，经济学也称为“销售量”“购买量”“成交量”，甚至“供给量”“需求量”，而另一种商品——货币——的量，则称为“成交额”“销售收入”。而商业习俗说“某某商品的价格”，其经济学涵义是指对这种商品用货币为计量单位进行的价值计量，与上面所说的经济学意义上的交换比例的价格概念是本质不同的。交换当中包含着计量，但计量不等于要交换。

　　下面我们用数学（几何）语言来描述这些概念。
　　首先分析发生在某市场甲乙两位交易者之间的某次具体的交易。这里暂且不谈交易措施过程当中的价值判断问题，只作为旁观者针对已经成立的交易进行研究。
　　价格的概念其实非常简单。王大妈从菜市场走出来，你问一下她菜篮子里的青菜有多重，再问问她为之付出的钱是多少。有了这两个数据，你就知道王大妈购买青菜这宗交易的价格了。
　　对这一交易的一般描述是：在某一时点t上，私有者甲用⊿Qa量的a商品与私有者乙持有的⊿Qb量的b商品进行了交换，交换之后，⊿Qb量的b的所有权归属于甲，而⊿Qa量的a物的所有权则归属于乙。
　　“交易量”是一个“中立的”措辞。如果站在商品原来持有者的角度来说，⊿Qa是甲方的“支付量”或“供给量”，而⊿Qb是乙方的支付量或供给量。如果站在交易后商品获得者的角度来说，⊿Qa是乙方的“购买量”，⊿Qb则是甲方的“购买量”。也有经济学人将“购买量”误称为“需求量”，这样就严重偏离了微观经济学对“需求量”的性质（流量）的界定。⊿Qb、⊿Qa均是在t时点上存在并被测度的量，因此它们都是存量，而不是微观经济学所定义的作为流量的需求量。

　　对于发生在甲、乙之间关于a、b两种商品的此次交易，显然，两个交易量⊿Qb、⊿Qa的比值，就是这宗交易的价格。这是“价格”的最原始概念。我们用P表示这次交易的价格，有：
　　　　　P≡⊿Qa/⊿Qb（或者用其倒数表示）
　　上式是“价格”概念（更准确地说叫做“成交价”）的定义式，所以使用恒等定义符“≡”，这也意味着，成交量数据⊿Qa、⊿Qb是“因”，而价格是“果”，因此，认为需求者依据价格来确定购买量的思路是根本错误的。
　　P是一个“复合变量”，两个交易量作为原始数据，可以从市场上直接观察得到，只要知道某宗交易涉及到的两种商品的交易量，将之做一个除法运算，也就得到了这宗交易的“价格”。而在通常的商业习惯上，价格则是针对以货币与非货币交换时非货币的商品物而言的，这实际上是定义了以货币为价值尺度进行度量的“价值”，而非“价格”，这当然不可以作为经济学的价格概念来使用。
　　这个价格P是关于a、b两种商品的，既不能称之为“a的价格”，也不能称之为“b的价格”。所以说“价格是用来描述交换的”，而不是用来描述相互交易的两种商品的其中一个的价值大小的。价格的量纲是两种商品的数量量纲的比例形式，例如，如果以平方米计量的布匹与公斤计量的牛肉交换，则价格的量纲就是“kg/M2”（或M2/kg）。大家习惯的“元/kg”、“元/M2”等等这种量纲形式，是用货币购买牛肉或布匹时的价格量纲。
　　马克思在《资本论》中说过，交换者最关系的是两种商品按照什么比例交换。依上价格概念可知，也就是说，交换者关心的问题就是“价格”。

　　任何一宗交易都是两种商品（或说是“一对商品”，即“商品对”）所有权的互易，因此一宗交易当中交易量有两个，但是在一宗交易当中“交换比例”即“价格”只有一个。我们将a、b商品对之间发生的一次交易当中的两个交易量⊿Qa与⊿Qb当作是一个坐标点（⊿Qa，⊿Qb），权且称其为“交易点”，将其标注在以⊿Qa为横坐标，以⊿Qb为纵坐标的直角坐标系当中（权且称之为“市场坐标”或简称为“市场”），则由原点指向此交易点的矢量的方向角的正切值就是价格P。这个矢量权且谓之“价格矢量”，其方向角权谓之“价格角”。“价格角”相同意味着按照相同的交换比例交易，即价格相同，尽管其绝对的交易量可能不同。
　　价格角的大小透露出交易者的价值判断信息，价格矢量的模值则表示市场的规模。很显然，用1kg牛肉与10kg大米交换，与100kg牛肉和1000kg大米交换，两次交换的市场规模是不同的，尽管交换的比例即价格是相同的。这是经济学家关注的主要问题。
　　由于没有“负交易量”存在，所以，理论上价格角的定义域为（0，π/2），即“市场坐标”只在第一象限内有实际意义。

　　多次的交易点（⊿Qai，⊿Qbi）在这个市场坐标当中标示出来就不难发现，交易点的分布具有随机性。也就是说，每一次交易与前一次交易相比，价格角是增大还是减小没有确定的规律，即价格矢量的指向是随机的。现实当中在一定时期内稳定的市场上某一“商品对”的价格会在一定范围之内波动，即价格角有一定摆动幅度，但摆动的方向依然是随机的。这种价格角大小的随机性意味着对未来某次交易的价格的预测实际上是不可能的——不单是定量方面的不可能，连定性也是异常困难的。基于此，任何价格预测其可信度都是极低的。
　　价格是波动的，但没有任何一条价格矢量可以被视为波动的中心。波动区域的“周边”的经济学意义是两个交换者对两种商品的价值判断，即价格是在一定的“价值边界”内波动，而不是围绕什么价值中心在波动，就如同一只小鸟在一个大小变化但有一个大致变化范围的笼子里一样（《西方经济学的终结》，中国经济出版社，2005，P137，“价格鸟笼”）。把波动区域的中心视为“价值”是没有任何道理和意义的。（待续）

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张艳蕊

2022-12-25 17:05:48

街边买东西不都是先问价格，再说买多少吗？这价格不就是因吗？

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张建平

2022-12-26 20:47:02

张艳蕊发表于 2022-12-25 17:05
街边买东西不都是先问价格，再说买多少吗？这价格不就是因吗？

你买东西之前对自己买什么、买多少、准备付多少钱是有一个预期值的。但是你并不知道卖方的交易比例底线（卖方低价）何在，所以你要打听对方的低价何在。你打听到的卖方底价，或许超出你的预期或许低于你的预期值，你就此会做出买与不买两种选择，并不是为了按照对方要求决定你掏多少钱。<br>
按照何种比例进行交易，是买卖双方协商决定的双向选择。作为交易一方你有一半的决定权，不要把自己当做钱多人傻的撒钱机器。

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