衍生产品定价的高级方法：
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Analysis, Geometry, andModeling in Finance Advanced Methods in Option Pricing
Contents
1 Introduction 1
2 A Brief Course in Financial Mathematics 7
2.1 Derivative products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Back to basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Sigma-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Probability measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.4 Conditional probability . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.5 Radon-Nikodym derivative . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 It^o process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Stochastic integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 It^o's lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Stochastic dierential equations . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Pricing and no-arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.2 Self-nancing portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Feynman-Kac's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8 Change of numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Hedging portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.10 Building market models in practice . . . . . . . . . . . . . . 43
2.10.1 Equity asset case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.10.2 Foreign exchange rate case . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.10.3 Fixed income rate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.10.4 Commodity asset case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.11 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Smile Dynamics and Pricing of Exotic Options 55
3.1 Implied volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Static replication and pricing of European option . . . . . . 57
3.3 Forward starting options and dynamics of the implied volatility 62
3.3.1 Sticky rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Forward-start options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3 Cliquet options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.4 Napoleon options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Interest rate instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.1 Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.2 Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.3 Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.4 Convexity adjustment and CMS option . . . . . . . . 68
3.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Dierential Geometry and Heat Kernel Expansion 75
4.1 Multi-dimensional Kolmogorov equation . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Forward Kolmogorov equation . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 Backward Kolmogorov's equation . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Notions in dierential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Maps between manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.3 Tangent space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.4 Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.5 Cotangent space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.6 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.7 Vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.8 Connection on a vector bundle . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.9 Parallel gauge transport . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.10 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.11 Curvature of a connection . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.12 Integration on a Riemannian manifold . . . . . . . . . 102
4.3 Heat kernel on a Riemannian manifold . . . . . . . . . . . . 103
4.4 Abelian connection and Stratonovich's calculus . . . . . . . . 107
4.5 Gauge transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6 Heat kernel expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7 Hypo-elliptic operator and Hormander's theorem . . . . . . . 116
4.7.1 Hypo-elliptic operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.7.2 Hormander's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Local Volatility Models and Geometry of Real Curves 123
5.1 Separable local volatility model . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1 Weak solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.2 Non-explosion and martingality . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.3 Real curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Local volatility model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.1 Dupire's formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.2 Local volatility and asymptotic implied volatility . . . 136
5.3 Implied volatility from local volatility . . . . . . . . . . . . . 145
6 Stochastic Volatility Models and Geometry of
Complex Curves 149
6.1 Stochastic volatility models and Riemann surfaces . . . . . . 149
6.1.1 Stochastic volatility models . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.1.2 Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.1.3 Associated local volatility model . . . . . . . . . . . . 157
6.1.4 First-order asymptotics of implied volatility . . . . . . 159
6.2 Put-Call duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3 -SABR model and hyperbolic geometry . . . . . . . . . . . 164
6.3.1 -SABR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.2 Asymptotic implied volatility for the -SABR . . . . . 165
6.3.3 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4 Analytical solution for the normal and log-normal SABR model 176
6.4.1 Normal SABR model and Laplacian on H2 . . . . . . 176
6.4.2 Log-normal SABR model and Laplacian on H3 . . . . 178
6.5 Heston model: a toy black hole . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5.1 Analytical call option . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5.2 Asymptotic implied volatility . . . . . . . . . . . . . . 183
6.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7 Multi-Asset European Option and Flat Geometry 187
7.1 Local volatility models and
at geometry . . . . . . . . . . . 187
7.2 Basket option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2.1 Basket local volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2.2 Second moment matching approximation . . . . . . . 195
7.3 Collaterized Commodity Obligation . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.1 Zero correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.2 Non-zero correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8 Stochastic Volatility Libor Market Models and Hyperbolic
Geometry 205
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2 Libor market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.2.1 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2.2 Pricing with a Libor market model . . . . . . . . . . . 216
8.3 Markovian realization and Frobenius theorem . . . . . . . . . 220
8.4 A generic SABR-LMM model . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5 Asymptotic swaption smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.5.1 First step: deriving the ELV . . . . . . . . . . . . . . 226
8.5.2 Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.5.3 Second step: deriving an implied volatility smile . . . 233
8.5.4 Numerical tests and comments . . . . . . . . . . . . . 234
8.6 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9 Solvable Local and Stochastic Volatility Models 247
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.2 Reduction method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.3 Crash course in functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.3.1 Linear operator on Hilbert space . . . . . . . . . . . . 252
9.3.2 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.3.3 Spectral decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.4 1D time-homogeneous diusion models . . . . . . . . . . . . 262
9.4.1 Reduction method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.4.2 Solvable (super)potentials . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.4.3 Hierarchy of solvable diusion processes . . . . . . . . 273
9.4.4 Natanzon (super)potentials . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.5 Gauge-free stochastic volatility models . . . . . . . . . . . . 279
9.6 Laplacian heat kernel and Schrodinger equations . . . . . . . 284
9.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287