古诺均衡的扩展:n个寡头市场的均衡
假设市场的需求函数为P=M-kQ。其中Q为市场的总供给量。
如果有n个寡头,每个厂商的生产量为Qi,而边际成本为c那么可以求出寡头在无勾结情况下的均衡水平。
由假设可知Q=∑Qi ,i=1,2,…n
任一寡头j的利润函数为:
TLj=P×Qj -c×Qj (1)
将P=M-kQ=M-k(∑Qi)代入到上式中,有:
TLj =P×Qj -c×Qj=[M-k(∑Qi)]×Qj -c×Qj (2)
寡头j的利润最大化的一阶条件为:∂TLj /∂Qj =0
于是对于(2)式求关于Qj的偏导数,有
∂TLj /∂Qj =M-k∑Qi-kQj –c=0(i=1,2,…n)
于是有:kQj=M-k∑Qi – c (3)
现在假设Qj*为垄断寡头j的最大利润产量,那么对所有的n个寡头进行求和,有
k∑Qj*=n×(M-k∑Qi *– c),(i=1,2,…n; j=1,2,…n)
于是有Q*=[n×(M - c)]/
这里Q*为整个行业的均衡产量。
市场价格为P=M-kQ=M- n(M - c)]/(n+1)<M
将Q*代入到(3)式中,有
Qj*=(M-c-kQ*)/k
=[M-c- n×(M - c)/(n+1)] /k =(M - c)/[k(n+1)]
第j个厂商的最大利润为:(P-c)Qj=(M-c)2/[k(n+1)2]
令n趋于无穷,就得得到和完全竞争市场完全相同的均衡条件P=MC。