股票价格随机分布的撒点填充问题

                         于德浩

                        2018.1.31

    一个长的股票周期，大约10年左右，2000个交易日。如果我们打乱这些交易日的先后顺序，那么股价的随机概率分布大约是一个高斯分布。

比方说，在20007年的大牛市中，如果从1000点算起，那么5000-6000点就属于2-3倍西伽马区域，大约占比3%左右，就是说大约2000*3%=60个交易日。实际中，确实是只有2007年的9、10、11三个月份，与这个模型吻合的很好。

股价走势可以看作是一个全概率覆盖的撒点过程。就是说，一共有2000个空穴，2000个点，在股价10-60元的区间内。这里的填充原则，约束条件有如下几点。第一，必须一个萝卜一个坑，都得填完，不多不少。第二，连续填充，一笔画填完，不能跳跃。比如，如果发现11.2元的量子态还有漏洞，那么若从12元回去时，就被迫顺带把11.9-11.3的量子态也填充一遍；同时，再回到12元时，又得把11.3-11.9再刷一遍。第三，起手填是以10元的量子态价位开始，落手是以20元结束；至于最高60元，可随意放在中间的某个位置。第四，各个价位的量子态数目遵循正态分布。比方说，50-60元是60个点；20-40元区间大约是2000*67%=1340个点；10-20元大约是2000*12%=240个点。

显然，有这么4个约束条件一卡，股价随机撒点就不那么随意了。大体的股票指数价格走势必须是一个“先上去再下来”的走法。如果上升期只用一两年走完，这就是“快牛慢熊”；如果股价上涨持续五六年以上，那就是“慢牛快熊”。

如果设计一个机器人（计算机程序）僵硬的撒点，或者说最优化的路径（就是不来回折腾），那么应该是这么一个套路。

在10-20元区域，稳健的一步不漏的均匀覆盖240个点，这就是一条斜率10/240=0.04元/天的斜向上直线。这称为牛市初期的缓慢上涨，大约持续1年左右。

在50-60元的股价高位区域，设计满足对称美。那么就是一条斜率是10/（60/2）=0.33元/天的陡上直线和斜率为-0.33的陡下直线。这称为牛市的最后疯狂及熊市的暴跌开始。当然，实际中，飞流直下比强弩之末更过瘾。比如，快涨俩月，而暴跌一月就吞噬所有的涨幅。

在20-40元的上涨时期，也就是股价的中位数区域。原则上讲，是可以慢涨的，但是为了与后面40-60的高位区无缝对接，一般就设计成快涨了。这个斜率要大于0.04而小于0.33，要不就设为0.12元/天好了，是牛市初涨的3倍速度。这就是牛市中期的快速上涨阶段，大约持续八九个月（20/0.12=167）。

在40-50元的中高位区，这个区间的量子态数目不算少，大约与10-20区域的数目相当。所以如果设定为对称美的话，这里的涨速大约是0.08。但是，如果迎合前面的惯性，在40-50的上涨区间，继续0.12元/天的快速是没问题的。涨得快就容易遗漏一些空缺位，不过，这完全可以在熊市的下跌时期补填回来。事实上，这个阶段往往还会更快些，因为要对接下一个高速的0.33。所以这个阶段的涨速一般会设定为0.2，称为牛市的加速上涨阶段，大约持续俩三月的时间（10/0.2=50）。

50-60的上涨及60-50的暴跌，上面第二部分提到了，在此略过。

在50-40元的熊市下跌区间。前面说过，这个量子态总数目并不少；而且前面的加速上行遗漏下很多空位。所以，股价理应在这个区域多待一段时间。但是，这并不意味着下跌的斜率小，而是往往意味着超跌反弹及来回震荡。大体是这样子的，股价从60元急速掉头向下，但跌到1/3，即40元时，又快速反弹到50元。然后再从50元跌到40元以下，这个跌速就明显放缓了。一般来说，50-40元这个区域就是理性趋势投资者的右端卖出机会；而作为一个价值投资者，往往在40-50元就左端卖出了。

从40-20元的熊市下跌期，这个就漫漫长路了。大约要持续1200天（即1340-167），这段阴跌大约要五六年的时间，中间各种小震荡。这个下跌等效直线的斜率是很小的，20/1200=0.017元/天。这个是股市交易冷淡期，投资者都不喜欢；但这个时期是期权卖出的获利时期，无论卖出认购或认沽期权，最终往往都不会被行权。

等跌到20元最低价时，这个周期结束，该填的都填满了。开始下一个股票长周期，从20元涨到120元再跌回40元，毕竟社会是向前发展的。

上面的股价涨跌路径是典型的“快牛慢熊”，其他的路径方式都是对其的某种变种。其实，对于股票投资获利来言，具体路径及股价的随机分布函数并不重要。简单的说，既然股价从10元起手，到20元结束。那么我们买入并一直持有就是了，这就是有效市场理论的指数化投资策略。

至于高点60元何时出现，无法预测，但是这说明肯定会有“高市盈率状态”存在。因此，从价值投资策略来言，从10元买入，那时的市盈率一般都在10倍以下；就等那个大约40倍市盈率的价格出现，到时卖出就获利丰厚了。

快牛的路径在中国这个不太成熟的市场，还是常见的一种运行方式。在2000年以前，我国更不成熟的市场，那是股价走势一笔画乱来的。在一个10年的长周期里，可以出现很多极大值和极小值（暴涨暴跌），而且间隔时间都不到1年。

在讨论慢牛的问题。一般来说，市场机制越成熟，慢牛的格局越容易形成。但是，熊市总是不可避免的，毕竟下一个起点要比上一个周期的最高点低很多。所以，历史上几乎从来没有少于50%跌幅的熊市。

不过，当慢牛时间拉长以后，就牵扯到坐标系变换及两个周期糅合在一起的问题。实际上，谈股价概率分布，是建立在“企业价值基本面不变”的前提假设下。实际上，10年前的企业与现在是大不同的，所以世界投资大家都要选择投资新兴市场。

简单的打个比方，20元是落脚点，这个20元在新坐标系下就变换为40元甚至更多。就是说，理论上应该股价最大下跌2/3，但往往可能只到1/2就熊市止步了。

对于两个长周期的糅合，比方说1990s前二十年的日本市场，一直是大牛市，持续时间长，涨幅巨大。按照彼得林奇的说法，“我早就认为日本股市估值虚高了，可还是一涨再涨了好多年，真看不懂。”当然，后来在西方的一片看空中，日本股市神话终于最终还是破灭了，市盈率终于降了下来。在随后的20年，日本股市一直没什么起色。

   目前，上证50ETF的价格大约是3.1元/股，现在市盈率大约是13倍。一般来说，在10年的长周期里，股价最高点使得市盈率达到40以上是没问题的，所以2倍或3倍的价格还是值得期待的。