hj58 发表于 2018-5-17 13:00 
“黄先生竟然将供给量一定的供给量线解释为什么价格都卖,纯属对西经垂直的供给曲线的的误解。那只是表示 ...
探究需求曲线、供给曲线背后的方程秘密
需求曲线、供给曲线实际表述的是价格与数量的关系,西方经济学在研究需求及供给时,直接给出需求曲线或供给曲线,并没有给出对应的方程。略通数学的人都知道,图像一定是和方程对应的。曲线是一种图像,其必然对应方程。本文就是探究曲线背后的方程。
需求曲线及供给曲线与价格及数量相关,价格与数量之积是成交总金额。我们从最基础的商品交换定律开始推理。
商品交换定律:m=PQ。
m表示购买总金额,P表示成交(购买或出售)单价,Q表示成交(购买或出售)数量。
m=PQ变化如下:
m+Δm=(P+ΔP)(Q+ΔQ)=PQ+PΔQ+ QΔP+ΔPΔQ
Δm= PΔQ+ QΔP+ΔPΔQ
将上式左边除以m,右边除以PQ得:
Δm/m=ΔQ/Q+ΔP/P+(ΔQ/Q)×(ΔP/P)
设rm=Δm/m,称为购买总金额变化率;设rQ=ΔQ/Q,称为成交数量变化率;设rp=ΔP/P,称为成交单价变化率。
则有:rm=rQ+rP+ rQ×rp
即:购买总金额变化率=成交数量变化率+成交单价变化率+成交数量变化率×成交单价变化率。
我们可以推出:rP=(rm-rQ)/(1+ rQ)
上式在计算物价变化中经常用。
例如:2009年1-10月,商品房销售额增加79.2%,销售面积增加48.4%。则售房单价增长(79.2%-48.4%)/(1+48.4%)=20.75%。
该公式也可表示如下:
rP=(1+ rm)/(1+ rQ)—1
我们可以推出:rQ=(rm-rP)/(1+ rP)
上式应用不多,了解即可。
现在,我们引入价格弹性的概念。假设其它因素不变,仅考虑由价格变化引起的成交数量的变化进而使购买总金额发生变化。
我们知道:价格弹性Ed= rQ/ rP(成交单价变化引起的成交数量的变化率除以成交单价变化率,称为价格弹性)。
显然有:rQ= rP ×Ed
到此为止,我们不往下推理了。
以上是当变化不趋于零时的情况。下面我们研究变化趋于零的情况(点弹性)。
我们从m=PQ开始重新推理,用微分法。
dm=QdP+PdQ
左边除以m,右边除以PQ得:
dm/m=dP/P+dQ/Q。
我们知道:Ed= (dQ/Q)/ (dP/P)即:dQ/Q=(dP/P)×Ed
则有:dm/m= dP/P(1+ Ed)
特殊情况如下:
当Ed=-∞时,dP/P=0。此时价格不变,但数量变化。此时价格弹性无穷大。
当Ed=-1时,dm/m=0,此时说明购买金额不变。价格变化的幅度与数量变化的幅度(反方向变化)相同。
当 Ed=0时,dm/m= dP/P,dQ/Q=0,价格变化,数量无变化。此时称为无价格弹性。
我们不用此方法研究一般情况,我们换一种方法讨论价格弹性。
我们用微分方程探讨价格弹性。
考虑到习惯,为阅读方便,我们设:
dQ/Q=dy/y,dP/P=dx/x,Ed=u
则有:dy/y= udx/x
两边积分得:lny=ulnx+C
ln(y/xu)=C
y=eC xu
或写为:y=C xu
当u=-∞时,上述方程可写为: x=C(为什么不谈,参考前文分析),方程曲线是一组垂直线,当C固定时,是一支垂直线。
当u<-1时,方程曲线是一组凹形右倾向下的比较陡的曲线,当C固定时,是一支曲线。
当u=-1时,上述方程可写为:y =C/ x或xy=C,方程曲线是一组双曲线,当C固定时,为一支双曲线。
当-1<u<0时,方程曲线是一组凹形右倾向下比较平缓的曲线,当C固定时,是一支曲线。
当u=0时,上述方程可写为:y=C,方程曲线是一组水平线,当C固定时,是一条水平线。
以上是曲线从垂直开始逐渐右抬向上逐渐变平的过程变化。
以上曲线人们一般称为需求曲线。
常用的需求曲线是当u<-1时的需求曲线。
当0<u<1时,方程为凸形右倾向上但比较平缓的一组曲线,当C固定时,是一支曲线。
当u=1时,上述方程可写为y=Cx,方程曲线是一组直线,当C固定时,是一条直线,斜率为C。
当u>1时,方程曲线是凹形右倾向上的一组曲线。当C固定时,是一支曲线。
以上曲线人们一般称之为供给曲线。比较常用的是u>1时的供给曲线。
以上方程与曲线的关系与西方经济学有所不同。本方程是以价格为自变量为横坐标,数量为因变量为纵坐标。西方经济学的曲线一般以数量为横坐标价格为纵坐标。
理论上的需求曲线、供给曲线的方程即为:y=C xu,是幂函数方程。区别需求曲线与供给曲线主要看参数价格弹性。价格弹性小于0,一般为需求曲线;价格弹性大于零,一般为供给曲线。曲线的形状与C、u的取值有关。
注意本方程的前提条件:在其它因素不变的情况下,研究价格变化引起的数量变化,价格弹性Ed(u)为常数,最终使购买总金额变化。
我们可以将该方程还原为:
Q=CPu
购买总金额可以表示为:
m=CPu+1
事实上,购买总金额的变化不仅仅与价格变化有关,还与收入的变化及其它变化有关,本方程的前提是收入及其它因素不变。
研究收入的变化及价格变化引起的总购买金额变化,需要高深的数学知识,限于水平,本文到此为止。本文抛砖引玉,热切希望数学水平较高的学者深入研究。
深入的研究其实是研究z=xy的变化情况,z=xy表示的是一个空间曲面。面的研究比较抽象(图也不好画),不如线直观。本文的线图也没有画,可参见西方经济学著作,这样读本文更容易理解。
经济学是科学的原因之一是经济学可以用数学计算。没有数学为基础的经济学不是科学的经济学。当然我们可以从日常生活中发现一些规律,但不用数学解释或计算,规律不能再现,怎么能成为规律呢?例如供求关系定律,其实就是上述商品交换定律。用数学公式表达之后清晰直观严密。
商品交换定律(m=PQ)是市场经济基本定律。其它很多定律均可从该定律推出。