那就是说效用函数是凹的，但不是严格凹的？

不是。

效用函数是凹的，必定是拟凹的，但未必是严格拟凹。但千万不要以为只有严格凹才是严格拟凹，事实并非如此。

只要凹函数不含有常数段，哪怕它不是严格凹，也一定是严格拟凹的。

我海是不明白，能否给各推到？

麻烦了

……

边际效应递减 <=> 效用函数是凹的 <= 效用函数是不含常数段的凹函数 => 效用函数是严格拟凹的 <=> 偏好是严格凸的 <=> 无差异曲线是严格凸的

注意上面的推导关系，<=>代表等价于，=>代表左边是右边的充分非必要条件，<=代表左边是右边的必要非充分条件。

边际效应递减 <=> 效用函数是凹的

怎么推导？　Uxy是不知道的， 海赛矩阵的行列式无法判断是不是负定的。

我觉得应该不等价的。

你学的有那么一点点迂了……边际效用递减是什么意思啊？不就是效用的一阶导数单调递减吗？不就是效用函数曲线的斜率单调递减吗？这不就等价于凹函数吗？

要活学活用啊……:P

另：Hessian Matrix不是由效用函数求导得到的（事实上效用函数求导只能得到一个vector），而是由Hicksian Function求导得到的……

[此贴子已经被作者于2006-1-6 21:48:59编辑过]

效用函数是多元函数的话，就不是这么简单了吧？

不说这个问题了， 太烦了。

啊，我说得正是多元函数情况。

关于每一个箭头，都能拿出推导来，问题是写文档有点麻烦……

不过你放心，每一个箭头都能当定理适用。放心呵呵~

[此贴子已经被作者于2006-1-8 8:49:17编辑过]

对于f(x,y)，

f11<0，f22<0=>f11f22-f12f21>0？

如何证明？

任意一个连续二阶可导函数都可以有Hessian Matrix吧？Hessian Matrix就是“梯度的梯度”所形成的矩阵吧？特别地，若某区域内任意一对fij与fji都连续，则该区域内Hessian Matrix是对称阵。

此题不需要考虑太多。

令U(X,Y)=U0，U1dX+U2dY=0

于是dY/dX=-U1/U2

d(dY/dX)/dX=[U21U1-U11U2]/(U2U2)

若无差异曲线严格凸，则d(dY/dX)/dX>0，即U21U1>U11U2，只有U11<0还不能保证不等式成立。

是我的失误，Hessian Matrix，自然而然想到了expenditure的二阶导矩阵……

我收回我的话，上述我提出的那些推导，仅仅适用于一维情况，对于多维情况的讨论，sungmoo提出的方法是对的。

另外，关于边际效用递减，这句应该可以解释成效用函数的二阶偏导小于等于零。对于一维，自然等价于凹函数，对于多维，则不一定。但是，若边际效用递减，指的是效用函数对任何方向单位向量的二阶偏导小于等于零，则也等价于多维凹函数，那么，上述推导则又成立。关键问题在于，多维情况下，边际效用递减是否在等价于凹函数。这里我有欠考虑，结论下得太早……