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4．线性规划
运用线性代数方法分析经济问题是从
19世纪70年代瓦尔拉斯提出一般均衡理论开始的。瓦尔拉斯运用联立方程组的形式来描述完全竞争情况下的均衡价格体系，并试图证明其有解。后来发现这个证明是有漏洞的，于是许多经济学家为了从数学上进行修补做了不懈的努力。沃尔德于1935年证明了静态均衡模型存在解并有唯一解。诺依曼于1935年在沃尔德的模型基础上提出了著名的动态封闭模型，确认了通向动态竞争均衡的途径的存在。而直接促成线性规划诞生的要算列昂惕夫在1936年创始的投入产出分析，这是一般均衡理论在实用领域的一大发展。
在第二次世界大战期间，美国空军设立了一个运筹学研究小组，专门研究空军的资源配置问题。他们推广了列昂惕夫的投入产出模型。但是二者毕竟有着显著的差别。因为投入产出模型只存在一组单一的对应关系，而空军的资源分配却存在着任务与活动之间的多种关系。这就需要一个标准，以判别在这些关系中那个是完成任务的最优方案，从而导致寻找最优方案的方法。这个方法就是线性规划。美国数学家乔治
·丹齐格当时是这个小组的成员。他根据经验总结，系统地阐明了一般线性规划问题，到大战结束不久后的1947年，他与豪尔维茨共同发明了单纯形法，从此为线性规划作为一门科学奠定了基础。
由此我们也可以看出，线性规划是数学与经济学相互渗透的产物。
5．博弈论
实际上，古代人们就已经具备了一些零散的博弈论思想，比如田忌赛马的故事就是一例，但是都没有系统化、理论化。
1944年冯·诺依曼和摩根斯坦相识于美国普林斯顿大学，合著了《博弈论与经济行为》一书，共同奠定了博弈论的基础。冯诺依曼与摩根斯坦把“社会性商品交易经济”视作“与策略博弈相当的经济”，用以解释竞争和垄断，“寻找数学上完整的原则来说明社会性商品经济的参加者的合理行为，并从中引出这种行为的一般特征”。
20世纪40年代末期，博弈论渐渐被经济学界所遗忘，而仅为那些博弈论专家们感兴趣，这些专家一般都是数学家，他们只关心定义和证明。在经过了纯数学领域的发展阶段之后，博弈论于20世纪70年代中期才在经济学领域再度辉煌。1994年诺贝尔经济学奖的获得者纳什的主要贡献就是在非合作博弈论方面。
普林斯顿大学的纳什长期以来主要在纯数学领域从事学术研究。
1950年，这位年仅22岁的数学博士发表了两篇关于非合作博弈的重要文章，奠定了现代非合作博弈论的基石。他的贡献之一是提出了赫赫有名的“纳什均衡”这个在非合作博弈理论中起核心作用的概念。当代博弈论的许多讨论都是建立在纳什均衡这一概念之上的，或修正它，或完善它。
以上是经济学数学化的一些主要领域的发展过程。另外还有诸如随机数学、模糊数学、非线性科学等等数学分支在经济学数学化的过程中也起到了非常重要的作用。从这些经济学发展的历史过程中我们也可以看出，早期的经济学数学化是随着数学工具的发展而发展的。到了
20世纪尤其是20世纪中后期，经济学和数学的发展有些领域已构成相伴相生、共同促进的局面了。
二 经济学数学化的意义
经济学为什么要数学化？马克思有一句我们耳熟能详的名言：
“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”④康德也曾说过：“有多少数学知识，就有多少严格的科学。”⑤这些都为经济学科学化严密化指明了道路。
然而，由于长期意识形态的对立，我们长久以来都是在从事马克思的政治经济学的研究，是很少使用到数学的，尤其是在
20世纪新发展出来的数学更是看不到丝毫的影踪。这样我国的很多从事经济研究的工作人员对数学方法在经济学研究当中的应用就颇为鄙薄，认为只是资产阶级经济学家为庸俗经济学披上一层科学的外衣。然而这背后隐藏着的可能更多的是对经济学数学化的误读。由于数学向经济学不断渗透的过程中，许多数学方法在经济学中被当作工具来运用，这些脱离了经济思想的纯技术性应用使人们产生了了把“数学化”等同于“数学工具化”的肤浅理解。所以有必要对“数学化”的含义做出进一步的阐释。
“经济学数学化”的第一层含义是指将数学的思维方式能动地运用于经济学，促使经济学不断实现质的飞跃。从人类认识史的角度来看，数学是人类理性思维的最根本形式。１７世纪，法国哲学家、数学家、物理学家笛卡尔就说过：“我苦思冥想，终于悟出了万物都可归结为数学的道理。……这样一门科学应该包含人类理智的精华，它的范围应该包括每门学科可靠结论的取得。”“坦率地说，我坚信它（数学）是迄今为止人类智慧赋予我们的最有力的认识工具。”只有理性思维才能产生重大突破。爱因斯坦运用数学思维推演出许多人们在日常生活中完全体验不到的也不能理解的结论。他创立的相对论大大打开了人们的眼界，是人们对宇宙的认识前进了一大步。应该看到，数学思维方式的演变在推动经济理论的变革中同样起着决定性的作用。它不仅为经济学提供了一种强有力的分析工具，更为深刻的意义在于，从根本上改变了经济学家看问题和分析问题的角度和理念，是他们对经济问题的本质产生了全新的看法。比如使用概率统计中的分布、期望和方差来刻画风险和不确定性，大大加深了人们对未知事件的认识，现代保险理论和金融理论由此发展。可以说，数学对经济学的改造作用正像微积分被引入物理学，是物理学的整个概念体系发生了革命性的变化。诺贝尔经济学奖得主弗里德曼则说：“我相信经济学所具有的科学成分和物理学、化学或其它自然科学成分在性质上并没有什么不同。股票（期货）市场价格涨落的物理本质就是在某一区域的构成介质发生失稳，并伴随有应变能的加速释放。要有效地跟踪其市场价格波动，就要从非线性动力学这个角度，来观察分析股票（期货）市场的价格波动问题，并对这一失稳过程进行分析研究。”
“经济学数学化”的第二层含义是，经济学理论的存在方式应当向数学靠拢。在数学中，未经证明的命题是不能作为定理而存在的。在尚未经过统计检验之前，理论观点均是以“假说”形式出现的。可是，在传统经济学中，理论被看成是放之四海而皆准的。这样，就把真理绝对化了。恩格斯说过，只要自然科学在思维着，它的发展形势就是假说。⑥“假说”作为一种理论抽象，它是一系列命题的组合，其内容需要历史、现实和有关学科的证明。现代经济学研究有两个方面：一是理论研究，主要使用严格的数学方法证明一种假说；二是经验研究，主要是使用统计数据和经济计量模型检验一种假说。另外从论证方式来看，经济学理论也应当仿照数学理论，首先要建立理论模型。而构建一个理论模型需要有三个相应的子环节：前提假设、逻辑推导、导出假说。理论模型是对影响某一经济现象的若干变量之间相互关系进行系统表述的逻辑体系。影响经济现象的经济变量可能很多，理论模型就是对其中关键变量的相互关系的系统表达。理论模型的好坏主要看它能否抓住影响食物的关键变量，并且简单明确。
从这个意义上来说，虽然经济学越来越数学化，但在本质上经济学不应同数学相类比。经济学同物理相类比则更为恰当，因为物理是研究自然界中的物质世界的自然科学，而经济学是研究社会中的经济世界，两者都是科学，其理论都必须经过经验数据的检验。而数学理论是不需要用数据来检验的。当然经济学与物理学很不同的一点是，除极少数的情况外，经济学无法象物理学那样做可控实验。
⑦不过这与大气活动、天体进化和地球演化有着类似，20世纪90年代后物理学家借用物理学的分析方法和手段，从大量经济数据中探寻各种经济现象背后的规律，催化了经济物理学的诞生。越来越多的物理学家也热衷于经济和金融问题的研究，他们引进了经济学家从未应用过的概念和方法，如：关联与自关联、标度律、自组织临界性、相变、自适应性、混沌、分形、渗流、神经网络、重整化群、自旋玻璃模型、量子场论方法等等。这些新概念和新方法给经济和金融这一类复杂系统的研究带来了新的生机。物理学影响了经济学，反之，经济学也影响了物理学。比如，有些人认为，物理学上的非线性理论思想主要来源于经济学。⑧
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