不熟悉

请问一下儿证明过程，和应用。

有不可能性定理的较为完整的描述没有 ？

阿罗遵从经济学研究集体决策（group decisionmaking）和公共选择（public choice）问题时的惯例，首先将个人投票视为每个独立个体根据自己的偏好程度给各种备选方案从大到小排序，个体的偏好排序满足下列要求：

1、完全性（completivity）：对任意一对备选方案 x 、y ，一个人喜欢 x 胜于 y 、喜欢 y 胜于 x 和对两者同样喜欢这三种情况必有其一。

2、反身性（reflexivity）：任意一个备选方案至少和它自身一样好。或者说，从同样的偏好标准出发，一个人不能既喜欢又不喜欢同一个备选方案。

3、传递性（transivity）：如果一个人喜欢 x 胜于 y ，喜欢 y 胜于 z ，那么他应该喜欢 x 胜于 z ；而且只有当他喜欢 x 和 y 的程度相同，喜欢 y 和 z 的程度相同时，他才能同样程度地喜欢 x 和 z 。

显而易见，对于一个正常人来说，这三个要求相当合情合理，绝无过分之处。

阿罗进而将选举视为一种规则，它能够将每个个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，并满足以下五个条件（即阿罗公理[Arrow's atoxism]）的要求：

1、所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。

该公理表明：选民对候选人的任何一种排序都是允许的，也就是每一位选民可以完全按照各自的意愿挑选自己中意的候选人。

2、对任意一对备选方案 x 、y ，如果对于任何投票人都有 x ≥ y ，根据选举规则就应该确定 x ≥ y ；而且当且仅当对所有投票人都有 x = y 时，根据选举规则得到的最后结果才能取等号。

该公理表明：全体选民的一致愿望必须得到尊重，同时每个选民的意愿也不能受到随意的忽略，体现了选民的主权特性。

3、对任意一对备选方案 x 、y ，如果在某次投票的结果中有 x ＞ y ，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中 x 的位置保持不变或提前，则根据同样的选举规则得到的最终结果也应包括 x ＞ y 。

该公理表明：如果所有选民对某位候选人的喜欢程度相对于其他候选人来说没有降低，那么该候选人在选举结果中的位置不会变化。

4、如果在两次投票过程中，备选方案集合的子集中各元素的排序没有改变，那么在这两次选举的最终结果中，该子集内各元素的排列次序同样没有变化。

该公理表明：某一组候选人在选举结果中的相对位置不会受除他们以外的其他候选人选举地位变动的影响，反映了无关候选人的独立性。公理3和公理4结合在一起，说明候选人的选举成绩只取决于选民对他们作出的评价。

5、不存在这样的投票人，使得对于任意一对备选方案 x 、y ，只要该投票人在选举中确定 x ＞ y ，选举规则就确定 x ＞ y 。

该公理表明：不存在能够仅凭个人意愿就决定选举结果的独裁者。

应该说这五个条件也是一个公平、合理选举的最起码要求。然而通过引入决定性集合（decisive set，选民集合 I 的子集 J 称为候选人x 、y 的决定性集合，如果对于任何一次投票，只要( x ＞ y ) i ，i ∈ J ，选举规则就确定 x ＞ y 。由公理2可以推出这样的集合一定存在）和最小决定性集合概念以及相关引理的证明，阿罗令人惊讶地发现：在只有两名候选人的情况下，采用简单多数规则的选举就能满足上述的五个条件的要求；但在超过三名候选人的情况下，满足前四个公理的选举规则竟然违反第五个公理（本来选举的目的就是让大家作主，结果却整出来个一言九鼎的“独裁者”），因此不存在能同时满足这五个条件的选举规则！这个结论被称为“阿罗不可能定理”，其确切表述如下：

当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。

阿罗还指出了多数规则的一个根本缺陷，那就是在实际决策中往往导致循环投票。例如，假设有 A 、B 、C 三人针对 x 、y 、z 三种选择方案进行投票，其投票次序如下表：

表1　　　投票悖论

投票者 　对不同选择方案的偏好次序

A　　　　　x　　　　y　　　　z

B　　　　　y　　　　z　　　　x

C　　　　　z　　　　x　　　　y

在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。不难看出，大多数人是偏好 x 胜于 y ，同样大多数人也是偏好 y 胜于 z 。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的，即大多数人偏好 x 胜于 z 。但实际上，大多数人偏好 z 胜于 x 。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果，这就好像一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。在这种循环的脆弱性中，多数规则并不能为任何一个大多数选择出一个绝对好的偏好来，其结果是没有一个选择方案能够获得多数票而被通过，这又被称作“投票悖论（the voting paradox）”。它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这种两难境地。不仅如此，在存在投票悖论的情况下，多数规则还会使一些策略性投票（例如，不投自己偏好的选票，或者通过操纵对各个选项的投票顺序）获益。

阿罗的研究结论意味着：在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。换句话说，也就是在现实生活中，根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序(agenda)的多数规则的投票方案；符合前面五个最起码条件的公平、合理的选举根本就不可能存在，而且其原因来源于选举本身，与具体社会政治生活中可能存在的消极因素无关。

森所提出的解决投票悖论、绕过“阿罗不可能定理”的方法就是改变甲、乙、丙其中一个人的偏好次序，以解决投票悖论的问题：
将甲的偏好次序从（a ＞ b ＞ c）改变为（a ＞ c ＞ b）
新的偏好次序排列：
甲（a ＞ c ＞ b）

乙（b ＞ c ＞ a）

丙（c ＞ a ＞ b）

改变前若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ b ）

乙（b ＞ a ）

丙（a ＞ b ）

社会次序偏好为（a ＞ b ）

若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（c ＞ b ）

乙（b ＞ c ）

丙（c ＞ b ）

社会次序偏好为（c ＞ b ）

若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ c ）

乙（c ＞ a ）

丙（c ＞ a ）

社会次序偏好为（c ＞ a ）

于是我们得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）（c ＞ b ）（c ＞ a ）,虽然这样能避开投票悖论，但是却改变了甲的偏好次序……

森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：
一、所有人都同意其中一项选择方案并非是最佳；
二、所有人都同意其中一项选择方案并非是次佳；
三、所有人都同意其中一项选择方案并非是最差。

森表示在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。这里有很大的问题，即为了追求一致性，而改变、忽略、牺牲个人偏好次序，这种妥协实在是违背“程序民主”最基本的主旨——表达社会偏好次序。

换句话说，这种投票选举规则并不能让所有公民都真实的推举心目中爱戴或信赖的人（当然也就更不能保证推举出的人最能干或最称职了），只能选个非最优的、或非次优的、甚至只是非最差的，那么通过这种投票选举规则是否表达了民意？而就这个一个打了折扣和补丁的东西，还有一个重大隐患在里面，而且是森亲自论证的，这就是著名的“森的帕累托自由悖论”~！