阿罗不可能定理 (Arrow’s Impossibility Theorem)

1951年阿罗指出的不可能性定理是福利经济学中的第一个不可能性定理，证明了在某些条件下阿罗社会福利函数是不存在的。实际上，阿罗证明的是阿罗一般性定理(General Possibility Theorem)，该定理证明了阿罗社会福利函数必须至少满座五个合理化的条件，即：

1． 符合逻辑的个人效用函数的任意性 (free triple)；在所有状态中至少有三种选择，关于这三种选择，所有逻辑上可能的个人排序都是可以接受的。

2． 社会价值和个人价值选择的正或非负关联性 (positive or not negative association)；社会排序随着个人价值判断的变化而同方向变化，或者至少不是反方向变化。因此，如果在每个人的排序中某个社会状态的排序上升或保持不变，而在这些排序中没有发生其他的变化，那么，我们就可以预期，该社会状态在社会排序中的排序也上升或至少没有下降。

3． 无关选择的独立性 (independence of irrelevant alternatives)；给定条件下社会所做出的选择只取决于该条件下个人对这些选择的排序。换言之，如果我们考虑这样的两个个人选择集合，对每一个个人而言，他对于给定条件下特定选择的排序在任何时候都是一样，那么我们就可以要求，在该条件下，当个人的价值判断由第一个排序集合给出时，和当个人的价值判断由第二个排序集合给出时，社会所做出的选择应该是相同的。

4． 非强迫性或公民的主权性 (non-imposition or citizens’ sovereignty)； 如果有一组选择x和y，无论所有人的偏好是什么，社会都不会显示出y胜于x，即使所有人都认为y胜于x，社会的排序也仍然是x不差于y，这样的社会排序就是强加的。该条件要求社会排序必须根据个人排序得出。

5． 非独裁性 (non-dictatorship)；如果对于每一组选择，某个人的偏好就是社会的偏好，而不管其他人的排序如何，这种制度就是独裁。

阿罗强调，能够满足这五个条件的社会选择机制是不存在的。其不可能性将福利经济学笼罩在悲观的气氛中，但是，也帮助人们一时到集体决策可能导致矛盾的结果，使西方经济学家重新对社会选择问题进行深入的研究。

阿罗不可能性定理的条件包括两类，一类是关于个人和社会排序的合理化条件，这是讨论社会选择问题时的一些基本条件；另一类是关于制度的合理化条件。

首先，社会（或集体）由一个以上的人组成，社会排序必须基于个人对各种选择的排序。其次，个人和社会的排序需要满足两个公理：

公理A：完全性：对于所有的选择x和y, 要么xRy, 要么yRx （x不差于y）,要么yRx （y不差于x）。R表示“偏好或者无差异”。

公理B：传递性：对于任意的x, y 和z, xRy 和yRz 意味着 xRz。即：如果x不差于y，y不差于z，则x不差于z。

所谓制度(constitution)，是指“一个过程或一项规则，对于所有个人关于社会状态的排序集合 ，这一过程或规则表明其相应的社会状态的社会排序为 。

阿罗指出，多数规则(majority rule) 的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。例如，有A, B, C 三人针对X, Y, Z三种选择方案进行投票，其投票次序如表1：

在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。不难看出，大多数人都是偏好X胜于Y，同样大多数人也是偏好Y胜于Z。按照逻辑的一致性，这种偏好应当是可以传递的，即大多数人偏好X胜于Z。但实际上，大多数人偏好Z胜于X。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这又被称为“投票悖论(the voting paradox)”，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，因而公共选择规则难以避开这两难境地。阿罗认为：根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好并且不依赖程序(agenda)的多数规则的投票方案。即在通常情况下，当社会所有成员偏好为已知时，不可能通过一定的办法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。

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阿马蒂亚森有过很详细的解释

并且还解出了阿罗不可能定理的解

阿罗不可能定理在公共选择中，即间接民主中的多数同意规则下是这样的：

不可能找到这样一种投票程序，其投票结果不受投票程序的影响，同时又尊重每个人的偏好，能够将所有人的偏好转化为一种社会偏好，并作出前后一致的决策。