公共选择理论的代表人物之一丹尼斯·缪勒在其《公共选择》（1979）一书中认为，社会选择理论以及社会福利函数性质的论著，特别是伯格森（A. Bergson）的《福利经济学的某些方面的重新论述》、肯尼斯·阿罗的《社会选择和个人价值》和布莱克的《委员会和选举的理论》是公共选择理论的主要来源之一。所谓社会选择，是与个人选择相对而言的，个人选择的中心是确定个人偏好，而社会选择理论的中心是确定社会偏好。在社会选择理论中，最著名的也是最受推崇的结论是阿罗的"不可能性定理"。1951年，阿罗出版了他的研究社会理论的重要著作《社会选择和个人价值》。他首次运用数理逻辑的分析工具，对社会决策和社会民主程序设计之间的关系做了形式化的深入考察，所得出的"不可能性定理"在西方经济学界引起了轰动，被认为是近数十年来数学应用于社会科学所取得的一项突出成果。

阿罗认为，在现代民主社会中，有两种做出社会选择的基本方法：一种是投票，通常用于做"政治"决策；另一种是市场机制，通常用于做"经济"决策。此外，在其他非民主的国家，甚至在民主社会中的较小单位里，也存在两种社会选择的方法，即独裁和传统，在它们的正式结构中具有某些投票或市场机制所不具备的明确性。在理想的独裁体制中，社会选择只根据神的或者全体个人的共同意志做出。因此，这两种情况下均没有个人之间的冲突。然而，投票或市场的方法是汇集许多不同的个人偏好做出社会选择的方法。在任何个人是理性地做出他的选择的意义上，社会选择的独裁方法和传统方法也是理性的。[②]但是在涉及许多个人不同意志的集体选择中，这种个人选择和社会选择的协调性还存在吗？下面笔者用著名的"投票悖论"（paradox of voting）来对这个问题做一下简单的说明。

现在，假设有政治学博士甲、乙、丙三人，分别在中国大陆、日本和美国接受政治学教育，而且是分别多年的好朋友。三人久别重逢，欣喜之余，决定一起吃饭叙旧。但是，不同的文化背景形成了他们不同的饮食习惯，对餐饮的要求各不相同，风格各异，如下所示：

甲：中餐>西餐>日本餐

乙：日本餐>中餐>西餐

丙：西餐>日本餐>中餐

如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：

首先，在中餐和西餐中选择，甲、乙喜欢中餐，丙喜欢西餐；

然后，在西餐和日本餐中选择，甲、丙喜欢西餐，乙喜欢日本餐；

最后，在中餐和日本餐中选择，乙、丙喜欢日本餐，甲喜欢中餐。

三个人的最终表决结果如下：

中餐>西餐，西餐>日本餐，日本餐>中餐

所以，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的"投票悖论"（paradox of voting）。

投票悖论最早是由康德尔赛(Marquis de Coudorcet)在18世纪提出的，因而该悖论又称为"康德尔赛效应"[③]，而利用数学对其进行论证的则是肯尼斯·阿罗。

阿罗认为，有关社会选择的两个公理与民主主义所要求的诸条件不相适应。他所说的公理指以下内容：

公理1：连贯性（connectedness）

在x和y两项选择共存时，下面的某种情况永恒成立：

x大于或等于y；y大于或等于x。

公理2：传递性（transitivity）

在有x、y、z三项选择时，会出现这样几种情况：

x大于或等于y；y大于或等于z；则x大于或等于z。

阿罗指出，奠定这两个公理的基础的社会福利函数与他所谓的民主主义的诸条件不相称。民主主义的诸条件如下：

（1）条件1：个人排列顺序的普通容许区间。

作为个人来讲，对于如何选择自己的选择值序列问题是无关紧要的。例如，在面临x、y、z三项选择时，无论是x>y>z，还是z>y>x，或者是y>z>x，......总而言之，允许个人按照自己意愿排列选择值顺序。

（2）条件2：社会评价与个人评价的正态相关。

假如有五个人来选择x、y，当其中三人为x>y，另外二人为xy，而且，即使出现少数派中的一方改变主意，x>y时，x>y的社会全体的多数表决结果将仍然如故，不会发生改变。

（3）条件3：与无关选择对象无关的独立性。

在x、y、z三项选择值之间，假定选择顺序为x>y>z，那么即使y选择值已不复存在，剩下x和z的x>z的选择关系仍旧不发生改变。

（4）条件4：公民主权

个人的选择顺序与社会结构无关，即社会中的每个人都能按各自的价值观，自由地在备选对象中进行选择。

（5）条件5：非独裁

在全体成员中，当只有特定的个人选择x>y，其余人选择xy。[④]

综上所述，即所有五个条件都理应成为民主社会所具备。阿罗认为，如果同时承认前面两个公理和该五个条件，就会促成投票的悖论效应。这就是阿罗不可能定理。

接下来，笔者举一个简单的例子来说明阿罗所谓两个公理与民主社会的五个条件的矛盾性。

按照阿罗的理论，假设现在有七个人聚在一起准备去吃饭。这七个人对餐饮的偏好顺序如下所示：

1号：中餐>西餐>日本餐

2号

3号    日本餐>中餐>西餐

4号

5号

6号    西餐>日本餐>中餐

7号

由上可以看出，就中餐和西餐比较而言，1至4号喜欢中餐，5－7号喜欢西餐，故中餐以四比三的结果夺得优势。再将西餐和日本餐相比较，则1号和5至7号喜欢西餐，2至4号喜欢日本餐，即西餐以四比三的结果夺得优势。如果依照公理2的可递性来看，西餐>日本餐，由于前面中餐>西餐，则中餐>日本餐。但是，若从七个人的选择顺序来看，主张中餐比日本餐好的只有1号，而其他人都认为日本餐比中餐好。问题尚不仅于此，按照可递性，中餐将表现为社会选择结果。在此情况下，只有1号的意见得到通过。这时，如果1号改变选择顺序，那么与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，而是以1号的选择顺序为转移。

阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。

就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔（C. Campbell）和塔洛克（G. Tullock）。

坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7％；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50％。[⑤]也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。

此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。他们指出，在投票者超过十人的情况下，以上投票悖论出现的概率基本无变化，而且选择值的多少对悖论概率有相当大的影响。[⑥]

由于阿罗是世界著名的数理经济学家，其著作中有大量的数学推导，而笔者的数学基础又实在是非常薄弱，根本难以看懂其著作。但是，为了更好地了解公共选择理论，笔者还是尝试去理解阿罗不可能定理的基本内容，希望自己能够了解这个理论。到目前为止，笔者对阿罗不可能定理的理解只能达到这种程度，实在不敢再对其理论枉加评述。