阿门王：

请教：从“阿罗不可能定理”到“阿门可能定理”

一．“投票悖论”

阿罗不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。

甲（a ＞ b ＞ c）
乙（b ＞ c ＞ a）
丙（c ＞ a ＞ b）
注：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。
若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a ＞ b ）
乙（b ＞ a ）
丙（a ＞ b ）
社会次序偏好为（a ＞ b ）
若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲（b ＞ c ）
乙（b ＞ c ）
丙（c ＞ b ）
社会次序偏好为（b ＞ c ）
若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a ＞ c ）
乙（c ＞ a ）
丙（c ＞ a ）
社会次序偏好为（c ＞ a ）
于是我们得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ）
），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c~！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。
（以上作者：左派大佬）

二．“民主不可能”

由“投票悖论”引发了一系列“民主不可能”，著名的有“阿罗不可能定理”
“森的帕累托自由悖论”（俺认为应该叫做“森的帕累托民主不可能”比较确切）萨缪尔森的“谎言民主”，布坎南的“粉红色大楼”
（俺不知道如何简单表述他们的意思）
以上的这些“民主不可能”的具体表述，各位可以到GOOGLE上去查找。
以上的这些表述，在理论上无懈可击，但是，其实不用这么复杂，阿门王以二个人的AB二种选择做偏好排序做例子，甲选A而乙选B，民主已不可能矣，这个俺们将它叫做“阿门不可能”，是最简单的“民主不可能”。

三．“阿门可能”

以上的困惑，其实简单地说，就是给社会偏好排序的困惑。
有两件事情给了俺启迪：
一个是“选票不如钞票”的名言。
另一个是，偏好差不多就是效用，而效用有基数说和序数说之分。
于是俺想到了一种数字化方案：
还是以“投票悖论”中的三个人的ABC三种选择做偏好排序为例子，这里有一个问题，比如甲的偏好排序是ABC，但是这种ABC排序没有数字化，即甲到底喜欢A有多少，而不愿意接受C又到什么程度。
如果给每个选民总分10分，给ABC上分数，比如A6B4C0或者A5B3C2什么的，可能俺们容易得到更“民主”的结果。
甲（a ＞ b ＞ c） 假设A6B4C0
乙（b ＞ c ＞ a） 假设A2B4C4
丙（c ＞ a ＞ b） 假设A2B1C7
上述三条是甲乙丙的偏好曲线，显然，这三条曲线能够合成为一个复合函数，即为A10B9C11
这个叫做“阿门可能”，可以认为俺们已经给社会偏好做了合理的排序。
再来一下：
甲（a ＞ b ＞ c） 假设A6B4C0
乙（b ＞ c ＞ a） 假设A1B4C5
丙（c ＞ a ＞ b） 假设A2B1C7
则复合函数为A9B9C12
这其中，AB两点成为“阿门不可能”，而BC两点为“阿门可能”。

四．“阿门不可能”的解决之道

“阿门不可能”就是简单的博弈双方的平局，不值得大惊小怪的。
象棋可以有平局，而民主程序在理论上似乎应该可以设计成象围棋那样的无平局。
即使平局也不可怕，可以掷色子嘛，掷色子很公平的。
若是民主运行的成本可以忽略不计，那么，更好的办法是，只要将民主程序设计成多次博弈程序就行了，3局2胜的制度是到处存在的嘛
再比如，用一次淘汰一个或者一个以上选项的末位淘汰制多次选举法，解决“阿门不可能”问题就非常可取。

五．从“阿罗不可能定理”到“阿门可能定理”

各位别笑话俺，俺数学底子差，到这里来找人帮忙来了。
俺想请教若言，好年华，钱妹妹等等各位地球村的经济和数学双料高手：
仅仅将偏好基数化，俺是否实现了从“阿罗不可能定理”到“阿门可能定理”的突破？

哎,好久没来了,这里冷冷清清.
记得上次还和若言兄讨论过自由问题来着,话尤未尽,实在是没有时间了.

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niubaishui：

你只不过是把问题细分罢了，阿门
　　就象有人说人都是一样的，你说不对，然后举出人有男女之分，同是男的也有老幼之分，既使同是老的也有胖瘦之分，再既使同是胖的也有高矮之分，……。
　　其实细化也只是解决了概率问题。原来出现悖论的概率很高，经细化后，概率下降了，当然，民主的成本也增加了，投票复杂了，非此即彼变成了打分，很多人可能都不知如何评了。就象你要追星族说出追某星的原因，他可能说出一堆原因，但要他分别说出不追其他星的原因时，可能根本就不知道怎么说。
　　还不如第一轮没结果就直接投色子呢。

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好年华：

阿门越来越糊涂了，给你的阿族祖宗设的圈套套住了。

根据阿门解法，将出现以下情形：

甲：A7、B1、C1、D1、E1
乙：A7、B1、C1、D1、E1
丙：A1、B1、C2、D3、E4
丁：A1、B2、C3、D1、E4
戊：A1、B3、C2、D1、E4

于是，投票的结果是A方案胜出，因为A总=17；而根据简单多数法，是E方案胜出。

也就是说，甲、乙两个人（少数人）以自己强烈的特殊偏好，压制了另外三个人（多数人）不那么强烈的普遍偏好，并且选择了最不利于这些多数人的方案。这是“民主”吗？

到底根据简单多数法“数人头”，还是根据量化值累加决定最优（阿门方案），这其实是一个“价值观”的问题，或者说“规范”（经济学、政治学）的问题，而不是一个事实判定的问题。如果你认为某个人或某些人的偏好的“权重”一定要比其他人大，那么简单多数法甚至阿门方案都是不可取的，也就是说，民主是不需要的。例如，甲是皇帝，他的偏好权重是无穷大，其他人的偏好权重为0，所以，无论怎样投票，都是甲一人代表了其他所有人，还民主什么？干脆专制算了。

民主既然确定了简单多数决定的原则，当然是由于民主的价值观认为，此原则下社会总偏好可以最大化，或者说，实现的概率最大；而其他方案则不能肯定实现这个最大化，或者说，实现的概率比民主的规则小。注意：是概率，不是必然或100％。从这个角度理解民主，你才不会被人误导和迷惑。

当批评民主方法出现“阿罗不可能”悖论时，不妨反问，其他方法，例如专制可以解决这个问题吗？显然也不可能。因为各人偏好的排序是一个不可改变的事实，而不随裁决总偏好最优者的价值观不同而不同。除非以专制的价值观代替民主的价值观（例如一个人代表所有人，甚至反向认定所有人认为的“最劣”为“最优”，等等），这样所谓最优最劣的价值判断自然也就和民主不同，不会出现所谓“阿罗不可能”了。阿罗的圈套就是，用一些特殊情形（不能决定）来否定普遍情形（可以决定），进而可能被人利用－－以专制的价值观偷换和否定民主的价值观。

事实上，常规的投票方法（简单多数决定，各人权重相等），是在民主的价值观下，可以最大概率实现社会总偏好的最优化。例如甲、乙、丙三人，A、B、C三种方案，好、中、差三种评价，那么可能的组合共有(3x3)x(3x3)x(3x3)=729种情形，民主方法出现“阿罗不可能”的只有其中很少部分，大概不到5%；而专制的方法，则只有1/3左右的概率可能和民主的方式结果一致，即专制者如甲的偏好恰巧与所有人的最大总偏好一致。显然易见，当人数和方案不断增加时，民主方法可决定最优的概率也越大，而专制方法恰巧符合最优的概率也越小。如前，阿罗的例子：

甲（a ＞ b ＞ c）
乙（b ＞ c ＞ a）
丙（c ＞ a ＞ b）

数学上这叫做“轮换式”：固定偏好的次序不变，将甲、乙、丙三人的位置互相调换，结果相同。这样的情形共有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共6种，在这6种情形下民主方法不能决出最优结果－－其实是，无论哪一种方案对社会总偏好的影响是一样的，因此无所谓优劣，采用哪一种都行。

如果认为每个人对不同方案总有一个排序，即不可能出现a=b、b=c和c=a的情形，那么每一个人的偏好组合共有3!=6种，三个人共有6x6x6=216种。因此，“阿罗不可能”出现的概率只有6/216=2.8%，如果考虑a=b、b=c和c=a的情形，“阿罗”的概率更少，如果人数趋向无穷大，则“阿罗”的概率将趋向于0，实际上完全不存在，不必考虑。退一步说，即使碰上“阿罗”，也谈不上损害社会的“总偏好”，因为此时没有一个明确的“总偏好”存在；并且这是在已知方案数目确定的情形下，如果出现一个新方案，则各人的偏好也会改变，“阿罗”又将变成一个极小概率的、可以忽略的事件。

这就是把“阿罗不可能”的破烂当救命稻草捣鼓来捣鼓去的弱弱脑子，大家说是不是很好笑啊？？？