[原创]一个可能导致传统经济学理论体系崩溃的数学模型

文/ 萧柏行
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    传统经济学的大厦建立在“理性经济人”的假定前提之上。但是，本文的结果表明，模型的简化处理一定要谨慎进行，因为一旦模型简化不合理，模型很可能得出错误甚至是荒谬的结果。为了说明数学模型在不合理的假定条件前提下出现的错误结果，笔者特别构建一个模型实例来进行具体分析：

    有甲乙两人分别从相距20公里的甲乙两地同时出发，相向而行。甲行进速度12公里/小时，乙行进速度8公里/小时。在甲出发的同时有一条狗以20公里/小时的速度在甲乙两人之间往复奔跑，最初从甲地出发向乙奔跑，当与乙相遇后立刻折返以相同的速度向甲奔跑，依次往复循环，直至甲乙两人相遇为止。为了激励狗的行为，甲乙两人每次与狗相遇时，给狗10克狗食作为奖励，问甲乙两人出发时，各需要携带多少狗食？

    根据题目分析，甲乙两人同时出发后，将在1小时时相遇，狗的往复奔跑时间也必定是1小时，其往复折返的次数必定是有限的。——任何按照常识分析的人们都会得出这样的结论。

但是如果以数学模型推算，将得出狗“往复折返的次数无限”的结果。
推导如下：

设狗的速度为VD>0，甲的速度为VA>0，乙的速度为VB>0
根据模型给出的初始条件：VD − VA >0与VD − VB>0同时成立
设：在第M次狗与人相遇出发前，狗与相遇者距离为LM，狗与人相遇所需时间为TM

下面用归纳法分2种情况讨论
1、当狗与乙相遇时，则有：TM=LM/（VD+VB）（狗与乙相遇所需时间）
这段时间甲和乙行进的距离分别为： VA•TM  、VB•TM
所以下一次狗与相遇者（甲）的距离    LM+1=LM− VB•TM− VA•TM =（VD − VA ）•TM
2、当狗与甲相遇时，则有： TM=LM/（VD+VA）（狗与甲相遇所需时间）
下一次狗与相遇者（乙）的距离   LM+1= LM− VB•TM− VA•TM =（VD − VB ）•TM
因为LM>0   VD − VB >0   VD − VA>0
所以必然有TM >0 与  LM+1 >0  同时成立
以上的推导得出，只要LM>0成立，必然有LM+1 >0  同时成立
根据模型给出的初始条件，显然M=1时，上述推导成立；由此可以得出M=2，3，4。。。时上述推导依然成立；由于M可以是任意正整数，所以狗的往复折返次数无限；甲乙两人出发时各需要携带的狗食也是无限多。

    此数学模型得到的结论显然是荒谬的，问题出在哪里呢？
    问题就在于初始的假定条件不合理，考察数学模型的假定条件：
1、 狗、甲乙2人均以均速行进
2、 狗与人相遇时立刻折返，也就是说在相遇点耗费的时间为零

    但是实际上狗与人相遇时是不可能立刻折返的，必定有一个减速——停止——转向——加速的过程，而这个过程所耗费的时间不可能为零。所以假定条件（2）不合理。

    当本数学模型的初始假定条件修改为：
1、 狗、甲乙2人均以均速行进
2、 狗与人相遇时折返需要的时间为TD>0

得到的结论即可与实际相符合，有兴趣的读者可以自行推导。

    这个数学模型的意义十分重大，其重要性怎么高估都不会过分。因为“如果数学模型的假定条件或初始约束条件不合理，或是忽略了某些甚至是某个不该忽略的因素，将得出错误甚至是荒谬的结论。”将使许多依据漂亮的数学模型但前提假定条件不合理的学术论文沦为废纸，同时也使得以“理性经济人”假定条件为基础的传统经济学大厦摇摇欲坠。理由只有一条——前提假定条件不合理。

    需要特别强调的是，笔者采用的是证伪的方法——找到一个实例就足够了；而证实则需要无穷多实例，但是只要出现一个反例就必须重新审视理论体系是否有缺陷。信奉传统经济学理论的经济学家们，你们准备怎样维护传统经济学理论体系的大厦呢？