都忘了，不过在特殊点出的展开很重要，像0、1、中点处、-1展开很重要

说应用，那可就多了去了，比如说表示一些非初等函数、解微分方程、近似计算等方面都有应用，在其他学科中如力学、工程学、电子学方面都有应用。具体看你想在哪个方面进行应用了

在含有导数的方程 不等式  增量比的式子  看看是否适合用中值定理   否则就用泰勒定理
另外  在含有关于关于某一个数值连续几个不同阶数的倒数时 用之

同济高书里讲到泰勒中值定理的证明时，它将要证的那个式子大部分设为一个整体而接下来只是证明了一小部分，而认为这一小部分证明，整式也就得证了。我觉得这种证法相当与回避了主要矛盾（将它当作已知），而却集中精力证一个无关紧要的部分，证了跟没证一样，很无聊。其中有些关键的东西比如为什么有阶乘式，都被回避了。 感觉整个证明过程逻辑感不强，按书上所说的是要证明R(x)是(x-x0)n次方的高阶无穷小，再证明出R(x)的具体表达式，那么你怎么再证明前就知道辅助函数正好就是（x-x0）的n+1次方呢？不知道各位意见如何？

探讨泰勒公式在高等数学中的应用http://wenku.baidu.com/view/1370082e0066f5335a8121ac.html