公平游戏博弈模型的期权定价

                        于德浩

                       2020.9.22

看到巴舍利耶在1900年的期权定价公式，用的是“fairgame”模型。他给出的公式已经具备了BSM期权定价公式的雏形。

C（S，T）=S*p-X*p+σ*T^0.5*p ; 其中，S 是当前股价，X是行权价，σ是标准差（波动率），T 是认购期权的剩余时间；p 是胜率（行权成功率），用累积正态分布函数表示出来，   p=N((S-X)/( σ* T^0.5))。

举例，平值期权，S=X=3.0元，σ=6%，剩余期限T=1个周期。显然，胜率p=N（0）=0.5；C/S=（1-X/S）*p+σ*T^0.5*p=0*0.5+σ*1*0.5=0.5σ=0.03。即，平值认购期权价格大约是C=0.09元。

对于虚一认购期权，S=3.0，X=3.09元。这里,p=N((1-1.03)/0.06)=N(-0.5)=0.3;

C/S=(1-1.03)*0.3+0.06*1*0.3=0.009; C=3.0*0.009=0.027元。

对于虚二认购期权，S=3.0，X=3.18。这里，p=N（-1）=0.16；

而C/S=(1-1.06)*0.16+0.06*1*0.16=0。就是说，超出+1X的行权价的虚值认购期权，这里的理论价格就是0，甚至是负值。这个显然是与实际市场数据不符的；但是，这也告诫人们，深度虚值认购期权不能买入。

从公平游戏博弈来看，平值认购期权的价格是0.5σ是很好理解的。就是说，简化为两个概率末态，股价要么上涨到+1X，要么下跌到-1X，两者各占50%概率。认购期权买家的概率收益就是0.5(σ-x)，概率损失是0.5x；盈亏平衡方程，0.5x=0.5(σ-x)。从而解得x=0.5σ。

如果是虚值期权，盈亏平衡方程（1-p）*x=p*(σ-x)，这个胜率p应该是多大呢？这个胜率p肯定要小于平值期权的胜率0.5，我们大致可以用p=N((S-X)/(σ* T^0.5))去近似估计。显然，对于虚一认购期权，p=0.3；对于虚二认购期权p=0.16。也就是说，虚一认购期权的价格应该是平值期权的0.3/0.5=0.6倍；虚二是虚一价格的0.16/0.3=0.5倍。

但是，1900年的巴舍利耶对这个价格做了过多的向下修正。以至于，虚一价格仅是平值期权的0.3倍；虚二价格已经是0了；虚三及以后就是负值了。当然了，平值期权刚好不需要修正，所以，平值期权的理论价格与市场数据还是相符合的。

我们看一下实际案例。 50ETF的当前价格是3.406元，剩余95天的平值认购3400市场价格是0.1525元，虚一购3500是0.1136元，虚二购3600是0.0820元。我们从平值认购期权的价格可以反推出σ=0.1525/3.406*2=9%；即，市场中性认为，股价在95天后要么+9%上涨，要么是-9%下跌。

我们发现，虚一认购期权的价格要大于0.6倍的平值期权价格，大约是0.1136/0.1525=0.74倍。市场实际数据，不但没有向下，反而向上修正了。 虚二也是相对理论值更贵不是0.5倍，二是0.0820/0.1136=0.72倍。

再回到简化的两概率末态模型。当虚一值期权定价时，两个概率末态变成-0.5X和+1.5X，这是0.31：0.07，即胜率p=0.07/0.38=0.18。盈亏平衡方程，0.82x=0.18*（1.5*σ-x），解得x=0.27σ；这确实是比x=0.3σ略微向下修正了，但与实际市场数据偏离更远了。

其实，市场是有风险偏好的，有边界风险放大效应。比方说，掷硬币连续3次为正，押一赔七是公平游戏，即要么1变8，要么1变0。但是，庄家要有自己的利润才行，所以他制定押一赔六，即平均8局游戏中，能有1元的利润，这时的利润率就是1/8=12.5%。如果按照相同的利润率，对于“掷硬币连续4次为正”，应该是押一赔十三，即，每16局游戏中有2元的利润。但是，由于一次失败的赔率太大，庄家就会把游戏设定为押一赔十二，使得利润率上升为3/16=19%。想想看，如果仅是1/8变成2/16，庄家何必冒着一次大赔的风险去发明这个无效的游戏呢？

对于虚值认购期权，也是类似的道理。万一虚值期权行权成功，会获利巨大；所以，人们就愿意给虚值认购期权支付更贵的价格。理智的讲，我们不应该去购买虚值期权。即使看涨，平值期权也相对更便宜。不过，期权买卖比掷硬币博弈更复杂。掷硬币的游戏，我们能计算出客观概率，胜率及赔率。但认购期权，我们只是知道市场是中性定价的；但股价涨跌的“客观概率”是无法计算的，我们只能去大体估计。

对于，认购期权的多头，他并不是像赌徒一样，明知概率对自己不利，还去赌一把。他只是认为，虽然市场认为中性的不涨不跌；但是，多头自己认为上涨的概率应该是更大的70%，所以才要理性购买认购期权。但无论如何，如果去购买深度虚值认购期权，就不那么理智了。

在市场中性定价来看，3.0元当前股价，也是期望值，每月涨跌6%是波动率，那么剩余30天的平值期权的价格就大约是0.1元。股价30天后，能波动到3.2元（+1X）处的概率仅是16%。

但在多方来看，预期3.2元才是真的期望值，股价从当前3.0元上涨到末态3.2元的概率是50%；能达到3.3元的概率是30%，能达到更高的3.4元的概率是16%。而不低于3.1元的概率是70%以上。所以，多方才愿意支付0.1元的权利金买平值认购期权，因为有70%的概率可以至少保本。

在股价运行中，一般末态价格都不是最高价，所以，期间能有3.2元以上的最高价（短期累积涨幅+6%以上）出现的概率要高于50%，我们可以估计为68%以上。也就是说，如果你坚定信心看涨，那么期间股价不到3.2元以上，就不要随便止盈。

而即使我们预期股价会大涨，一个月大涨+6%以上，当股价期间超过3.3元以上，我们也应该理性止盈。这个3.3元高点，大约只有50%的概率能够中途到达；而能收盘到末态3.3元仅有30%的概率。一般来说，当股价上涨超过一个标准差，大约累积+6%涨幅时，短期剩余30天的认购期权理性中途止盈是非常必要的。

这样综合来看，我们做多买入的认购期权，应该是平值认购或虚一认购期权，不能是更虚值的期权。道理很简单，如果股价正常预期，从3.0元变为3.2元，平值期权就从0.1元涨为0.2元，2倍收益。虚一认购期权，就是约从0.06元变为0.1元，1.7倍收益。