对BS期权定价公式的修正简化及解释说明

                         于德浩

                        2021.4.12

在BS期权定价方程和定价公式中，市场中性假设是很令人费解的。因为众所周知，资产的收益和风险是成正比的。而在BS期权定价公式中，把股票及认购期权的收益率都假设为无风险收益率r，这本来是很不合理的。只是，在最后的数学结果上，却与实际市场数据符合的很好，于是人们也就这么接受了。

我在这里引入并解释四个概率相关的定义，就能消除这个费解。首先是市场观点，也就是定价概率，这里的风险资产的期望值μ=0，是严格等于0，与无风险收益率r无关。就是说，市场观点永远都认为，股价未来涨跌的概率各是50%，并以此去给期权定价。不管未来股价大涨或大跌或震荡，认购期权的定价都是一样的，确定的。

其次是多方观点。 多方之所以能成为认购期权的买家，他一定是认为，股价未来是上涨概率更大，期望值μ>0。

三是，空方观点。 空方之所以能成为认购期权的卖家，他一定是认为，股价未来是下跌概率更大，期望值μ<0。

多空双方存在观点分歧，才能有买卖交易产生。想想看，倘若大家都一致看涨，都认为股价一个月后会从当前的3.5元大涨至3.7元，那么股价就会一下子跳涨到3.7元，在3.5-3.7元之间根本不会有任何成交价格。而现实中，股票交易是实时连续成交的，这就说明同时存在多方观点和空方观点，于是这就导致了市场观点是μ=0。

四是，股价在短期涨跌的客观概率。这在当时一定是未知的，只有事后才能去统计得知，期望值可正可负可为零。客观概率有时候接近多方观点，有时候接近空方观点，有时候接近市场观点。

实际上，在期权定价公式中，时间反演算符是e^(-μ*T)。由于在市场观点中μ=0，即时间反演算符是1，或者说，根本不需要时间反演。直接应该有简单的初态=末态的概率期望值，即当前的认购期权价格C=<CT>。

在BS期权定价公式中，以折现因子e^(-r*T)，去替代时间反演算符e^(-μ*T)。由于无风险收益率r很小，一般设定为年r=5%，约等于0。所以，据此计算的数学结果与μ=0时，也相差无几。

实际上，我们应该大刀阔斧的去简化，去掉画蛇添足的无风险收益率r。事物的本质是简单的，对于短期零和博弈的期权定价，初态=末态的概率期望值，这一平衡原理就足够了，也没必要去涉及时间反演。这样BS期权定价方程就是更简单的，

∂C/∂t+(1/2*(S*σ)^2)*∂^2C/∂S^2=0 ；

期权定价公式C=S*N(d1)-K*N(d2) ，其中d2=(ln(S/K)-1/2*σ^2*T)/(σ*T^0.5)，

d1=d2+σ*T^0.5。

从数学形式看，似乎是原来的BS期权定价公式在r≈0时的近似；而本质是，本来就是期望值μ=0，严格等于0，只有概率期望值的结果。

一般的平衡原理有三种，一是初态=末态，比如物理学中的能量守恒及动量守恒定律。二是，初态=末态的概率期望值，这在随机零和博弈中会用到，比如上面的认购期权定价。三是，初态=末态期望值再时间反演。比如，股价变化的二阶近似函数就满足这个原理。

对于看涨期权和看跌期权的平价关系，实际是满足初态=末态的原理。即，C-P=ST-K。在市场观点μ=0的定价，<ST>=S。所以，C-P≈S-K。对于平值期权，由于S=K，于是就有认购期权价格C≈P认沽期权价格。这里的“约等于”很重要，可以允许有时候认沽期权的价格更贵些。

而一般的金融学教材中，平价关系是写成这样的，C-P=S-K*e^(-r*T)。这是应用初态=末态的折现，我认为这是错误的。因为，倘若这个关系式是正确的，那么对于平值期权，就应该总会有C>=P。而这将无法解释，有时候平值认沽期权的实际市场价格要高于认购期权。