方程（3）是个人的劳动供给，而方程（4）是个人的欧拉方程。在这种情况下，效用函数意味着在小时和消费之间存在财富。虽然效用函数的基准规定在OLGmodels中是标准的，但它意味着随着代理人的年龄增长，他们将遇到非负劳动供给的约束，因为Cs,t随着代理人的年龄增长而增加。因此，通过使用Greenwood等人的方法，我们也考虑了没有这种ECT的情况。（1988）（以下简称GHH）偏好。此外，财富对劳动供给的影响对DSGEmodels中的乘数有很强的影响，因此文献往往采用类似类型的偏好（例如，Monacelli and Perotti,2008）。在GHH情况下，我们有:en∞xt=n(βq)t-nζtlog^cs,t-(η/ε)Lεs,t,(5),其中ε>1。GHH偏好可以避免这个问题，因为（3）被以下项所取代:WTPT=ηLε-1s，t，(6)如果没有Cs，t，因此劳动力供给与s无关。同时（4）替换为：cs,t-(η/ε)Lεs,t=et cs,t+1-(η/ε)Lεs,t+1β(1+rt)ζtζt+1。（七）聚合。我们可以通过乘以(1-q)qt-s（出生在s时期，仍然活在t时期的个体）并求和s=-∞,...,t的两个边，导出方程（3）和（4）的集合对应物。泛型聚合变量xt与其构成之间的关系关于这个问题的详细讨论，见Ascari和Rankin(2007)。个别变量是:xt=-∞xs=t(1-q)qt-sxs,t。（8）经过一定的代数运算，我们得到以下集合表达式:WTpt(1-Lt)=ηct,(9)etct+1+(1-q)(1+η)qvtetδt+1=βet(1+rt)ζt+1ζt ct,(10)其中δt=1+qβetnζt+1ζtδt+1o。继Ascari和Rankin(2013)之后，我们将nancialWealth定义为：Vs,t=q(1+it)BNs,t。请注意，总量与个人财富的关系与一般关系略有不同，而是:qvt=p-∞s=t(1-q)qt-svs,t，因为我们在对Vs,t的认识中包括了年金支出。总欧拉方程指出，总消费增长率正向依赖于实际利率和冲击增长率，负向依赖于总财富。对于具有GHH偏好的模型(9)和(10)为:WTPT=ηlε-1t，(11)等t+1+(1-q)qVtetδt+1-(η/ε)etlεt+1=βet(1+rt)etζt+1ζt[ct-(η/ε)lεt]。（12）最后，代表家庭决定如何将其消费支出分配到以i∈[0,1]为索引的不同商品品种之间。消耗指数用标准CES函数表示：cs,t=zcθ-1θi,s,tdiθθ-1,(13),θ>1。在预算约束下，家庭最大化(13)，tdi=这个表示忽略了由于Jensen不等式引起的复杂性。然而，给出不直观的解释是非常有用的。此外，误差/近似对以下结果没有影响。第4节中的分析结果是从一个有限阶近似导出的，因此在这个阶上，聚合模型的解是精确的。第五节中的数值结果假设完美预见（或麻省理工学院的冲击，因为它们来自债务冲击后的脉冲响应）。另见Devereux(2011)和Smets and Trabandt(2018).Zs，t，其中Zs，tis货物总支出。这就引出了常见的I型好的常弹性需求函数:ci，s，t=pi，tpt-θzs，tpt=pi，tpt-θcs，t，(14)，其中=zp1-θi，tdi1-θ。(15)3.2Firms问题与家庭的偏好无关。有一个由i∈[0,1]分解的连续体，每一个都产生一个di-herentied good。

所有的产品都是在垄断竞争下运行的，并且使用相同的技术，用柯布-道格拉斯生产函数表示，总劳动作为唯一的生产要素，所以我们有Yi，t=lσi，twhere Yi，tandLi，tare产出和i所使用的劳动量。企业面临着相同的需求计划，并接受Pt、WT、Ytas。价格是粘性的\'a la Calvo(1983)，因此在任何给定的时期内，每个企业只能以1-α的概率重置其价格。在概率α下，它保持价格不变。那么，在周期n中调整其价格Pi，n的最优化问题是:maxpi，nen∞xt=nαt-nn，tPi，nYi，t-wtli，tPt(16)服从于需求调度i,t=Pi，tpt-θyt，(17)其中折扣因子i，n，tis由i，n，t(1+rn)-1(1+rn+1)-1...(1+rt-1)-1,n,n1。（18）如果我们将P*na作为周期n中的新的价格集，则解最优化问题得到如下结果:P*n=en“θθ-1σp∞t=nαt-nn,twtyσtpθσ-1tp∞t=nαt-nn,tytpθ-1t#1+θσ-θ。（19）这个表达式表明，新的价格取决于总产出的当前值和预期的未来值、一般物价水平和工资水平。3.3政府名义上的政府预算约束是:pt(gt-tt)+it-1bnt-1=bnt-bnt-1，(20)其中Gtis公共支出。以实值计算，我们得到:gt-tt=bt-(1+rt-1)bt-1，(21)，其中bt=bnt/pt。然后，根据Ascari和Rankin(2013)，我们用包含利益支付的实际政府债务来表示政府预算约束，我们将其表示为Bt=(1+rt)Bt:Gt-Tt=(1+rt)-1 Bt-Bt-1。（22）显然，三种政策工具中只有两种可以独立选择。接下来我们将考虑对政府债务的外生冲击，从而留下一次性税收tttto由（22）隐含地确定作为剩余。如果名义间利率为正，中央银行遵循标准的同期泰勒规则。否则，它受到零下限的限制（见等式(26))，因此，政府债务应该被视为“指数化”债务。更确切地说，Btis发行的“真实国库券”的数量，即承诺在t+1.3.3.1期间开始时向债券持有者交付BT单位的综合消费商品，商品市场的市场清算均衡只需要:yt=ct+gt。（23）4债务乘数的分析研究在这一部分，我们给出了约化形式的解，并解释了求政府债务乘数的求解方法。首先，我们推导了货币当局遵循泰勒规则的正的内部环境中的乘数。二是我们给出了零利率情况下的倍增器。4.1模型解决方案4.1.1基准案例我们在对数线性化模型后导出了模型的简单版本，以便通用变量xt可以用xt=xt-xx\'log xtx来近似。下面的方程是动态AD曲线(24)，新凯恩斯菲利普斯曲线(25)，名义利率的中央银行规则（26）和辅助变量δt(27):etyt+1=β(1+r)yt+β(1+r)(it-etπt+1)+etgt+1-β(1+r)gt(24)-β(1+r)ret-[β(1+r)-1]bt+[β(1+r)-1]etδt+1,πt=(1+r)-1 etπt+1+κ[yt-(1-L)σgt],(25)IT=max(0,ret+φππt+φyyt),(26)δt=qβδt+1-qβ[ret-log(1+r)]，(27)在Eggertson(2011)之后，我们将ret=log(1+r)-ut+1和κ=(1-α)'Aα-1-(1+r)-11-θ+θσ-11-Lσ定义为Gtis的稳态为零。我们还对it=log(1+it)进行了修改，这样itis就不会出现对数偏差。在不存在小写字母的情况下，我们用符号“B”来表示偏差。参数φπ和φya分别是名义利率对波动和产出的响应。

此外，r是实际利率的稳态值，它是内生推导的，对应于:r=q(1+η)βq(1+η)-(1-q)(1-βq)乘-1。（28）这个表达式表明，稳定状态的实际利率，因此均衡解，取决于生存的概率和稳定状态的债务与产出比。（28）意味着较大的稳定状态债务与GDP水平导致较高的稳定状态的实际利率水平，这与第2节所示的经验证据是一致的。下面是。特工生来就没有财富，所以他们必须在一生中积累财富。因此，在Blanchard(1985)OLG框架中的聚合欧拉方程（10）中，在每个时期，总财富都拖累消费增长，因为在每个时期死亡的代理人比出生的代理人消费更多（文献中的一些著作将此称为“代际更替”）。这有两个重要的含义。首先，使总消费保持稳定状态不变的实际利率要大于使个人消费保持稳定状态不变的实际利率。根据(4)，后者与ILRA模型相同，等于(1/β-1)。因此，从ILRA模型出发，得出以下结论:β(1+r)>1。（29）给定(4)，条件（29）意味着代理人在其一生中储蓄和积累财富，这正是因为实际利率大于主观贴现率。第二，稳态实际利率r取决于资本财富，即经济中的资产供给。资产数量越大，代际转换越强，保持总消费不变的实际利率应该越大。简单地说，在这个OLG框架中，资产的供给和需求决定了稳定状态的实际利率，因此经济中的资产供给越大，使代理人愿意持有该数量的资产的实际利率应该越高。这种关系对模型的解决有重要的影响，我们将在下面的文章中回到它。目前，重要的是要强调的是，债务的稳定状态值A影响了稳定状态的实际利率，因此它影响了经济的动态，正如我们将展示的，影响了乘数。我们考虑的是暂时的冲击。在计算乘数时，我们遵循Eggertson(2011)中的相同方法，因此我们的结果可以立即与之相比较。为此，我们做以下假设。我们将长期运行定义为该滑块在稳定状态下退休的时间。短期是指经济受到暂时干扰的时期，它由ret=res来调整。此冲击以概率(1-μ)恢复到稳定状态。家庭想要节省的重新组合的负面实现，因此实际利率必须下降以保持产出不变。一般来说，它可以被解释为支出下降的任何外生原因。Eggertson(2011)建议，例如，它可以被认为是借款人违约概率的外生增加，这是银行危机的特征。正如在Eggertson(2011)中，我们假设政策与冲击不完全相关，也就是说，我们认为政府债务的增加/减少是对冲击的直接反应，因此短期内bt=bs，长期内bt=0（意味着长期Btis回到稳定状态）。这里我们还隐含地假设，对于给定的政府债务变化，政府支出在稳定状态下保持不变，所有的调整都是通过税收的变化进行的。关于一个通用变量xt（偏离其稳定状态）的预期如下:etxt+1=μEstxst+1+(1-μ)0=μEstxst+1，(30)，其中S代表“短期”。

表示法EStis用作变量xt+1的期望值，条件是激波处于短期状态。因此，xst+1是xt+1的值，条件是短期运行状态。当系统回到稳态时，该变量等于其稳态值，因此与稳态的偏差为零。这适用于模型中的所有变量，模型可以通过标准方法求解，如undeterminedcoe-cients方法。该模型的解可以确定政府支出和债务的倍数的代数表达式。注意，长期解意味着πT，Yt，δT，和它保持在它们的稳定状态，因此它们在对数偏差中为零。4.2正利率在本节中，我们分析利率为正时债务的增加。在这种情况下，astandard Taylor规则描述了货币政策：对冲击的负面认识会再次促使中央银行做出反应，降低名义利率，以抵消产出和消费的下降。然而，名义利率仍然为正，因为冲击太小，无法激活ZLB限制。我们假设政府支出在稳定状态下保持不变。在短期内，税收会调整（减少）以满足政府预算约束，这意味着债务水平为正（高于稳定状态）。考虑到预期形成的方式，当冲击发生变化时，人们隐含地假设债务必须回到其初始稳定状态水平。否则，稳定态将从初始态偏离，这与（30）不一致。同样，这种调整是通过增加税收来进行的。影响政府债务乘数为:BM=[β(1+r)-1][1-(1+r)-1μ][β(1+r)(1+φy)-μ][1-(1+r)-1μ]+β(1+r)κ(φπTM)。（31）请注意，假定0<μ<1和β(1+r)>1，如果φπ-μ>0，政府债务增加的e-ect总是正的，这很可能发生在标准模型中，其中theTaylor原理(φπ>1)成立。在减税的情况下，债务的增加超过了总需求，刺激了生产。私人消费实际上增加了，因为IN OLG框架的代理人将经历一个积极的财富等，因为他们可能死了，因为他们将向上调整。因此，由于名义上的僵化，消费的增长意味着更高的需求，进而意味着更高的产出。劳动力需求向上转移，因为那些由于名义上的僵化而不能调整价格的部门生产更多来应对不断增长的需求。正向财富刺激家庭消费的同时，也减少了劳动力供给。尽管劳动力供给发生了变化，但净E和ECT对产出却是正的。注意，在ILRA的情况下，私人消费将不会做出反应，因为李嘉图等价性成立。实际上，图3中的蓝色实线表明债务乘数依赖于存活q的概率，当q=1时，它等于零。乘数以dys/dbs计算，其中ys/bss都偏离了它们的稳定状态。因此，债务增加1%导致输出增加Bm%。在图3和图4中，处于短期状态的概率μ被设置为0.4。其余参数为0.9 0.95 1q00.0050.010.015债务乘数、对数对数正态时间zlb0.9 0.95 1q00.10.20.30.4债务乘数、GHHNormal时间zlb图3：存活率值的债务乘数。注：基线校准的分析乘数，见表1。然而，乘数低于1，即债务对输出的影响小于正比，因为μ<1和φπ-μ>0。而且，当货币政策对产出(φy)和产出(φπ)的响应较强时，乘数较低。

这是非常直观的，因为债务的增加会导致产出和产出的增加，然后货币政策对它们的反应越多，债务乘数就越低。遵循泰勒规则的货币政策反应部分地挤出了债务增加的扩张性，货币政策越鹰派。最后，但并非最不重要的是，债务乘数取决于r，因此它取决于债务的价值。这个结果在文献中被忽略了，它自然地出现在一个OLG框架中，它适用于任何参数乘数，不仅仅是债务乘数。蓝色实线Infigure4显示债务乘数随着债务水平的增加而增加。从（10）导出的（24）的RHS是r的递增函数，因此bts变化的e值随着债务与GDP比率的水平而增加。这个通道的直觉来自于这样一个事实，即在OLG框架中，代理在其生命期内正在储蓄。事实上，正如前面所解释的那样，这个coe-cient in（24）是正的，因为条件（29）成立。债务水平的暂时增加决定了实际利益的暂时增加。根据(4)，代理人是储蓄的，因为稳定状态的实际利率根据表1进行了更大的校准。然后是主观贴现率。然而，实际利率的给定边际增长将决定储蓄的较低反应（和当前消费的较高反应），实际利率的起始（稳定状态）水平越高，因为边际效用在减少。换句话说，稳定的实际利率越高，个人消费的增长率就越高，因此连续两个时期之间的边际效用之间的距离也就越高。因此，对于给定的实际利率的暂时变化，由于债务水平的增加，代理人将把正财富分配给当前消费，而不是储蓄。对于正利率下的ILRA模型来说，政府债务的乘数为零。事实上，在这种情况下，(1+r=β)，李嘉图等价成立，政府债务在刺激需求方面发挥了诺尔作用。0 50 100 150 200债务对GDP00.0050.010.015债务乘数，对数对数正态时间zlb0 50 100 150 200债务对GDP00.020.040.06债务乘数，对数正态时间zlb4：债务对GDP比率的直接值的债务乘数。注：基线校准的分析乘数。4.2.1 GHH偏好我们用GHH偏好特征的模型做同样的练习。方程（24）和（25）变为:θetyt+1=β(1+rgh)θyt+β(1+rgh)ζ(it-etπt+1)(32)+etgt+1-β(1+rgh)gt-[β(1+rgh)-1]ζbt-β(1+rgh)ζret+[β(1+rgh)-1]ζetδt+1,πt=(1+r)-1 etπt+1+κghhyt,（33）其中κgh=(1-α)[α-1-(1+r)-1](1-θ+θ/σ)-1εσ-1和ζ=1-σ/ε(1-1/θ)>1。稳定状态实际利率和债务与国内生产总值比率之间的关系变化，现在等于:[rghh=β“q[εθ-σ(θ-1)]q[εθ-σ(θ-1)]-εθ(1-q)(1/β-q)乘#-1，（34）虽然债务乘数为:BMGHH=[1-(1+.RGHH)-1μ][β(1+.RGHH)-1]ζθHβ(1+.RGHH)1+θζφyTMI[1-(1+.RGHH)-1μ]+β(1+.RGHH)κGH(φπTM)。（35）同样在这种情况下，我们可以用数字证明乘数的大小低于参数可感知校准的一个值。图3和图4显示，在表1的基准校准下，GHH首选项下的乘数高于基准对数实用首选项下的乘数。这是由于时间和消费之间的互补性，在GHH偏好下，由于没有财富等，时间和消费之间的互补性更高。在基准偏好下，由于债务增加而导致的财富增加导致家庭消费增加而工作减少：劳动供给曲线发生偏移，从而减缓了经济增长的增加。

如果家庭有GHHpreferences,那么劳动力供给中的财富e和ect就不存在，因此劳动力供给时间表iSuna就出现了，导致工时、消费和产出的更大增长。Monacelli和Perotti(2008)和Bilbiie(2011)在一个正利率模型中详细描述了这一机制。克里斯蒂亚诺等人。（2011）也发现了这个结果。4.3零利率我们现在把注意力转向零下限约束具有约束力的情况。对于足够大的激波ret的实现，精确地当ret<-(φππt+φyyt)时，就会发生这种情况，这意味着:IT=0。（36）我们在正利率下进行了相同的试验。对于标杆模式，ZF债务的乘数调整如下:BMZLB=[β(1+r)-1][1-(1+r)-1μ][β(1+r)-1μ][1-(1+r)-1μ]-β(1+r)κμ(37)乘数为正，如果:[β(1+r)-μ][β(1+r)-1μ-β(1+r)κμ>0注意，此条件主要取决于冲击的持久性。在GHH偏好下，我们得到以下零下限乘数:BMZLBGHH=[1-(1+.RGHH)-1μ][β(1+.RGHH)-1μ][1-(1+.RGHH)-1μ][β(1+.RGH)-μ]ζθ-μβ(1+.RGHH)κGHH(38)文献有力地证明，在ZLB下，乘数高于低正利率。我们的结果也不例外，因为这也适用于OLG上下文中的debtmultipliers对两种首选项的指定。虽然图4以数字形式显示了我们的基准校准，但很容易以分析方式显示。在benchmarkpreferences下，债务乘数在ZLB下高于NominalRate为正时的条件是:[β(1+r)(1+φy)TM][β(1+r)TM1μ+β(1+r)κ(φπTM)>[β(1+r)TM1μ-β(1+r)κμ，(39)始终保持φy>0和φπ>μ。类似地，对于GHH偏好，相应的条件是:①1-(1+rghh)-1μ[β(1+rghh)-μ]ζθ-μβ(1+rgh)1+θζφy-μ[1+rgh)-1μ+β(1+rgh)κgh(φπ-μ)，(40)总是满足于φy>0、θ、ζ>1和φπ>μ.直观地说，货币政策在ZLB下没有反应，因此没有部分挤出总需求的初始增长。正如Eggertson(2011)所示，当名义利率为零时，AD曲线会从宏观经济教科书中的itis标准向下倾斜转向向上倾斜，这是因为中央银行不会在加息时设置操作压力。在这种情况下，较高的利率意味着较高的实际利率，从而意味着较高的需求。这就是为什么在ZLB限制下，乘法系数更大的原因。4.4确定性性质和乘法系数。对于所考虑的两个模型，平衡的确定性性质都非常依赖于参数μ，即在此之后保持在稳态之外的概率。一般说来，在正利率和零利率以及在两种偏好下，确定性条件都对应于乘数为正的条件。需要注意的是，对于正利率下的两种偏好，如果泰勒原理成立，确定性条件总是满足的。benchmark模型和GHH偏好的条件分别为:μ+β(1+r)(1+φy+κφπ)-(1+r)[β(1+φy+κ(1+r))+1]μ>0,(41)μ+β(1+rgh)θζθ+φy+κφπ-(1+rgh)βθζθ+φy+κgh+1μ>0。（42）经过一定的代数，可以证明BM和BMGHH的分母是正的，条件（41）和（42）分别成立。

而且，假设BM和BMGHHAL的分子总是正的，这也对应于债务的乘数为正，这意味着债务的增加导致产出的增加（反之亦然）。有趣的是，在零利率下，确定性条件再次对应于乘数为正的条件，但在这种情况下，它们并不适合于μ的所有值。在本例中，基准模型和GHH优先级的确定条件分别为:μ-(1+r){β[1+κ(1+r)]+1}μ+β(1+r)>0(43)μ-(1+rgh)βθζθ+(1+rgh)κgh+1μ+β(1+rgh)>0。（44）给定一个标准校准（见表1)，在基准模型下，确定性条件为μ6 0.70。对于这些μ值，定义变量和输出之间的正关系是确定的。在GHHPreferences下，μs的这种条件甚至更严格：对于相同的校准，在这种情况下，μs应为6 0.58，以确定系统。同样，这个条件也证明了乘数是正的。4.5政府支出乘数尽管不是本文的主要焦点，但我们在这里报告了政府支出乘数。这些乘数是指在平衡预算的情况下政府支出的变化，加上税收的一对一变化，并保持公共债务不变。在基准情况下，政府支出乘数为:GSM=[β(1+r)TM][1-(1+r)TM1μ]+β(1+r)κ(1-L)σ(φπTM)[β(1+r)(1+φy)TM][1-(1+r)TM1μ]+β(1+r)κ(φπTM)。（45）这个表达式中的分子高于（31）中的分子，因此支出的乘数高于债务的乘数。这一结果与最近关于支出和税收乘数的文献一致（例如，Eggertson，2011；Devereux，2011；Christiano et al.，2011)。然而，这些都是非常直接的政策措施，所以比较没有真正的意义。在政府支出的情况下，财富e和ect是负数，因为政府将不得不支付更高的税收。私人消费将收缩，但小于增长。乘数被计算为dys/dgs。记住GT=GTY，因为Gtis的稳态假设为零。因此，相对于稳定状态下的产出，支出增加1%，导致产出增加GSM%。我们使用系统（24）-（27）计算乘数，因此这意味着税收对内生地调整政府支出的变化，以保持不变。因此，没有来自后期政府支出的额外支出，因此总需求增加。价格刚性的存在也意味着劳动力需求的转移，因为一些企业将无法调整价格，因此需要增加产量来满足更高的需求（参见Monacelli和Perotti，2008)。此外，负财富导致劳动力供给增加。在GHH情况下，政府支出乘数为:GSMGHH=[1-(1+rGHH)-1μ][β(1+rGHH)-μ]ζθHβ(1+rGHH)1+θθy-μi[1-(1+rGHH)-1μ]+β(1+rGHH)κGH(φπ-μ)，(46)大于债务乘数，如ζ>1和∑<1。关于ZLB，根据文献，我们的框架在ZLB下产生的政府支出乘数大于在两种偏好情况下的正利率下产生的政府支出乘数。

对于基准情况和GHH情况，分别为:GSMZLB=[β(1+r)TM][1-(1+r)-1μ]-β(1+r)k(1-L)σ[β(1+r)-1μ][1-(1+r)-1μ]-β(1+r)kμ(47)GSMZLBGHH=[1-(1+)RGHH)-1μ][β(1+1)RGHH)-1μ][β(1+1)RGHH)-1μ][β(1+1)RGHH)-1μ][β(1+1)RGHH)-μ]-μβ(1+1)RGHH)-1μ][β(1+1)RGHH)-1μ][β(1+1)RGHH)-1μ]-我们可以从分析上证明，对于GHH偏好模型，债务乘数低于支出乘数（当μ<1和ζ>1)，而对于基准模型，这在数字上适用于标准校准。5组合乘数的大小和组合成本在上一节中，我们在OLG框架中提供了关于债务（和ZF支出）乘数的分析结果。在本节中，我们对模型进行了数值模拟，并在ZLB上进行了正利率的模拟。我们的目的是双重的。首先，我们想量化与一次总付税削减相关的乘数的大小，它提高了债务水平。税收和李嘉图等值的失败。在这方面，乘数应该与Ilramodel中的乘数相同。然而，我们的OLG框架中的乘数比ILRA框架中的乘数大，因为总的实际利率高于1/β，如4.1.1节所解释的。其次，我们希望阐明在流动性陷阱期间这种干预的具体情况，重点是初始债务水平的作用。此外，Lind\'e和Trabandt(2018)表明，使用DSGE模型的非线性解计算的乘数可能比与线性解相关的乘数小得多，尤其是在非线性最重要的ZLB事件中。因此，为了检验我们在线性化模型中的分析结果在非线性情况下仍然定性成立，我们以其原始非线性形式模拟了我们的OLG模型。结构参数的校准在表1中报告。我们采用标准季度值，遵循本文中最近的文献。为了确定劳动的非功利性参数η，我们假设人们大约有三分之一的时间用于工作，因此在稳定状态下工作时间为0.3。这种校准确保了输出的非随机稳态水平是唯一的，并且与债务规模无关。商品之间的替代弹性为6，相当于边际成本上涨20%。假设规模收益不变，即σ等于1。保持价格稳定的卡尔沃概率α被设定为0.75，这意味着价格的平均持续时间为一年。对于货币政策，假设波动目标为零，设定φπ=2，这样泰勒原理就成立了。名义利率对产出的响应φy，设为0.125。为了标定主观贴现因子(β)和生存概率(q)，我们利用稳态下债务水平与实际利率之间的关系。图2在数据中说明了这种关系，而方程（28）和（34）在模型中描述了这种关系。因此，我们选择β和q的值，使关系式（28）和（34）与经验反式密切匹配。结果，β在两种偏好下都等于0.998，而q在对数-对数偏好下等于0.9512，在GHH偏好下等于0.9785。这意味着，在DI-Entered Erent类型的偏好下，家庭在其规划决策中的DI-Entert时间范围分别约为4年和12年。请注意，这些值比OLG文献中通常假设的值要高得多。因此，我们在选择q时相当保守，将模型推向ILRA的情况，并交付小的债务乘数。我们将进行精确的研究，即当债务与GDP之比分别等于60%和100%时，(28)和（34）所示的利率与图2所示的值相同。

请注意，(28)和（34）中的r和b/y之间的关系在我们考虑的范围内几乎是线性的。Sgherri和Bayoumi(2006)估计q的值在0.8和0.88之间。Castelnuovo和Nistic`O(2010)估计在0.82到0.92之间，后验模式为0.87。这些值低于我们在这里考虑的值，更普遍地低于模型中通常假设的值，其中q是根据人口统计学校准的。乘数如何随q变化。我们最初将债务与本地生产总值的比率定为每年60%（即每季度2.4%），与欧元区的参考值一致。在第5.1节中，我们将讨论债务负担增加的影响。参数标定参数值描述β0.998跨期折扣因子q0.9512生存概率，对数-对数偏好0.9785生存概率GHH偏好θ6商品间替代弹性ε2反向劳动供给弹性（仅限GHH偏好）α0.75卡尔沃价格粘性σ1劳动产出弹性φπ2泰勒规则对产出的反应φY0.125泰勒规则对产出的反应B/Y2.4债务与国内生产总值比率（年化为60%）模拟练习与我们在论文分析部分研究的模拟练习相似，基于两个主要因素：一种偏好冲击，模仿经济衰退，在衰退开始时由债务增加（即减税）所带来的刺激。更准确地说，我们从稳定状态出发，假设对intertemporaldiscount因子的持续冲击打击了经济，并使其陷入持续两年的衰退（即在我们的季度校准中为8个周期）。政府对此立即做出反应，通过一次性减税来增加债务水平。债务的增加可以是暂时的，也可以是永久的。在这种情况下，债务在整个衰退期间一直保持在新平台上，直到第9期的增税恢复了最初的债务水平。第二，债务被永久地固定在新的水平上。请注意，在这两种情况下，在初始阶段之后，固定计划被认为是可信的，并且被私人代理完全预期。此外，通过改变偏好冲击的大小，我们能够再现两种情况，一种是利率保持在零以上的轻度衰退情况，另一种是启动ZLB的严重衰退情况。此外，我们同时考虑了基准和GHH偏好。在每次练习中，我们只运行一个带有偏好冲击的模型的基线模拟，然后我们运行第二个添加债务冲击的模拟。通过减去时间序列，如果债务的变化是永久性的，那么一旦偏好冲击被重新吸收，经济就会进入另一个稳定状态。新的稳定状态将有一个更高的债务与GDP的比率，并且，给出方程（28）和(34)，一个更高的实际利率。相反，产出水平是由劳动力供给决定的，并且保持不变。通过两个模拟，我们能够获得债务冲击后的脉冲响应和相关的债务乘数。图5显示了偏好冲击强到足以将经济带到ZLB的情况下的模拟结果。让我们考虑一下蓝色的实线，它们对应于log-log偏好下的基线模拟。在第1阶段，一个广告偏好冲击打击了经济并导致严重的衰退：产出下降4%，产出也下降，中央银行的反应是将名义利率降至零极限。请注意，在整个衰退期间，政府避免了任何干预，并将实际债务（加上利息）保持在稳定的水平。为此，税收被向上调整，以应对实际利率上升带来的更高的偿债成本。债务对GDP的比率也暂时上升，直到产出完全恢复。现在考虑一下fireScaleStruction的E级ECT。

蓝色虚线对应于一个模拟，即债务暂时增加了年产量的2%（或季度产量的8%），同时又推迟了纳税：最初的减税与衰退结束时的一次增税相结合。相对于基线模拟，该计划在消费上产生了正的财富，从而导致产出和操作的增加。然而，在基准首选项下，这些e安装的ects相当小。红线说明了当我们假设GHH偏好时，这些AME模拟的结果。如前所述，这一规定消除了消费增加时劳动力供给的抑制因素，从而增强了计划的扩张性。因此，产出在冲击下下降不到3.5%，这意味着它仍然比债务保持不变时的路径高出0.5%以上。模拟得出的债务乘数见表2。为了评估该计划的整体效果，我们同时考虑了影响乘数和当前价值乘数，后者是以衰退期间产出变化的现值除以债务变化的现值计算的。在这两种类型下，我们使用Dynare Version4.5.7（见Adjemian et al.，2011)对模型进行确定性模拟，其中确保了完美的前瞻性。我们选择偏好冲击的大小，以便产出在影响下下降4%。对于经济进入轻度衰退并保持在ZLB以上的情况，也可以得出类似的结论。继芒福德和乌利格（2009）之后，现值乘数的计算公式为：现值乘数(k)=PKJ=0QJI=0(1+RT+I)-1YT+JPKJ=0QJI=0(1+RT+I)-1BT+J.0 5 109 596979899100101Output0 5 10-8-6-4-202Invalation0 5 100 12345名义利率0 5 100 12345实际利率0 5 100 12345债务（加利息）0 5 106 066162636465债务对GDP0 5 10-50510Taxes0 5 10-1-0.500.51政府支出日志-日志实用程序，仅优惠冲击日志-日志实用程序，加财政计划GHH效用，仅有优惠冲击GHH效用，增加财政计划图5：对有或无政策干预的优惠冲击的脉冲响应。注：在波动和利率中以年化百分点表示。税收按季度产出的百分比表示。债务以占年度产出的百分比表示。在温和衰退的情况下，债务乘数可以忽略不计，但当严重衰退打击经济、货币政策受到ZLB约束时，债务乘数会大一两个数量级。在这种情况下，当政府实施刺激计划时，中央银行不会上调名义利率，因为需要更低的利率来对抗不利的偏好冲击。正如Eggertson(2011)所解释的那样，在ZLB，总需求曲线实际上是向上倾斜的--而不是标准理论中的向下倾斜--因为中央银行不考虑加息带来的融资压力。在这种情况下，更高的利率意味着更低的实际利率，意味着更高的需求，进而意味着更大的利率乘数。利率干预的有效性取决于货币政策的反应：当这种反应减弱时，债务乘数更大。但它们是否足够大，足以让人相信，在流动性陷阱期间，债务水平是一个相关的政策工具？我们的模拟表明，情况确实如此，但需要三个要素。其中两种方法涉及到当k=0时，现值乘数与影响乘数的重合。模型的结构由生存概率的大小和效用函数的形式给出。

当q变小时，模型的李嘉图变得越来越小，财富e和债务e起着更重要的作用，因此乘数被放大。此外，当家庭有GHH偏好而不是对数-对数偏好时，消费的增加不会降低劳动供给，这又有助于使乘数变大。第三个元素与规划的设计有关。债务的永久性增加会对产出产生更强烈的反应，因为代理人预计，在衰退结束时，初始减税不会恢复。如果我们将这三个因素结合起来--即将q设置为0.95，选择GHH偏好，并考虑债务的永久扩张--我们得到的债务乘数在影响下等于0.74，这一数字与最近文献报告的政府支出乘数估计值不远。如果我们只考虑暂时的债务扩张，相关的影响乘数降低到0.38，这可能被认为是一个小而不是不相关的值。注意，我们假设结构性刺激只缓解了由偏好冲击引起的产出下降，由于减税幅度太小，无法使经济回到积极的内部领域：只有当优惠冲击最终消失时，ZLB事件才会结束，如图5所示。表2还含蓄地说明了通过相反政策策划的结构性收缩的成本，即通过最初的税收上涨和随后的削减导致的公共债务暂时减少。主要信息是，就产出损失而言，通过政府债务暂时减少进行的结构性整合可能不会太高。然而，只有在劳动供给中存在财富（如log-logpreferences）并且ZLB不具有约束力的情况下，这种情况才是正确的。这一考虑再次强调了在严重衰退期间实施结构性整合的风险，当时央行无法减轻对产出和价格的负面影响。一个有限的限制在需求时有一个相反的ECT,这个ECT将被上面解释的机制放大。紧缩性的政策干预会导致衰退，当利率受到限制时，我们还试图尝试更大的政策冲击，在衰退结束前将经济推出ZLB。在这种情况下，乘数大约位于正常时间下获得的值和ZLB中的值之间的一半，如表2所示。由于模型是非线性的，与公共债务暂时减少相关的乘数可能与表2中报告的与债务增加相对应的乘数不同。然而，我们的模拟表明乘数只是略微不对称的，因此表2仍然有效地描述了收缩的e-ect。在零水平上，中央银行不能通过降低利率来抵消收缩。因此，实际利率会更高，导致需求更低。模拟债务乘数扩大的债务面板a。log-log preferencesTemporary change Performance Chemporary times ZLB正常时间ZLBImpactq=0.9512 0.0006 0.0189 0.0000 0.0387 q=0.95 0.0006 0.01990.000000 0.0407 q=0.96 0.0004 0.0128 0.0072 0.000000 0.0148 q=0.97 0.0002 0.0033 0.000000 0.0067 q=0.98 0.0001 0.00730.000000 0.00131 q=0.95 0.0011 0.00760.000000 0.0138 q=0.95 0.0011 0.00760.000000 0.0138 q=0.96 0.0011 0.00760.00760.000000 0.0049 0.000000 13 0.0000 0.0023 Q=0.99 0.0000 0.0003 0.0000 0.0006面板B。

GHH下的乘数preferencesTemporary变化永久变化Emporary times ZLB正常时间ZLBImpactq=0.9785 0.0004 0.0707 0.0000 0.1387 Q=0.95 0.0022 0.3766 0.0006 0.7439 Q=0.96 0.0013 0.2380 0.0003 0.4686 Q=0.97 0.0003 0.1359 0.0001 0.2672 Q=0.98 0.0003 0.0614 0.0000 0.1205 Q=0.99 0.0001 0.02300.0000 0.0328现值Q=0.9785 0.0013 0.02300.0000 0.0401 Q=0.95 0.0068 0.1257 0.0006 0.2216 Q=0.96 0.0044 0.0785 0.0003 0.1370.0000 77 Q=0.98 0.0011 0.0200 0.0000 0.0348 Q=0.99 0.0003 0.0054 0.00000 0.0094注：影响乘数是以产出的影响变化（仅由结构性冲击引起）与债务的影响变化之间的比率计算的。在临时债务计划中，债务在第1期增加，并在第9期结束时恢复到初始水平。在永久债务计划中，债务在第1期一次性增加。现值乘数是使用脚注20中的公式计算的，设置k=8.5.1债务乘数和债务水平。上一节我们讨论了当公共债务存量达到GDP的60%时，我们的模型所隐含的债务乘数的大小。一个自然的问题是，一旦我们考虑到债务的实际水平，特别是一旦我们提高稳定状态下的债务与国内生产总值的比率，以匹配2008年衰退后大多数工业化国家最近达到的值，以前的预测将如何改变。第4.2和4.3节的分析结果表明，无论是在正常时期还是在ZLB事件期间，模型线性化版本的乘数都直接取决于稳定状态下的实际利率。反过来，稳定状态下的实际利率取决于稳定状态下的债务与GDP的比率。给定我们的校准策略，图2也说明了关系式（28）和（34）。利率的隐含增长是明显的：当债务与GDP的比率从60%上升到200%时，年化稳定状态实际利率从1.62%上升到3.65%。因此，债务水平可能是债务乘数大小的一个关键变量。为了进一步研究债务乘数与债务水平之间的关系，我们进行了另一组模拟，在模拟中，我们发现偏好冲击的大小，并评估债务扩张对初始债务与GDP比率的影响。结果如图6所示，其中我们显示了在ZLB实施临时债务计划后经济的脉冲响应，并使用了log-log首选项。对偏好冲击进行了校正，当债务与GDP的比率为60%时，产出收缩4%。在这种情况下，名义利率在整个衰退期间都保持在ZLB。在右下角的Offigure6面板中，我们展示了债务变化与稳定状态下的年产出水平之间的比率，这在所有考虑的情况下都是一样的。对于60%的债务与GDP比率，债务乘数意味着0.0189（如表2）,计算为产出的影响增加（0.151%,按季度产出单位计算）和债务的影响变化（8%,按季度计算）之间的比率。对于112%的债务与GDP比率，经济仍然在影响上落入ZLB，但名义利率已经可以在第二阶段提高到零以上。直觉是，稳定的国家利率随着稳定的国家债务水平而增加。

因此，中央银行从更高的名义利率开始，对于给定的旋转目标，因此它有额外的空间来精确还原，蓝线表示将年化债务与国内生产总值的比率从60%暂时提高到62%，红线从112%增加到114%，黄线从150%增加到152%。0 2 4 6 8 10 120 0.050.10.10.155.2产出0 2 4 6 8 10 120 0.510.20.30.4通货膨胀0 2 4 6 8 10 120 0.511.522.533.5名义利率0 2 4 6 8 10 120 0.511.522.53债务（加上利息）债务/GDP=60%债务/GDP=112%债务/GDP=150%图6：对债务暂时增加的脉冲响应。注：产出的脉冲响应，在波动和债务对GDP中代表了偏好冲击和计划产生的序列与仅有偏好冲击产生的序列之间的关系。最初的刺激措施是减税，在1期将债务与GDP的比率提高2个百分点，随后在9期增税，将债务降至稳定状态水平。所有变量都用percentagePoints表示。名义利率和折算利率是按年计算的。在右下角的面板中，我们显示了债务变化和稳定状态下的年度产出水平之间的比率，并对比了不利的偏好冲击。由于不存在ZLB，货币政策可以部分地设定由干预所代表的正需求冲击，因此，与债务占GDP60%的情景相比，产出和产出的反应在很大程度上是无声的。当债务相当于GDP的150%时，中央银行可以将利率维持在零上限以上，财政刺激计划的扩张性更弱。隐含的债务乘数可以忽略不计。这里的主要结论是，稳定状态下的债务与GDP比率水平可以提供一种替代途径，使经济远离ZLB。文献中的一些论文（例如，Blanchard et al.，2010)建议提高稳定状态下的名义利率（对于给定的稳定状态下的实际利率），以提高稳定状态下的名义利率，以便在发生稳定状态冲击时为货币政策提供更大的回旋余地。这在文献中引发了一些争论（最近的一项调查见Ascari和Sbordone，2014)。在这里，我们发现了一个替代路线，基于这样一个事实，即在OLG模型中（以及在数据中），稳态实际利率是债务与GDP比率的递增函数。因此，债务与GDP比率的上升可以为货币政策提供更大的回旋余地，因为它通过在稳态实际利率（对于给定的稳态目标）中增加稳态名义利率来提高稳态名义利率。6结论本文分析了债务乘数，即在一个简单的OLG模型中，在主体表现出非李嘉图行为的情况下，ZF债务的临时变化对经济活动的影响。一次总付税的变化在未来完全逆转，创造的财富也会在消费和劳动选择中体现出来。人们可以考虑债务乘数作为到目前为止出现在文献中的乘数的补充，主要以ILRA框架为特色。债务乘数将是如果任何临时政策措施将通过公共债务的暂时增加（即推迟一次总付税）来实现，人们可以获得的额外乘数。我们表明，在OLG框架下，债务乘数是正的。至于文献中分析过的其他乘数，债务乘数在很大程度上取决于货币政策的立场，当利率停留在零界限时，债务乘数更大，随后的调整被推迟到衰退结束时。此外，债务乘数随着债务与GDP比率的增加而增加。

最后，我们指出，由于稳定状态下的实际利率是随着稳定状态下的债务与GDP比率水平而增加的，因此，债务与GDP比率的上升提供了一种远离ZLB的替代方法。参考文献S.Jemian,S.H.Bastani,F.Karam\'e,M.Juillard,J.Maih,F.Mihoubi,G.Perendia,J.普费弗，M.Ratto，和S.Villemot(2011):Dynare：参考手册第4版“DynareWorking Papers 1,Cepremap.ascari，G.and N.Rankin(2007):《永久年轻和内生劳动力供给：一个问题和可能的解决方案》，宏观经济学杂志，29，708-723。--(2013):《政府债务对需求管理的有效性：对货币政策规则的敏感性》，经济动力学和控制杂志，37，1544-1566。阿斯卡里，G.and A.M.Sbordone(2014):《波动趋势的宏观经济学》，经济文献杂志，52，679-739。奥尔巴赫，A.J.和Y.Gorodnichenko(2012):《衡量对FiscalPolicy的产出反应》，美国经济杂志：经济政策，4，1-27。--(2013):《衰退和扩张中的财政乘数》，见《金融危机后的财政政策》，编辑。A.Alesina和F.Giavazzi著，芝加哥大学出版社，第一章。2、63-98.比尔比，F.O.(2011):“不可分离的偏好，弗里施劳动力供给、和政府支出的消费乘数：财政政策难题的一个解决方案，“货币杂志，信贷银行，43.比尔比，F.O.，T.莫纳切利，和R.Perotti(2013):《经济杂志》称，“有借款限制的公共债务和再分配”，123、F64-F98布兰查德，O.,G.戴尔阿里西亚，和P.Mauro(2010):《重新思考宏观经济政策》，货币杂志，信贷和银行业务，42，199-215.布兰查德，O.J.(1985):“债务，需求，和有限的视野，“政治经济学杂志，93,223-247.布兰查德，O.J.和D.Leigh(2013):“增长预测错误和财政乘数”，《美国经济评论》，103，117-20.----（2014）：“从增长预测错误中找出财政乘数”，IMF经济评论，62，179-212.卡贾诺，G.E.卡斯特尔诺沃，V.科伦坡，和G.Nodari(2015):“估计Fiscalmultimiers：来自非线性世界的新闻”，《经济杂志》，125,746-776。卡尔沃，G.A.(1983):《效用最大化框架中的交错价格》，货币经济学杂志，12,383-398。Castelnuovo,E.和S.Nistic`O(2010):《美国DSGEmodel中的股票市场条件和货币政策》。《经济动态与控制杂志》，34,1700-1731。Christiano,L.,M.Eichenbaum和S.Rebelo（2011）：“政府支出乘数何时大？”《政治经济学杂志》，119,78-121。Devereux,M.B.(2011):《财政支出、债务和货币政策》流动性陷阱，《金融动荡下的货币政策》。作者：L.F.C.Espedes,R.Chang,D.Saravia,智利中央银行，卷。《中央银行、分析和经济政策丛书》第16章。10，369-410.Eggertson，G.B.(2011):“零利率下什么财政政策是有效的？”载《国家经济研究局，NBERMacroeconomics年鉴》2010年，第25卷，国家经济研究局，nberzhapps，59-112.Engen,E.M.和R.G.Hubbard(2004):《联邦政府债务和利率》，国家经济研究局，inNBER宏观经济学年鉴，第2卷。第19页，第83-160页。Fazzari，S.M.，J.Morley和I.Panovska(2015):“依赖国家的政策的e-ects”，《非线性动力学与计量经济学研究》，19，285-315页。Gale，W.G.和P.R.Orszag（2005）：“投资、利率和资本的用户成本：关于投资税收政策e-ects的考虑”，《国家税务杂志》，58，409-426页。Giambattista，E.和S.Pennings(2017):“政府转移乘数何时大？”《欧洲经济评论》，100，525-543页。Greenwood，J.，Z.Hercowitz和G.W.和真实的商业周期，“美国经济评论，78,402-417。

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