通过L的凸性，(-∞上q→-f(q-q)的凸性，q]和q→(Q-a)的严格凸性，我们有I(q)<I(q)+I(q)，这与q和q的最优性相矛盾。步骤3：解的存在性来自于[8]中的定理6.1.2,在这里我们给出了验证三个必要条件的内理3.2。我们将q*刻画为与优化问题相关的哈密顿系统的解。函数是不凸的，因此不能应用[25]和[26]的经典结果。由于最优解q*必须验证q*≤q，我们修改问题并引入~F(q):=F(q)1q≥0-∞1q<0。然后，我们将扩展实值函数中的关联函数~_2on[0,T]×R×R定义为:~~(T，q，v):=vtl vvt-qvtqt～f(q-q)+γσqqq-1-qtqt。然后，使用定理3.1，我们清楚地看到问题（3.2）与问题相同:infv∈adetztvtl vtvt dt-qztvtqt～f(q-qt)dt+γσqzt qtq-1-qtqt dt，(3.5)，其中一个问题的最优策略也是另一个问题的最优策略。为了解决这个问题，我们使用在[25]和[26]中发展的技术。~(T，·，·)确实是凸函数，取值于Rü{+∞}。我们注意到文[25]中所列举的条件(B)、(C)和(D)，在V·和L的假设下也得到了充分的证明。我们现在引入了L的Legendre变换，它被H(p)=supρ∈Rρp-L(ρ)所取代。SinceL是严格凸的，H是一个函数。利用这个Legendre变换，我们得到了Q*的如下刻画：命题3.1(Hamiltonian s ystem）。对于q∈ACq，0(0,T）,我们在以下两种情况下是等价的:(i)q=q*；(ii)存在p∈AC(0,T）使得对于所有T∈[0，T]:(πp(T)=γσq(T)–q1–qtqt+qVtQTf(q–q(T)))q(T)=vth\'(p(T))q(0)=q，q(T)=0。证明:system的哈密顿量为:H(T，q，p):=VtH(p)+qvtqt～f(q-q)-γσqqq-1-qtqt。[25]中定理6给出的q*的特征及其推论是:q(T)∈-pH(T，q(T)，p(T))πp(T)∈-q(-H)(T，q(T)，p(T))，其中-代表子函数。给定H的表达式，只有-q(-H)(T，q(T)，p(T))可能不是实数的单数，当q（q）时，q(T))(T，q(T)，p(T))可能不是实数的单数T)=q。如果limx→0+f(x)为整数，则通过直接计算得到命题中给出的表达式。若limx→0+f(x)=+∞,则-q(-h)(t,q,p(t))={+∞},且命题中的表达式是正确的，当q(t)=q时，给出了p(t)=+∞。这个哈密顿刻划允许得到最优策略推论3.1的正则性结果。若V·是连续的，则q∈C([0,T])证明：L是严格凸的，H是C，其结果是方程q(T)=vth′(p(T))的一个结果。注3.1。即使w hen v·是光滑的，甚至是常数，q*也可能不是C，这一点非常重要，因为大多数研究都使用经典意义上的Euler-Lagrange方程，其基本假设是策略是C，我们以确定性策略的最优性来结束这一节。这一结果在[27]执行短缺(IS)清算策略的情况下得到了证明。我们在VWAP清算策略中使用了相同的方法。定理3.2。假设V·是确定性的，然后:SUPV∈ADETE[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=SUPV∈AE[-exp(-γ(xt-qvwapt))].证明：让我们考虑v∈a。我们有:E[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=-expγzqf(z)dz×e expγzt vtl vtvt-qvqtf(q-qt)dt×exp-γzt vtl vtvt-qtqtt dwt。然后我们通过:dqdp:=exp-γσqzt qtqt Q^aqt^aqtqt dwt^aγQσzt qtq^aqt^aqtqt dt！.因为v∈a=yenQ∈L∞(Ω×(0,我们观察到dqdp确实是一个概率的变化，于是我们有:e[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=-expγzqf(z)dz eq[exp(γI(q))].现在，p-a.s.，q(ω)∈ACq，0(0，T)使得p-a.s.，I(q(ω))≥I(q*)。

这给出:E[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=-expγzqf(z)dz eq[exp(γi(q)))]≤-expγzqf(z)dz exp(γi(q^)))=s upv∈adete[-exp(-γ(xt-qvwapt))]。因此:supv∈AE[-exp(-γ(xt-qvwapt))][-exp(-γ(xt-qvwapt))][-exp(xt-qvwapt))]≤supv∈adete[-exp(-γ(xt-qvwapt))]，由于逆不等式成立上述结果表明，tatsupv∈AE[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=-exp-γ-zqf(z)dz-i(q*)。因此，保证VWAP的溢价由以下定理给出：定理3.3（保证VWAP的溢价）。π(q)=zqf(z)dz+I(q*)4个例子和数字。我们现在转向可以得到封闭形式表达式的具体情况。4.1没有永久市场冲击的VWAP策略在确定性框架内，有趣的情况是没有永久市场冲击的情况（即f=0)。在这种情况下，我们确实认为最优策略是跟随市场成交量曲线。这在下一个命题：命题4.1中得到了说明。如果f=0，则:q*(t)=q1-qtqt和π(q)=qtl qqt证明：虽然可以直接用I上的Jensen不等式来证明，但我们用命题3.1的哈密顿系统来证明结果。考虑由q(t)=q1-qtqt定义的函数q和一个常数函数p使得p(t)∈L-qqt，我们得到了-qqt=h\'(p(t))=-qvtqt=vth\'(p(t))同样，直截了当地:p(t)=0=γσq(t)-q1-qtqt这证明了q=q㎡，因此是结果的一部分。来到溢价，我们得到了:π(q)=zqf(z)dz+I(q^)=ztvtl-qqt dt=qtl qqt。结果是:π(q)=zqf(z)dz+I(q^)=ztvtl-qqt上述主张值得商榷。它指出，在没有永久性市场冲击的情况下，最优策略是有一条具有这种形状的交易曲线作为相对市场成交量曲线。一个结果是，在实践中，就交易策略而言，当永久的市场影响可以被忽略（或被忽略）时，人们感兴趣的是相对市场交易量曲线的估计，而不是市场交易量绝对值的估计。这句话特别重要，它说明了为什么确定性的市场交易量假设为VWAP交易提供了一个相当可接受的近似真实情况的模仿。虽然一天的总交易量是高度可变的，但我们知道相对市场交易量曲线从一天到另一天是稳定的（除了在特定的日子）。由于累积成交量QTT仅通过比率QTQT来显示执行策略，因此，如果我们已经假定相对市场成交量曲线是确定性的，那么考虑其随机性就不起任何作用。由于这一溢价必须在时间t=0时决定，所以Qt的值必须是在时间0时对[0,t]期间市场总量的预测。上述说明只适用于没有永久市场影响的情况，但如果我们通过引入一个小的永久市场影响而略微偏离，那么确定性市场总量的假设是可以接受的。现在，我们的目标是在这个框架中了解永久市场影响的严重性，和相关偏差的性质在实践中，大多数机构使用根据历史数据预先计算的相对市场成交量曲线。我们在这里忽略了相对市场成交量曲线中的最优策略的部分风险。4.2当VT=V、f=k和L(ρ)=ηρ时的VWAP策略。我们现在探索，对于交易成交量曲线，执行成本是二次型的，即L(ρ)=ηρ，而永久市场影响是线性的，即f=k∈R+，正如最初的Almgren-Chriss框架中的情况。假定vt=V，f=k≥0，L(ρ)=ηρ.我们有:qπ(t)=q1-tt-qw(t)，和π(q)=ηvtq+qztηvw′(t)-ktw(t)+γσw(t)dt，其中w(t)=kγσtsinhsγσv2ηt！“tanhsγσv2ηt！-tanhsγσv2ηt！证明：我们看到H(p)=p4η。

那么，利用命题3.1，我们得到:(πp(t)=γσq(t)-q1-tt)+kqtπq(t)=v2ηp(t)q(0)=q,q(T)=0。这导致:-q(T)=γσv2ηq(T)-q1-tt+kqv2ηT，q(0)=0，q(T)=0。因此，最优策略为:q(t)=q1-tt-kqγσt+αsinhsγσv2ηt！+βcoshsγσv2ηt！初始和结束条件意味着:α=kqγσtsinh qγσv2ηt1-coshsγσv2ηt！β=kqγσt我们得到:q＇(t)=q1-tt-kqγσt1-coshsγσv2ηt！！+kqγσtsinh qγσv2ηt1-coshsγσv2ηt！！由于1-cosh(x)sinh(x)=-tanh(x/2),我们得到:q＇(t)=q1-tt-kγσtqsinhsγσv2ηt！“tanhsγσv2ηt！Ztηv^q^(t)-ktq(q-q^(t))+γσq^(t)-q1-tt！dt=kq+ztηv qt+qw′(t)-ktq qtt+qw(t)+γσqw(t)dt=ηv tq+ztηvqw′(t)-ktq(t)+γσqw(t)dt=ηv tq+qqw′(t)+γσqw(t)dt=ηv tq+qztηvw′(t)-ktw′(t)+γσqw(t)dt=ηv我们确实有w≥0，因此清算必须更快地发生，加上永久的市场影响。这一点的基本原理是，中介将向客户支付QVWAPT，因此他有动机迅速出售，这样价格就会下降，从而导致更低的VWAP。如果k很大，optimalstrategy甚至可能是在回购股票之前超额出售，以降低VWAP的价值（见下文）。关于保证VWA P的溢价，很容易看出，如果q(t)=Q1-TT，溢价将等于ηV TQ。因此，由于使用最优策略q*而减少的保费由-qztηvw′(t)-ktw(t)+γσw(t)dt≥0给出。特别地，在极限情况γ=0下，对应于一个风险中性代理，我们得到了以下关于最优str ategy和保费的简单公式:q*(t)=q1-tt1-kv 4ηtπ(q)=ηv tq-kv t48ηq。图1给出了最优VWAP清算的几个例子。我们看到，考虑永久的市场影响是很重要的，因为最优交易曲线可能真的是从命题4.1.010.2 0.4 0.6 0.80.1 0.3 0.5 0.7S=50,Q=400000,V=4000000,σ=0.45,η=0.15,k=5×10-7,T=1天。平线:γ=3×10-6。点划线:γ=6×10-6。虚线对应于Q1-TT。理解这里的作用很重要。在给定的时间内，一个愿意在接近VWAP的aprice出售股票的代理人通常有两种可能性。他可能会打电话给他最喜欢的经纪人，要求一个代理VWAP订单。在这种情况下，经纪人将尝试出售股票尽可能接近VWAP，获得的价格将是代理的价格。换言之，风险由代理人承担。另一种可能性是签订一个有保证的VWAP合同。在这种情况下，代理获得的价格永远是VWAP。我们的观点是，代理人在有担保的VWAP合同中获得的VWAP与通过AgencyTrades平均获得的VWAP是不一样的。在有担保的VWAP合同中，对方有动机更快地出售，以压低价格，从而压低VWAP。这不是市场价格操纵，因为执行过程的整体影响与轨迹无关。然而，这是VWAP操纵的结果。代理受到伤害了吗？不知何故是的，尽管他得到了它的基准价格。然而，由于合同的对应方在执行过程开始时通过更快的销售来赚钱，他可以通过降低溢价来重新分配一部分。...为了衡量朴素策略qnaive(t)=q1-tt与最优策略之间的差异，最好的指标是一个有保证的VWAP合同的溢价π(q)。

我们选择了与图1相同的情况，即S=50,Q=400000,V=4000000,σ=0.45,η=0.15,k=5×10-7,T=1天，以及风险厌恶参数γ的两种情况。图1中的结果表明，如果朴素策略是u sed，一个有担保的VWAP合同的最小价格将是3 bps。然而，当在上述例子中使用最优策略时，中间人会在不支付保费的情况下接受该合同，因为premia的理论值实际上是负值。γ=3×10-6γ=6×10-6保费，qnaive3bps3bpsπ(q)qs-3.2bps-1.3bpsTable 1：在朴素策略和最优策略的情况下，担保VWAP合同的保费。一般说来，情况并非如此，我们在这里提出了一种近似哈密顿系统解的一般方法。重要的是要注意，当涉及数值时，使用哈密顿系统比使用欧拉-拉格朗日方程更好，因为问题仍然是1阶的。本文提出了一种近似模拟哈密顿系统在网格{0,τ,}上的解（p,q）的方法。.....T=jτ}是对下列非线性方程组应用牛顿法:(pj+1=pj+τγσqj+1-q1-qj+1qj+qvj+1qjf(q-qj+1)qj+1=qj+τvj+1h\'pj),0≤j<jq=q,Qj=0。更精确地说，我们考虑一个fifrirst偶(q，p)∈rj+1×rj+1，其中:q=q，qj=0,p=L\'vj+1qj+1-qjτ！,pj+1=pj+τγσqj+1-q1-qj+1qjf(q-qj+1),0≤j<j.通常，我们考虑qj=q1-qjqj给出。然后，为了从(qn，pn)到(qn+1，pn+1=pn+1，pn+1=pn+δpn+1，我们考虑以下方法:qn+1=qn+qn+1，pn+1=pn+δpn+1，其中δqn+1,δpn+1求解线性系统:δpn+1j+1=δpn+1j+τγσq-符号(q-qj+1)(q)vj+1qjf′(q-qj+1)δqn+1j+1=δqn+1j+τqvj+1h′(pnj)δpn+1j-qnj+1=δqn+1j+τqj+1h′(pnj)δqn+1j+1=0，δqn+1j=0。对于L(ρ)=ηρ1+φ，φ<1，线性的永久性市场影响。第二个对应于L(ρ)=ηρ1+φ，φ<1和非线性永久市场影响，形式为f(q)=kαqα-1，α∈(0,1）。0 10.2 0.4 0.6 0.80.1 0.3 0.5 0.7S=50,Q=400000,V=4000000,σ=0.45,L(ρ)=ηρ1+φ,η=0.12,φ=0.63,f=k=5×10-7,T=1天。平线:γ=3×10-6。虚线对应于Q1-TT0.0 10.2 0.4 0.6 0.80.1 0.3 0.5 0.7S=50,q=400000,V=4000000,σ=0.45,L(ρ)=ηρ1+φ,η=0.12,φ=0.63,f(q)=kαqα-1,k=2.2×10-4,α=0.6,T=1天。平线:γ=3×10-6。虚线对应于q1-tt.5。在本文前面的部分中，我们重点讨论了确定性VolumeCurve的情况。原因是双重的。首先，它允许理解永久性市场影响在一个可处理的案件中所起的作用。其次，它与VWAPstrategies在实践中经常构建的方式相对应，我们在上面解释了为什么它是一个很好的近似。从业者通常根据历史数据计算相对市场交易量曲线，并试图遵循该曲线得到尽可能接近VWAP的价格。我们现在探讨随机市场交易量的情况。本节的目的是提供一个Hamilton-Jacobi-Bellman PDE来描述最优清算策略（这不再是确定性的，因此不再是提前决定的交易曲线，在时间0）和有担保的VWAP合约的溢价。

Frei和Westray[12]在均值变量问题中采用了类似的方法，即随机最优控制。然而，在他们的论文中，最初的计算方法增加了对实际体积的认识，这使得他们的方法可以用于实际应用。在实践中，在特定的日子里有特定的相对体积曲线。在我们考虑的模型中，瞬时交易量是用一个简单的随机过程来建模的，但它可以推广到其他过程。事实上，我们的主要目标是用尽可能少的变量写出Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程来刻画我们问题的解。如果考虑我们的随机市场交易量问题的初始形式，则需要7个变量来描述这个问题：时间t，交易者的库存q，资产市场价格S，现金账户X，瞬时市场交易量v，累积市场交易量q，以及一个与VWAP相关的变量，命名为rtvssssds。通过两个变量的变化，我们设法将变量的数量限制在5。经典的数值方法(PDE)可能无法逼近PDE的解，但一些概率方法可能是E（见[13]关于高维问题的鲁棒方法）。在模型中，我们考虑瞬时交易量由Vt=g(t)Eαbt-αt/2给出，其中g是C(R,R*+),B是与W无关的布朗运动，其中α>0。然后V的动力学由随机的di方程给出:dVTVt=g′(t)g(t)dt+αdbt。g(t)明显地代表了在t时刻的平均瞬时交易量。在欧洲，它是一条W形曲线，峰值对应于美国市场的开市。可以考虑其他动态。最后一节的目标不是考虑体积的最佳m模型，而是展示如何通过变量的变化来降低模型的复杂性。为了考虑一个非退化问题（人们可以选择使用stochastictarget框架），我们考虑一个稍微修改的问题，其中qTis不强制等于0。而不是强加qt=0，我们认为，在时间T，剩余的股票不是按价格St，而是按价格St-KQT进行清算，其中K被选为正值，并且足够高，足以阻止交易者在时间T保持大量头寸。在这个稍微修改的框架中，通过与第2.2节类似的计算，我们得到以下结果:xvt-qvwapt+qtst-kqt=-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+qZTVtQTF（q-qt）dt+σqzt qtqq-1-qtqt dwt+zqtf(z)dz-qtf（q-qt）-kqt。数学上，它对应于在时间T处的惩罚形式为h(q)=-Rqf(z)dz+qf(q-q)+Kq，我们假定K>2lim supq→+∞f(q)q，对于所有t∈[0，我们定义了可容许策略集，T]by:bt:=v∈P(T,T）,ZTtvsds∈L∞。我们的问题是：SUPv∈Be[-exp(-γv(v))]，(5.1)其中:v(v)=-ztvtl vtvt dt+qztvtqtf(q-qt)dt+σqzt qtq-1-qtqt dwt-h(qT)。为了解决这个随机最优控制问题，我们现在引入两个过程～xvand～yv:d～Xt,x,vs=-vsl vsvs ds+(qs-q)σdws,s∈[T,T]，Xt，x，x，vs=-vsl vsvs ds T=x.d～yt，y，vs=VsqF(q-qs)ds+qsσqdws,s∈[T，T]，～yt，y，vt=y.对于任何T∈[0，T]，我们定义:u(T，x，y，q，q，v):=supv∈bte“-exp-γ～Xt，x，vt+～yt，y，vtqt-h(qT)！！#。（5.2）这是与（5.1）有关的动力学问题，我们观察到（5.1）对应于toU(0,0,0,q,0,V）。然后我们有以下定理5.1。U是一个粘性解:(-lu-supv∈r-vlvv-xu-vqu=0,on∈[0,T)×r×r+×r*+.U(T,x,y,q,q,V)=-exp-γx+yq-h(q),其中算子L i由:L:=T+(q-q)σx+qV F(q-q)y+qqσy+vg′(T)g(T)V+Vαvv定义。证明：可以直观地看出该值函数是局部有界的，其结果是通过随机控制技术经典地得到的。

所需的动态规划原理确实可以从文[24]所开发的装置中推导出来，并用文[7]得到了粘次解和超解，值得注意的是，我们设法从状态变量中去掉了代价S。我们现在使用变量的变化来移除x。为此，我们引入了~u(t，y，q，q，V)=eγxu(t，x，y，q，q，V)。那么我们有：推论5.1.～u是一个粘度溶液:(-～L～U-(Q-Q)σγ～U-SUPV∈RγVLVV～U-VQ～U=0，关于[0,T]×R×R+×R*+.~U(T,y,q,q,V)=-exp-γyq-h(q)。其中~l由:~l:=T+qV F(q-q)y+qqσy y+V q+vg′(T)g(T)V+Vαvv.证明：变量~U(T,y,q,q,V)=eγxu(T,x,y,q,q,V)=eγxu(T,x,y,q,q,V）的变化是单调增加的，结果是直接计算的。现在，我们要证明一个技术引理，以便说明U（或等价地~U)总是负的。引理5.1.对于任意(t，x，y，q，q，V)∈[0，t]×r×r+×r~+，我们有:u(t，x，y，q，q，V)<0。证明：让我们考虑(t，x，y，q，q，V)∈[0，t]×r×r+×r~+，V∈BT。我们有Jensen不等式：e“-exp-γ～xt，x，vt+～yt，y，vtqt-h(qT)！！#≤-exp(-γev)，其中ev=e”～xt，x，vt+～yt，y，vtqt-h(qT)#=e x+yqt+σqztt qsq-qt-qst dws+ztt-vsl vsvs+vsqtqf(q-qs)ds-h(qT)。由于v∈Bt，我们有ehrttqsdwsi=0。通过与V和W无关，我们也有hrttqt-qsqtdwsi=0。因此:ev=x+e yqt+e ztt-vsl vsvs+vsqtqf（q-qs）ds-h(qT)。由于f在r+上不增加，存在一个常数C≥0，使得：k q∈R，F(q)≤C(1+q+)。现在，由于L是超线性的，存在B，使得:Δρ∈R，L(ρ)≥-B+Cqρ，其结果为:EV≤x+E YQT+E ZTT B-CQVS+VSQTCQ(1+(Q-QS)+)DS-H(qT)≤x+E YQT+BT+CQQ+VSQTCQ(Q-QS)+DS-H(qT)≤x+E YQT+BT+Cq+E Cq(Q-Q)+-h(qT)+E ZTT–Cqvs–CQQTVS DS≤x+BT+Cq+EQQ(Q-Q)+h(qT)+EZQT–Cqvs+CQQ+E[Cq(q-qt)+-h(qT)]。由于Cq(q-q)+-h(q)-→q→+∞-∞,我们得到了SUPV∈BTE[Cq(q-qt)+-h(qT)]<+∞。对市场交易量过程(Vt)的假设给出了EHQtis存在（且与v无关）。把这些不等式加在一起，我们得到:SUPv∈BTEV<+∞。因此，U(t,x,y,q,q,V)≤-exp-γsu pv∈BTEV<0。现在，由于~U从来不等于0，我们可以考虑变量~U(t,y,q,q,V):=-exp(γζ(t,y,q,q,V))的变化。变量的这种新变化并没有移除另一个变量，但它有两个相关的优点。首先，ζ与现金账户处于同一单位。因此，它在一个可以预先计算的范围内取值。当涉及到数字时，这一点尤其重要。其次，保证VWAP的溢价π(q)直接收缩为:π(q)=zqf(z)dz+ζ（0,0,q,0,结果表明，ζ是一个粘性解:(Lζ+(q-q)σγ-V H(qζ）=0,在[0,T)×R×R+上，ζ(T,y,q,q,V)=-Yq+H(q),其中H是L的勒让德变换，其中非线性算子LI由:L=T+V qF(q-q)y+qσqhγ(y)+y yi+V q+vg′(T)g(T)V+αvhγ(V)+V vi构成。结论：本文建立了一个模型，研究了在有保证的VWAP合约中，投资组合的最优清算策略。当有永久性的市场影响时，我们认为最好的策略不是复制VWAP，而是更快地出售以压低VWAP。在lso中，我们使用Indi withed Erence定价方法给出了担保VWAP合同的价格，我们表明，考虑永久市场影响至少在理论上允许大幅降低担保VWAP合同的价格。最后，在随机体积的情况下，我们建立了一个只有5个变量的新模型，而不是简单的7个变量的模型。附录a：VWAPTor VWAP\'T？在第二节中，我们讨论了vwapt:=rtstvtdtqt和VWAP\'T:=rtst(vt+vt)dtqt+q，在前一种情况下，我们排除了我们自己的体积，而在后一种情况下，我们包含了它，更接近于我们的概念。

事实上，在这两种情况下，由于股票价格的动态依赖于v,我们的交易量都有一个相对的关系。在本附录中，我们将证明，使用其中一种或另一种假设，并不会使函数f和σ发生变化。这实际上是下列建议的结果：第5.1号建议。对于任何v∈A,xt-qvwap\'t=-qtqt+qZqF(z)dz-ztvtl vtvt dt+qqtqt+qZTqtf(q-qt)dt+σqqtqt+qZT)dt=s+σqt+qZT(qt+qt-qt)dwt+qt+qZT(qt-qt)f(q-qt)vtdt-qt+qt+qt+qZT(qt-qt)ztqtf（q-qt）vtdt=s+σqt+qZT(qt+qt-qt)dwt-qt+qZTVtF（q-qt）dt-qt+qZTqtf（q-qt）vtdt，=s+σQt+qZT(Qt+qt-qt)dwt-qt+qZTVtF(q-qt)dt-qt+qZqF(z)dz-qt+qZqF(z)dz-ztqf(z)dz.由于我们得到了xt=qs-zqf(z)dz-ztqt+qztqt+qztqtqt(q-qt)dt+σqqtqt+qZT qtqq-1-qtqt dt上述命题表明，xt-qvwap实际上等于xt-qvwapt，它是用qtqt+qf代替f,用qtqt+qσ代替σ。因此，如果我们的交易量只占市场交易量的几个百分比，那么使用VWAP的一种或另一种识别并不能真正使ADI公司感到满意。阿尔斯奥，当市场成交量过程假设为确定性时，我们在本文中使用的simplemodel得出的结果可以在考虑到我们的体积时使用，如果我们应用正确的乘法因子。在随机体积的情况下，我们不改变波动率和Market影响的值，而是用新的调整滑动来调整动态问题(5.2)，我们得到了相同的PDE和一个不引起更高复杂度的di erent终端条件。附录B：保证VWAP合约的相对定价我们现在对于确定性体积曲线，研究了保证VWAP合约以VWAP的基点定价的情况。在这种情况下，代理必须将q(1-λ)V W aptts交付给他的客户，对于在时间t=0时决定的某个λ。利用第2节中的符号，我们现在面临着最大化问题:SUPV∈AE[-exp(-γ(xt-q(1-λ)VWAPT))]。（5.3）为了给合同定价，我们考虑λ*(q):=supλ∈(-∞,1）,supv∈AE[-exp(-γ(xt-q(1-λ)VWAPT))]≤-1给出λ*的值。我们可以像在第3节中那样将策略限制在确定性策略中，使用与第2节和第3节相同的方法，我们很容易地得到，在这个框架中，滑动是高斯的。下面的引理确实是引理3.1的等价：引理5.2。对于任意v∈Adet，xt-q(1-λ)VWAPTis通常与平均λqs-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+q(1-λ)ZTVtQTF(q-qt)dt和方差σqzt qtq-(1-λ)1-qtqt dt分开。对于λ≤1，然后，我们的目标是计算:H(λ):=SUPV∈ADETNλQS–ZQF(z)dz–ZTVTL VTVT DT+q(1-λ)ZTVtQTF(q–qt)DT-γσQZT QTQ–(1-λ)1–QTQT DTO。如第3节所示，与h(λ)相关的最大化问题清楚地归结为最小化问题:infv∈adetzt“vtl vtvt-q(1-λ)VtQTF(q-qt)+γσq qtq-(1-λ)1-qtqt#dt。(5.4)Jensen不等式给出了我们可以将自己限制在λ≤1。然后，将iλ:ACq，0(0,T)→R定义为:iλ(q):=ztπλ(T,q(T),q(T))dt，其中λ(T,q,v)):=vtl vvt-q(1-λ)VtQTF(q-q)+γσqq-(1-λ)1-qtqt，我们得到定理5.2（极大值的存在性、唯一性和哈密顿刻划）。在ACq，0(0,T）中存在唯一的最小化子qλ,*。

此外，对于所有t∈[0，我们有qλ，*(t)≤q，T]，和w e在以下两个断言之间是等价的:(i)q=qλ,*；(ii)存在p∈AC(0,T）使得对于所有T∈[0，T]:(πp(T)=γσq(T)-q(1-λ)1-qtqt+q(1-λ)VtQTf(q-q(T))πq(T)=vth\'(p(T))，其中q(0)=0和q(T)=0。这个证明与定理3.1和命题3.1的证明相似。我们现在用λ*:定理5.3（有保证的VWAP合同的溢价）的特征来结束这一节。λ*(q)=supλ≤1,h(λ)≤0,(5.5)其中h验证h(λ)=λqs-rqf(z)dz-iλ(qλ，*)。这个结果很简单利用定理5.2。为了从数值上计算λ*，我们需要计算函数h的值。这可以通过使用与第4节相同的数值方法对qλ*进行数值模拟来实现。参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss。清算中的价值。Risk,12（12）：61-63,1999.[2]R.Almgren和N.Chriss.投资组合交易的最优执行。Journal ofRisk,3:5-40,2001。[3]ASX,算法交易和市场准入安排，2010年2月。[4]J.Bialkowski,S.Darolles和G.Le Fol,改进VWAP战略：一个动态卷方法，银行和金融杂志，Elsevier,vol.32（9）,第17091722页，2008年9月。[5]J.Bialkowski,S.Darolles和G.Le Fol,如何降低执行VWAPOrders的风险？-日内成交量建模的新方法，2006年预印本[6]B.Bouchard和N.M.Dang,损失约束下定价和部分套期保值的广义随机目标问题--在最优账面清算中的应用，金融与随机，2013,17（1）,31-72.[7]B.Bouchard,N.Touzi,粘性解的弱动态规划原理。《控制与优化学报》，49,3,948-962,2011。[8]P.Cannarsa和C.Sinestrari。半洞穴函数，Hamilton-Jacobi方程和最优控制，第58卷。Birkhauser Boston,2004.R.Carmona.Indi incounted erence定价：理论与应用。普林斯顿大学出版社，2009。[10]R.Carmona和H.Li,动态规划与贸易执行，（Li.博士论文）2013。[11]W.H.弗莱明和H.M.Soner,受控马尔可夫过程和粘度解，第2版，Springer-Verlag,2005。[12]C.Frei和N.Westray,VWAP顺序的最优执行：一个随机控制方法，2013载于数学金融。[13]E.Gobet,J.-P。Lemor和X.Warin提出了一种求解倒向随机微分方程的基于回归的蒙特卡罗方法。2005年A NN。阿普尔。普罗巴布。15 217 2[14]O.Gueant,最优恒定参与率下的执行和大宗交易定价，2012年预印本[15]O.Gueant。最优执行和大宗交易定价，一个通用框架，2012年预印本。[16]O.Gueant。永久的市场影响可能是非线性的，2013年预印本。[17]M.H.umphery-Jenner，噪声条件下的最优VWAP交易，银行和金融杂志，卷。35，第9号，2011年。[18]S.M.Kakade,M.Kearns,Y.Mansour和L.E.Ortiz,VWAP和限价指令交易的竞争算法，ACM电子商务会议论文集，2004。[19]H.Konishi,VWAP交易的最优切片，金融市场杂志，第5卷，第2期，2002年4月，第197-221页[20]C.-a.Lehalle，S.Laruelle，《实践中的市场微观结构》，《世界科学》，2014年[21]J.McCulloch，《相对成交量作为一个双随机二项式过程》，第146号，研究论文系列，2005年，量化金融研究中心，技术大学，悉尼。[22]J.McCulloch和V.Kazakov,最优VWAP交易策略和相对成交量，第201号，研究论文系列，2007年，量化金融研究中心，技术大学，悉尼。[23]J.McCulloch和V.Kazakov,均值方差最优VWAP交易，2012年预印本。[24]D.Possamai，G.Royer和N.Touzi，关于measurableclaims的稳健超级套期保值Rockafellar，最优控制中的共轭凸函数和变分学。分析APPL。

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