瞬时价格影响下的最优VWAP执行

2022-6-11 09:14:03

瞬时价格影响下的最优VWAP执行Alexander Barzykin和Fabrizio Lillo*2019年1月16日摘要在市场影响为线性和瞬态的情况下，我们利用成交量加权平均价格（VWAP）基准来解决最优清算问题。由于考虑到交易区间不一定与基准区间一致的情况，我们的设定更为一般：执行差额和目标成交执行显示为我们设定的特殊情况。考虑到风险规避投资者具有CARA效用函数，我们在连续和离散时间内找到显式解。最后，我们证明，与实现短缺的观察结果相反，当decay核是凸的时，最优VWAP解也包含买卖交易。关键词：最优执行；成交量加权平均价格（VWAP）；暂时性价格影响；交易费用；市场微观结构。1简介最优执行正在成为市场微观结构和数学金融领域的一个热门领域。原因是，随着金融市场的电子化和碎片化，交易的执行需要先进的基础设施和关于交易订单如何影响价格的复杂知识。在最佳价格下的可用流动性非常小的情况下，最小化成本的最佳策略是按照凯尔在现代市场之前的假设，将5月份的交易顺序进行分割。因此，从Bertsimas和Lo【1】以及Almgren和Chris【2】的开创性论文开始，人们提出了许多解决最佳执行问题的贡献（有关广泛的评论，请参见【14、17、7】）。*Barzykin：汇丰外汇埃里斯克，全球市场部，汇丰银行股份有限公司。，英国。亚历山大。barzykin@hsbc.com.Lillo：意大利博洛尼亚大学Matematica分校。法布里齐奥。lillo@unibo.it.

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2022-6-11 09:14:06

我们感谢JeanineBaumert（他参与了该项目的早期阶段）和James Newbury进行了有益的讨论。问题的设置主要取决于两个因素：（i）市场影响模型和（ii）基准标准。关于第一个问题，实证文献[5,22,27,3]记录了原始文献[1,2]中假设的永久和固定市场影响假设没有得到遵守。相反，市场影响是短暂的，即影响在被触发后立即最强，然后迅速衰减，通常非常缓慢。这一证据导致了新模型的发展，其中最著名的是瞬态碰撞模型（TIM，早期称为传播子模型）[5]，其连续时间版本在[15]中提出。其他方法更详细地模拟了限额订单簿[23、12、9]，在某种程度上表现为TIM模型。TIM最初是为市场影响建模而开发的，现在立即成为优化执行问题的热门研究对象。参考文献。[3、6、10、8]构成一个不完整的列表。然而，上述所有论文都是在以实现差额（is）或到达价格为基准的假设下解决最优执行问题的。对于销售订单，这意味着执行尝试最大化收益预期收入与执行开始前按市值计价的订单价值之间的风险调整差异。尽管IS在学术文献中被广泛使用，但它可能不是业界使用最多的基准。更常见的替代方法是成交量加权平均价格（VWAP）、TargetClose（TC）和成交量百分比（POV）。令人惊讶的是，考虑这些基准的研究相对较少。在例外情况中，参考文献。

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kedemingshi

2022-6-11 09:14:10

[18、20、16、11]考虑了VWAP，但使用的价格影响模型是Almgren和Chris的模型（有无随机市场容量）。据我们所知，当执行以VWAP（TWAP）或TC为基准时，没有论文研究TIM下的最优执行问题。在本文中，我们通过在连续和离散时间内解决问题来填补这一空白。我们构建了一个设置，即经纪人必须在一个时间窗口[0，T]内出售一定数量的股票，我们将在一个时间间隔[T，T]内的VWAP作为基准 [0，T]。在下一节中，我们将在实践中出现这种情况时进行激励。这里值得注意的是，TC和VWAP是这个一般问题的特例。T=0和T时的第一个→ T、当T=T和T时的第二个→ 当T=0且T=T时，则为最后一个。有趣的是，当[T，T]是有限的且与[0，T]不一致（称为区间VWAP）的情况在实践中也很有趣，详情如下。问题设置假设代理具有CARA实用功能，这是此类问题的标准功能（例如，请参见[17]）。我们通过将效用函数的最大化问题转化为求解积分方程的问题来解决不连续时间问题，类似于[10]中针对IS情况所做的工作。如果必须向问题添加更多约束条件（例如，最大参与率），则在离散时间内设置问题是有用的。事实上，效用函数的最大化可以转化为一个二次优化问题，该问题可以附加线性甚至二次形式的额外约束，而不会显著改变问题的复杂性。

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mingdashike22

2022-6-11 09:14:13

最后，他们当然会在其他方面有所偏离，因此，对于TIM来说最理想的，对于其他订单模型来说未必如此。当市场容量被视为常数时，经常使用的时间加权平均价格可以被视为VWAP的特例。离散案例允许将执行的交易量添加到基准中，这是一种与非常大的交易相关的添加。本文的组织结构如下。第2节介绍了TIM及其与动态套利存在相关的知识产权。第3节设置了连续时间内的优化问题，并找到了与积分方程的等价性。此外，给出了简单情况下的显式解。在第4节中，我们重述了离散时间的问题（讨论了与连续时间情况的联系），解决了它，并给出了一些具体的数值例子。最后在第5节中，我们得出结论并为进一步的工作提供建议。2瞬态影响模型任何最优执行问题都严重依赖于市场影响模型，即价格对执行交易的反应。在本文中，我们将考虑文献[5]中介绍的瞬态碰撞模型（TIM）（又称传播模型）（另见文献[3]）。最初在事务（即离散）时间中引入，在[15]中被推广到连续时间。考虑到时间间隔[0，T]，并用St表示时间T的价格，TIM isSt=S+Ztf（˙xs）G（T）下的价格演变-s） ds+ZtσsdWs（1），其中˙xtdt>0是在[t，t+dt]中考虑的执行出售的股份数量，wse是适当概率空间中的维纳过程，波动率σ是确定性函数。

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2022-6-11 09:14:16

函数f描述了已执行交易对价格的瞬时影响，在本文考虑的线性情况下，它是f（˙xt）=-k˙xt（2）函数G（t）被称为模型的核或传播子，描述了交易对价格和G（t）的延迟影响- s）描述了时间s的交易如何影响时间t的价格。由于通常观察到G是一个递减函数[5，25]，因此该模型中的影响是瞬态的。相比之下，其他市场影响模型，如Almgren和Chriss[2]的模型，假设了永久性影响（即持续性影响）加上仅影响成本的临时性影响。大量文献考虑了不同市场影响模型下的价格操纵和动态套利问题【15、4、14、10、8、26】。当存在往返策略时，Animpact模型允许价格操纵，从而对预期产生一定影响【14】。相反，如果中间买入（卖出）交易可以增加卖出（买入）计划的预期收入，则该模型允许交易触发价格操纵“[4]。可以证明，没有交易触发的价格操纵意味着没有价格操纵[14]。当将TIM视为市场影响模型时，已经推导出了一系列不存在市场操纵的条件（见【14】）。特别是，当（1）中的函数f是线性函数时，G的凸性足以保证不存在交易触发的价格操纵。然而，尽管实证文献表明f具有非线性行为，但具有非线性f的TIM模型似乎承认了价格操纵，从而得出了这一结果。将实施不足视为最小化的功能。

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2022-6-11 09:14:19

在本文中，我们展示了当目标不同时（在我们的例子中是VWAP），G的凸性不再有效，并且确实是销售计划的最优解同时包含买卖交易。3连续时间内的问题设置我们考虑一个一般问题设置，即经纪人必须在一个时间窗口[0，T]内出售数量超过0股的股票，称为交易间隔，并且她在一个时间窗口[T，T]内以市场VWAP为基准 [0，T]，称为基准间隔。该公式涵盖了大多数标准设置，例如T=T=0时的实施不足，T=T=T时的目标关闭，以及T=0时的间隔VWAP，T=T。[T，T]的概况 [0，T]可能出现在经纪人必须在给定的时间间隔内保证VWAP价格，但由于限制（例如，最大POV），XI太大而无法在此时间间隔内交易的情况。时间点基准（如市场收盘）提供了一个限制性场景，通常在市场收盘前执行目标收盘算法来解决这个问题。某些工具可以在收盘后进行交易，由于波动性风险降低，可能更可取。行业时间点基准正被区间基准所取代，从而支持一般的制定。标准化条件要求zt˙xtdt=x（3），即使rtxtdt>x是可能的，即经纪人也可以决定在市场上购买部分股票（如果允许的话）。设Vtdt为确定的市场交易量【t，t+dt】。VWAP基准由V W APTT=RTTSTVTTRTVTDT=ZTηtStdt（4）给出，其中ηt=VtRTTVsdsIt∈【T，T】（5）其中IBI是集合B的指标函数。经纪人的目标函数是她能够从交易区间的收益中获得的现金与她将返还给客户的现金之间的差异，等于xV W APTT。

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2022-6-11 09:14:22

这种差异当然是一个随机变量，因此我们必须假设一些效用函数来模拟经纪人的风险规避。为此，让我们定义现金流程dxt=˙xtStdt X=0。（6）假设一个CARA风险规避代理，策略x的目标函数≡ {xt}TisU[x]=E[-经验值(-2γ（XT- xV W APTT））]（7）其中2γ是风险规避参数。我们现在可以插入式（1）中关于价格动态的TIM，并证明以下命题：线性影响下的命题1，f（z）=-当k＞0时，效用函数（7）的最大化等价于函数l[x]的最小化≡ZTZT˙xt˙xsG（| t- s |）ds dt- xZTηtdtZtG（t- s） ˙xsds（8）+γkZTZTdt dt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）Zt∧tσs这一命题和以下命题的证明见附录。为了找到最佳执行，我们按照【10，21】的方法使用了变分法。我们考虑一个策略dys=δt（ds）- δt（ds）0≤ t型≤ t型≤ T（9）对应于在时间T瞬时购买一个单元，该单元在时间T瞬时出售。用x表示*最佳策略和设置z=x*+ αy，通过设置E[C[z]]αα=0=0（10）虽然在一般情况下可以获得积分方程，但在下文中，我们将把注意力限制在风险中性投资者的情况下（γ=0）。在第4节中，我们还将探讨离散时间环境下风险厌恶型投资者（γ>0）的情况。

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2022-6-11 09:14:25

此过程导致以下命题：命题2策略{x*t} t用γ=0最小化函数（8），满足积分方程ztg（| t- s |）dx*s- xZTtηsG（s- t） ds=λ（11），其中λ是通过总体积贸易dztdx的归一化设置的常数*s=x（12）备注1我们提醒【10】当目标函数为实现不足时，TIM下的最佳执行满足方程ZTG（| t- s |）dx*s=λ（13），因此在VWAP目标函数下，有一个附加项-xRTtηsG（s- t） D在方程式的左侧。备注2当T=T=0时，为ηT=2δ（T），式11中的第二个积分为-xZTtδ（s）G（s- t） ds=0由于t>0，积分方程简化为公式13，即Schied等人获得的公式。[10] 对于实施不足的优化。注意，这里和下面我们使用的约定是rbaδ（x-a） f（x）dx=f（a）/2。因此，sinceRTηtdt=1，当η是以t=0或t=t为中心的狄拉克三角洲时，我们必须包含因子2。我们可以用备注1将积分方程的解写成两项之和。为此，我们引入变量ws=˙x*s- xηswithRTwsds=0，通过替换in（11），我们得到了ztg（| t- s |）wsds=λ- xZtηsG（t- s） ds（14）可以将解ws=w（1）s+w（2）s写入第二项solvesZTG（| t- s |）w（2）sds=-xZtηsG（t- s） ds（15）设置x=RTw（2）sds，第一项解算TG（| t- s |）w（1）sds=λ，ZTw（1）sds=-这是当目标函数为is和sharesi的数量时的方程-x、备注3当T=T=T（目标关闭）时，为ηT=2δ（T-T），式11中的第二个积分减少到-xZTt2δ（s- T）G（s）- t） ds=-xG（T- t）积分方程变成tg（| t- s |）dx*s=λ+xG（T- t）该积分方程的解为˙x*s=w（1）s+xδ（T- t）标准化RTW（1）sds=x/2。

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2022-6-11 09:14:28

换言之，TC基准下的最佳时间表是在IS情况下交易的x/2股和剩余的x/2股交易的总和t=t。3.1当基准区间和交易区间重合时VWAP的显式解我们在这里考虑基准VWAP区间[T，T]与交易区间[0，T]重合且ηT=1/T的情况，t型∈ [0，T]，即市场容量在区间内保持不变（TWAP）。在这种情况下，我们能够找到两种不同核的显式解决方案，并将结果与在不同影响模型下获得的最优计划进行比较。更一般的情况将在第4.3.1.1节指数核中使用时间离散化进行数值探索。我们首先考虑指数核G（t）=e-ρt。众所周知，这种类型的核与Obizhaeva Wang[23]的订单弹性模型是一致的。我们提醒大家，当最小化IS时，解决方案是在T=0和T=T的时间瞬间交换有限分数1/（2（1+ρT）），在（0，T）的恒定速度下交换分数ρT/（1+ρT）。对于任何核，IS最优tradingschedule相对于T／2是对称的。确定交易速度vt≡ ˙xt，很容易测试类型vt的解=aδ（t）+b+aδ（t- T）（16）满足（11），通过施加归一化条件，我们得到结果T=xρT（2+ρT）[2（1+ρT）δ（T）+ρ（1+ρT）- 2δ（t- T）]（17）因此，最好在T=0时卖出一笔固定金额，然后在整个时间间隔内持续卖出[0，T]，最后在T=T时买入一笔固定金额。因此，我们看到，与IS的情况不同，VWAP下的最优执行（i）不再是围绕T/2对称的，并且（ii）允许交易触发的价格操纵，即使G是凸的。

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2022-6-11 09:14:32

正如我们接下来将看到的，这些属性也适用于内核函数的其他选择。3.1.2幂律kernelIt众所周知，经验数据清楚地表明，对于大滞后，核G（t）表现为幂律[5，3]：事实上，对于小股票，幂律行为主义者观察到了τ的所有值，而对于小股票，非常小的滞后会出现起伏[25]。对于分析可跟踪性，我们将在这里考虑G（t）=t的情况-κ<1。为了找到VWAP执行的最佳解决方案，我们使用了（15）的分解。我们提醒您，在的情况下，是执行的最佳解决方案-xshares为[3，10]w（1）t=-xTκΓ1 +κ√πΓ1+κtT1.-tT(1-κ） /2（18）注意，w（1）在[0，T]中总是正的，并且相对于T/2对称（Ushaped），在T=0+和T=T时发散-.函数w（2）s解积分方程ztw（2）s | t- s |κds=-xT（1- κ） t1级-κ≡ f（t）这是一个具有常数极限的广义阿贝尔积分方程[13，24]。UsingEqs。[24]中的（2.58）和（2.62），可在asw（2）t=-cosπκπ[t（t- t） ]（1-κ） /2PZT[s（T- s） ]（1-κ） /2秒- t型ddsZsf（u）（s）- u） 1个-κduds+sinπκ2πddtZtf（s）（t- s） 1个-κds==xT（1- κ） ×（19）“cosπκπ[t（t- t） ]（1-κ） /2PZT[s（T- s） ]（1-κ） /2秒- t型ddsZsu1-κ（s- u） 1个-κduds公司-sinπκ2πddtZts1-κ（t- s） 1个-κds其中P表示Cauchy主值积分。

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何人来此

2022-6-11 09:14:36

当κ<1时，这个表达式可以重写为：t=xTπcscπκ×（20）“cosπκπ[t/t（1- 电汇）]（1-κ） /2PZ[z（1- z） ]（1-κ） /2z- t/Tdz-sinπκ2π#（21）SincePZ[z（1- z） ]（1-κ） /2z- t/Tdz=（22）κ-1.√πΓ1.-κF（1，-1 + κ, (1 + κ)/2; 电汇）Γ1.-κ-πtanκπ[t/t（1- t/t）]（κ-1） /2，其中f为超几何函数，解为w（2）t=xT“-1 +κ-2.√πcsc（κπ/2）Γ1.-κΓ1+κF（1，-1 + κ, (1 + κ)/2; 电汇[电汇（1- 电汇）]（1-κ） /2#（23）通过直接积分X=ZTw（2）tdt=-X该值用于w（1）的表达式中，最后我们得到了tradingvelocity vt≡ ˙xtvt=xTκ-2.√πcsc（κπ）Γ1.-κΓ1+κκ+F1.-1 + κ,1+κ;tTtT1.-tT(1-κ） /2（24）SinceF1.-1 + κ,1+κ; 0= 1，当t→ 0+（与IS情况相同），而条件F1.-1 + κ,1+κ; 1.= -1和κ<1意味着vtdivariges注意，以下表达式也可用于确定一般ηs6=1/T的最佳执行，因为当核是幂律时，等式11是具有常数限制的广义阿贝尔积分方程。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1 0 1 2 3测量速度κ=0.15κ=0.25κ=0.35κ=0.90.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2 0 4指标交易速度图1：基准区间与交易区间一致的VWAP的最佳交易计划[0，1]。价格没有漂移，经纪人是风险中性的。Leftpanel为内核的指数κ的不同值报告了四个计划。右侧面板。对于κ=0.25的TIM，黑线是最佳解决方案。绿色（β=0.9）和蓝色（β=3）线是在[16]中获得的永久线性价格影响下的解决方案（如Almgren Chriss）。对t的否定→ T-. 这意味着在VWAP卖出执行中，在交易期结束时买入是最佳选择，因此该策略允许交易触发的价格操纵，即使G是凸的。

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可人4

2022-6-11 09:14:38

最后，在极限κ中观察到这一点很有趣→ 1，最佳时间表为vt=x/T，即以恒定速度交易。为了便于说明，我们考虑x=1和T=1的情况。图1的左侧面板显示了κ=0.15、0.25、0.35、0.9的最佳时间表。很明显，这个解不是对称的w.r.t.t/2。此外，从质量上讲，与指数alkernel的情况类似，最佳解决方案是在t=0左右非常强烈地卖出，然后以较低的速度卖出，在接近t=t=1时非常强烈地买入。κ越小，负交易速度区域越大。相反，如上所述，当κ接近1时，最优进度接近常数，分别在t=0和t=t处出现正峰值和负峰值。备注4有趣的是，将我们的κ=0.25的解与【16】中获得的线性永久冲击模型a la Almgren-Chriss的解进行比较。假设k为常数的线性永久冲击和η为常数的二次临时冲击，[16]发现风险中性因素的最佳解决方案是VT=x[（β+1）- 2βt]，其中β=kV/4η，V为市场容量。图1显示了对应于β=0.9（绿色）和β=3（蓝色）的两种溶液。从质量上讲，在这些解决方案中，最好在区间开始时交易更快，在β较大的情况下（即暂时影响较小），最好在接近尾声时回购一部分。4离散时间的解在本节中，我们通过使用离散时间框架来推导最优VWAP的解。此设置将允许获得明确的解决方案，并探索附加约束的作用（例如，在销售计划中不允许购买的要求）。

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2022-6-11 09:14:42

离散时间设置可以在三个不同的级别上应用：（i）在离散时间中表示成本函数（8），并解决优化问题；（ii）使用离散时间获得积分方程（15）的求积；（iii）在离散时间内写入TIM（1），导出相应的成本，然后将其最小化。值得注意的是，这三种方法得出的结果并不完全相同，但是，如果离散化中使用的时间间隔非常小，则差异是可以忽略的。在下文中，我们将考虑方法（iii），并简要讨论与方法（i）的差异。让我们将区间[0，T]除以N个相等的区间，并确定τ=T/N。现在，该策略是一个向量x=（x，…，xN），其中xi是在区间i中交易的股份数量，即T∈ [（一）- 1） τ，iτ]。离散时间isS`=S中销售执行的价格动态- k` Xi=1G（`- i） xi+τ1/2 ` xi=1i`={0，…，N}（25），可以用向量形式asS=S1重写- kGx+τ1/2L （26）其中S=（S，…，SN），1=（1，…，1），L是1的下三角矩阵（即，如果i≥ j、否则为零），G是下三角矩阵，使得gij=G[τ（i-j） ]如果我≥ 否则为零。最后 ~ N（u，∑）是描述价格动态的高斯随机向量，无需执行。即使在以下内容中，我们将主要关注u=0和∑=diag（σi），我们也将提供漂移和相关收益的解决方案。期末现金金额为XN=xS。一般来说，我们认为VWAP基准介于t=和t=t之间，对应于`=bNT/t e `=bNT/t e是对初始和最终交易区间的最接近整数的四舍五入。我们表示B={`∈ 编号：`≤ ` ≤ `}我们引入一个向量η，其分量η`=V ` | |η| I`∈B（27）式中，V `是区间交易的市场量\'，I是指标函数。

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2022-6-11 09:14:45

基准是xηS，归一化确保1η=1。效用函数为U[（x- xη）S]，并且使用风险规避2γ的CARA效用函数下的高斯假设，预期效用isU[x]=E[（x- xη）S]- γV[（x- 在附录中，我们证明了以下命题。目前，我们忽视了我们在基准上的交易，请参见第4.2小节。命题3在风险规避为2γ的CARA效用函数下，使期望效用最大化的最优VwapeExecution（28）是二次优化Minx的解xAx公司- bx公司s、 t.1x=x，其中=kG+γτL∑L（29）b=kxηG+2γτxηL∑L+τ1/2uL（30）。此外，如果∑为正定义，则矩阵A为正定义。因此，二次优化的解是存在的，并且是唯一的。由于问题可以以二次优化形式重新表述，因此可以添加一些额外的约束，而不会影响问题的难度。例如，可以添加所有交易都具有相同符号的约束，例如销售执行中的nobuys（xi≥ 0, i），或限制最大交易速度（| xi |≤ X最大值，i）。备注5注意，当T=1和T=N时，无法获得通过离散化成本函数得出的相同解。这是因为这里我们离散化了影响模型，而不是成本。这两种解决方案之间的差异是由于G的对角线项，当离散化成本时，G的对角线项比通过离散影响模型获得的对角线项少一半。然而，策略之间的差异很小，当N→ ∞.4.1数值结果在本节中，我们探讨了不同参数选择下的最优解。在所有分析中，我们将设置τ=1、T=N=50、k=1和x=1000。此外，我们选择幂律核Gij=2+| i-j |κ，κ=0.5。最后，我们假设一个fl-at-marketvolume-pro-file，即。

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2022-6-11 09:14:47

V`=常数。图2显示了γ=0（即风险中性经纪人）、u=0（无漂移）、T=0和T=T的基线情况。红色圆点表示无约束问题，蓝色圆点表示约束xi的情况≥ 0, i、第一种方法类似于图1所示的连续时间内的解决方案，在执行结束时出现负头寸（买入），而在第二种方法中，负夏尔基本上被限制为零。在这两种情况下，预期效用的价值（在风险中性情况下对应于预期现金减去VWAP）均为正值，表明清算价值大于VWAP，因此是经纪人的净利润。然后我们考虑漂移和风险厌恶的作用。图3的左面板显示了风险中性因素的最佳解决方案和（恒定）漂移的不同值。蓝色（红色）线表示正（负）漂移，而黑色线表示无漂移基准情况。正如直觉所示，当漂移为正（负）时，推迟（预期）出售股票是最佳选择。图3的右面板显示了不同风险规避参数γ在无漂移情况下的最佳解决方案。Weset∑=diag（σi），具有恒定的波动率σi=0.01i。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50-20 0 20 40 60 80分时度假解决方案图2：基准间隔与交易间隔一致的VWAP的最佳交易计划。价格没有漂移，经纪人是风险中性的。红色圆点表示无约束的情况，而蓝色圆点表示对交易的非负性有约束的情况（没有买卖执行）。备注6值得注意的是，对于非常大的风险规避，最佳交易利润会发生变化，即：。

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2022-6-11 09:14:50

如果经纪人只关心利润的变化，最佳选择是以恒定的速度进行交易，在恒定的市场交易量V“的假设下，这意味着固定的交易量百分比（如POV策略）。请注意，这与is基准[6]下发生的情况不同，因为在这种情况下，风险中性U形变得不对称，并且策略是前置的（即在执行开始时比在执行结束时更具交易性），我们现在得出基准期[T，T]与交易期[0，T]不一致的情况。图4显示了当T=25=T/2和T=38’3T/4时，无风险价格和风险中性经纪人的解决方案。图中显示了交易符号上有（黑色）和无（红色）限制的结果。我们观察到，最佳解决方案是在基准区间之前、期间和之后进行交易。如果规定所有交易必须具有相同的标志，则最好不要在基准期之后进行交易。有趣的是，在基准期开始之前，交易模式类似于IS下最优执行的U形（连续时间表达式见等式18），而在基准期内，交易模式类似于交易区间与基准区间重合时获得的模式（见图2）。最后，我们考虑经纪人的预期超额利润E[（x- xη）S]取决于基准间隔。

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2022-6-11 09:14:53

超额利润是指交易期结束时的现金与基准期内的VWAP之间的差异（即●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50-出售50 0 50 100 150个分时度假●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50-20 0 20 40 60 80次出售的股份●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ●● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ●●●●●图3：左侧。针对价格漂移ui=4（青色）、ui=2（蓝色）ui=-2（红色），ui=-4（洋红色）。黑点指的是无漂移基准案例。正当无漂移价格下风险厌恶型经纪人的最优VWAP计划。风险规避参数γ的值为0（黑色）、0.5（红色）、1（绿色）、3（蓝色）、7（青色）、100（品红）。在两个面板中，基准间隔与交易间隔一致。经纪人给客户的现金）。我们再次考虑T=50、无风险价格、风险中性经纪人和上述其他参数。图5的左面板显示了以t/2为中心的基准期和可变长度的预期超额利润。很明显，提供最大利润的时间间隔是最短的。鉴于此结果，右侧面板显示了长度为1的基准期的超额利润，作为基准期所在交易期内时间的函数。

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2022-6-11 09:14:56

形状是非单调的，对于所选参数，提供最大利润的基准周期长度为1，位于时间t=t=36。总之，提供最大利润的基准期非常短，并且位于交易间隔的后半部分。值得注意的是，我们隐含地假设，对于短期基准期所需的非常大的交易强度，等式（1）的市场影响模型也将继续适用。这在现实中是不可能的，应在方案3的优化中添加额外的约束条件（例如最大行驶速度），以获得更现实的结果。4.2将执行量包括在基准中，特别是对于短期基准，来自最佳执行的量可能是市场量的重要组成部分，因此应将其添加到基准中。因此，公式（27）可能不精确，应替换为η`=V`+| x ` | P`∈BV`+P`∈B | x ` | I`∈B●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50-50 0 50 100分时解决方案图4：基准间隔T=25和T=38（垂直线）的aVWAP贸易标志上无（红色）和（蓝色）约束的最佳时间表。由于x `以绝对值和分母出现，在优化中插入此基准价格会导致非二次优化，这可能很难解决。我们将在这里考虑当| x ` |时的情况 V`，导致膨胀η`≈V`+x`P`∈BV公司`1.-P`∈Bx`P`∈BV公司`我`∈b注意，这个向量的Lnorm，P `η\'，等于1。

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mingdashike22

2022-6-11 09:14:59

为简单起见，我们考虑V`=V的情况，并用 = T- T+1基准时间的长度，因此η`≈+x个`五、-P`∈Bx公司`v效用函数的参数可以重写为x- x[a+M x]其中a`=I`∈B类/ andMij=七∈BIj公司∈B在中-^INis是N×N单位矩阵，^1是单位矩阵（所有元素都是1的矩阵）。总之，优化与之前相同，只是改变了→ G- xM5结论在本文中，我们设置并解决了当基准是特定时间间隔内的成交量加权平均价格且价格影响是暂时的时，订单的最优执行问题。通过考虑TradinInterval大于基准间隔的一般情况，我们已经证明了几个现有的最佳执行基准（实现不足、目标关闭、VWAP和●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●10 20 30 40 50 50 000 000 100000 150000基准区间长度超额利润●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50100000 150000 200000次超额利润图5：经纪人在基准间隔与交易间隔不同的情况下执行VWAP的超额利润。左面板显示了以t/2为中心时，作为基准期长度函数的利润。右侧面板显示了基准期具有单位长度时，作为交易期内时间函数的利润。TWAP）可视为特例。我们考虑了连续时间内的解，将最大化问题映射到积分方程的解中，与文献[10]中所做的一致。离散时间的解被简化为标准的二次优化问题。我们没有明确考虑将交易成本和子订单安排作为实际应用所需的优化的一部分。

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可人4

2022-6-11 09:15:02

大致考虑这一点的方法之一是将战术成本纳入冲击核[6]命题证明A。1命题证明1Since XT- xV W aptti是一个高斯分布变量，经纪人最大化u[x]=EZT（˙xt- xηt）Stdt- γVZT（˙xt- xηt）Stdt（31）预期值isEZT（˙xt- xηt）Stdt= （32）EZT（˙xt- xηt）Sdt+ EZT（˙xt- xηt）Ztf（˙xs）G（t- s） dsdt+EZT（˙xt- xηt）ZtσsdWsdt=EZT（˙xt- xηt）Ztf（˙xs）G（t- s） dsdt因为第一项由于˙xtandηtand的归一化而完全消失，所以第三项是随机积分的期望值。在线性碰撞的情况下-kZT（˙xt- xηt）Zt˙xsG（t- s） dsdt=-kZTZT˙xt˙xsG（| t- s |）ds dt- xZTηtdtZtG（t- s） ˙xsds（33）对于方差termV，情况类似ZT（˙xt- xηt）Stdt= （34）VZT（˙xt- xηt）Sdt+ 五、ZT（˙xt- xηt）Ztf（˙xs）G（t- s） dsdt+五、ZT（˙xt- xηt）ZtσsdWsdt=五、ZT（˙xt- xηt）ZtσsdWsdt= E“ZT（˙xt- xηt）ZtσsdWsdt#最后一个期望可以写为“ZTZTdtdt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）ZtZtσsσsdWsdWs#=ztztddtt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）ZtZtσsσsE【dWsdWs】=ztztddtt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）ZtZtσsσsδ（s- s） =ZTZTdtdt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）Zt∧tσsds（35）最后，假设k>0且γ>0，效用U[x]的最大化等价于等式（8）的泛函C[x]的最小化。A、 2命题证明2 VWAP执行中要最小化的数量isC[x]=ztztdxsg（| t- s |）-xTZTdtZtG（t- s） dxs（36），我们重写为C[x]=Q[x]+K[x]。在[10，21]之后，我们考虑一个策略dys=δt（ds）- δt（ds）0≤ t型≤ t型≤ T（37）并用x表示*最优策略。因此，设置z=x*+ αy，isC[z]=Q[x*] + αQ[y]+2αQ[x*, y] +K[x*] + αK[y]（38），其中Q[x，y]=2-1RRG（| t- s |）dxsdyt=Q[y，x]。

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可人4

2022-6-11 09:15:05

数量k[y]=-xT公司ZTdtG（t- t） θ（t- t）-ZTdtG（t- t） θ（t- t）（39）其中θ（x）是阶跃函数，而q[x，y]=ZTG（| t- t |）dxt-ZTG（| t- t |）dxt（40）如果策略x*是最优的E[C[z]]αα=0=2E[Q[x*, y] ]+E[K[y]]=0（41），即ifZTG（| t- s |）dx*s-xTZTdsG（s- t） θ（s- t） =λ（42）或等效的yztg（| t- s |）dx*s-xTZTtdsG（s- t） =λ（43），其中λ是通过总体积tradedZTdx的归一化设置的常数*s=x（44）通常，我们对dx中定义的交易速度感兴趣*s=VSD，因此wesolveZTG（| t- s |）VSD-xTZTtG（s- t） ds=λs.t.ZTvsds=x（45）A.3命题3的证明效用函数为U[（x-xη）S]。由于一切都是高斯分布，并且假设在连续时间情况下，风险规避为2γ的CARA效用函数，预期效用isU[x]=E[（x- xη）S]- γV[（x- xη）S]平均值项isE[（x- xη）S]=（x- xη）1S- k（x- xη）Gx+τ1/2（x- xη）Lu=-k（x- xη）Gx+τ1/2（x- xη）Lu，其中第一项消失，因为x1=x，η1=1。方差项isV[x- xη）S]=V[k（x- xη）Gx+τ1/2（x- xη）L] = τV[（x- xη）L] == τ（x- xη）L∑L（x- 因此，期望效用的最大化等于k（x）的最小化- xη）Gx- τ1/2（x- xη）Lu+γτ（x- xη）L∑L（x- xη），可以用矩阵形式asxAx重写- 式（29）和（30）中给出了A和b，c=τ1/2xηLu+γτxηL∑Lη是一个常数，不影响最优解（但当然影响最佳预期效用的值）。为了证明A是正定义（PD），让我们首先注意到G是PD，因为它是下三角形，对角线元素Gii=G（0）>0。另一项，L∑Lcanbe重写为BB，其中B=LS，S是从∑的Cholesky分解得到的下三角矩阵（存在是因为∑是PD）。显然，B岛下三角形与S的对角线入口相同。

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kedemingshi

2022-6-11 09:15:09

这些条目是正的，因为∑是PD，因此B是可逆的。可逆矩阵与其转置（如L∑L）的乘积为PD。最后，A是两个PD矩阵的和，因此它是PD。参考文献[1]Bertsimas，D.&Lo，A.（1998），《执行成本的最优控制》，金融市场杂志1 1-50。[2] Almgren，R.，&Chriss，N.（2000），《投资组合交易的最佳执行》，J.风险3 5–39。[3] Bouchaud，J.-P.，Farmer，J.D.和Lillo，F.（2009），市场如何慢慢消化供求变化。《金融市场手册：动态与演化》，T.Hens和K.Schenk Hoppe编辑，学术出版社：纽约。[4] Alfonsi，A.、Schied，A.、Slynko，A.（2012），《订单弹性、价格操纵和正投资组合问题》。暹罗金融数学杂志，3（1），511-533。[5] Bouchaud，J.-P.、Gefen，Y.、Potters，M.&Wyart，M.（2004），《金融市场的波动与响应：“随机”价格变化的微妙性质》，数量金融4 176–190。[6] Busseti，E.和Lillo，F.（2012），《存在暂时市场影响时金融交易最佳执行的校准》，J.Stat.Mech。P09010【7】Cartea，A.，Jaimungal，S.，和Penalva，J.（2015）。算法和高频交易。剑桥大学出版社。[8] Curato，G.、J.Gatherel和F.Lillo（2017），《具有非线性瞬态市场影响的最优执行》，定量金融17，41-54[9]Donier，J.、Bonart，J.、Mastromatteo，I.、Bouchaud，J.-P.（2105），一个完全一致的非线性市场影响最小模型，定量金融15 1109–1121。[10] Gathereal，J.、Schied，A.&Slynko，A.（2012），《瞬时线性价格影响与Fredholm积分方程》，数学金融22 445–474。[11] Frei，C.&Westray，N.（2018）《VWAP订单的最佳执行：随机控制方法》，数学。

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