这样一个不等式可以部分地由这样一个事实来解释：与(X+X)/2相关的模型风险既是由于marg inals的模型风险，也是由于联合分布的mod elrisk。由于(9)，我们看到RM的其他可能性质（如单调性、连续性等）继承自风险测度的类似性质。次可加性是一个例外，它是所有相干风险测度都有的性质。事实上，如果我们知道ρ(X+X)6ρ(X)+ρ(X),并且X,X,X+X∈L，我们只能得出RM(X+X)>RM(X)+RM(X)-ρ(L)ρ(L)-ρ(L).而次可加性只有在右手边的最后一项是su-cientlysmall时才被保证。4在本节中，我们说明了模型风险的两个测度，并研究了下面的例子：我们考虑一个R.V.x的参考分布在集合Lμ，σ中，该集合对应于所有R.V的集合。用均值μ和标准差σ，并对两个风险度量，即VaR和预期缺口，估计模型风险的两个度量。如前所述，在不丧失概括性的情况下，我们可以将注意力限制在R.V的集合的特殊情况下。在集中讨论我们的例子之前，我们给出了一个关于一般集L上的极值分位数的初步结果，它将对本文的其余部分有用。4.1关于极值分位数的初步结果L是一个R.V.的一般集。对于任意x,FLAND FLD上的极值函数为:FL(x)=SUPX∈LFX(x)FL(x)=INFX∈LFX(x),注意FL(+∞)=1,FL(-∞)=0,且FLAND FLD为非递减函数。我们将它们分别称为最大函数和最小函数。注4.1IfFLand耀斑确实是分布函数，在t阶占优意义上，它们是极值的（记为<1sd)。这些函数不一定是分布函数，因为FL(-∞)>0和/或FL(+∞)<1。这个m意味着fl<1sdfx<1sdfl±x∈L注意，这两个FLand FLare不一定都是c`adl`ag。然而，它们在C`adl`ag上的点集至多是可计数的，并且如果G和H是满足G<1sdfx<1sdh,±x∈L的两个分布f函数，则G<1sdfl，FL<1sdh。下面关于极值分位数的结果将在本文的其余部分中非常有用。引理4.2假定FL(-∞)<FL(+∞)。IfFLand耀斑可逆函数，则对于任意α∈(FL(-∞),FL(+∞)),它保持为infx∈Lqα(X)=f-1L(α)和SUPx∈Lqα(X)=f-1L(α)。（10）若bothFLand耀斑分布函数，则（10）对任意α∈(0,1）成立。证明。我们只证明了In的结果，因为一个类似的论点导致了上确界的结果。如果α>fl(-∞)，那么根据假设a=f-1L(α)是好的，让我们矛盾地证明b=infx∈Lqα(X)>a。那么对于任意X∈Lwe有qα(X)>b>a，因此对于X∈[a,b)，根据分位数的充分认识，有FX(X)<α。对于x∈[a,b)，我们得到FL(x)6α=FL(a)，但这与假定FL(x)>α相反。相反，如果我们假定b<a，那么存在一些x∈L，使得qα(x)<a.如果FL(x)<a)严格增加，我们得到x(qα(x))6FL(qα(x))<FL(a)=α。然而，由于认识分位数，它总是成立FX(qα(x))>α，我们得到了一个矛盾。然后我们得出结论:b=A。备注4.3下面的例子强调了FLand FLin引理4.2的可逆性。如果没有这个条件，(10)中的等式即使我们用广义逆（即分函数）代替ef-1或f-1也不需要成立。固定α并考虑R.V的序列L=(Xn)n>1。其中xntakes值1具有概率1-α+n，值0具有概率α-n。如果x<0α，如果x>06x<11，如果x>1，我们很容易检验FL(x)supnFXn(x)=0，即使对于任何n>1的qα(Xn)=1，我们也有qα(x)=0。

所以，（10）在本案中并不成立，但以下情况除外─分别在{x:FL(x)=FL(-∞)或1}和{x:FL(x)=0或FL(+∞)}.4.2模型风险服从Royden(1953)第4节和H-urlimann(2008)第3章第4节的情形下，利用经典Chebyshev-Markov不等式，给出了L0,1分布上的极值函数：如果x>0，FL0,1(x)=1+xif x601和FL0,1(x)=0如果x60x1+xif x>0。这些极值分布通常分别称为L0,1的极大和极小Chebyshev-Markov分布。但是请注意，两个极值分布FL0，1和FL0，1都不在L0，1中。事实上，FL0,1的均值是负的，Off 0,1的均值是正的，并且两个方差都是有限的。从引理4.2来看，由于FL0,1和FL0,1都是可逆的，所以对于极值分位数，以下的恒等式占上风（例如见H-Urlimann 2002，定理3.1，或Bertsimas等人）。2004,定理2):infx∈L0,1qα(X)=f-1L0,1(α)=-R1-ααSUPx∈L0,1qα(X)=f-1L0,1(α)=Rα1-α。作为极值分位数的直接结果，下列结果为真：命题4.4(i)在xis处Varα的模型风险的绝对测度:am(X,L0,1)=q1-αα-Varαα(X)q1-αα+qα1-α=(1-α)-pα(1-α)=r(X)varα(X).这个结果将在后面的4.4小节中说明。注4.5注意supx∈L0,1 varα(X)>0和infx∈L0,1 varα(X)<0。因此，在L0,1类中，某些分布是可接受的，这意味着它们具有风险，而另一些分布则不具有风险。在Lμ，σ，当μ>0时，如果α>σμ+σ，则所有分布都是可接受的。当μ<0时，如果α<μμ+σ，则所有分布都是不可接受的。注4.6正如Hüurlimann(2008)（第4章，第3节）所指出的，当考虑(-∞,+∞)上的分布时，关于偏度的知识并不能改善切比雪夫极值分布。因此，如果X∈Lμ，σ:AM(X，lμ，σ，ζ）=AM(X，lμ，σ)RM(X，lμ，σ，ζ）=R M(X，lμ，σ).其中lμ，σ，ζ={X∈Lμ，σ:ζ(X)=ζ(X)}和ζ(X)表示X.4.3的模型风险。对于预期的Sh来说，采用类似的方法是不容易的，因为公式4.2给出了关于极值分位数的结果，而不是关于极值预期的短缺的结果。然而，Bertsimas等人最近的一个结果。（2004）（定理2）利用凸分析的变元，给出了集合L0,1上极端期望亏缺的恒等式:infx∈L0,1 Esα(X)=0(11)SUPx∈L0,1 Esα(X)=R1-αα。（12）据我们所知，对于一般集合L还没有得到类似的结果。作为一个直接的结果，关于模型风险的下列结果成立：命题4.7(i)在xis处Esα的模型风险的绝对测度:am(X,L0,1)=q1-αα-Esα(X)=q1-αα-Esα(X)q1-αα=1-rα1-α-Esα(X)。(ii)在xis处Esα的模型风险的相对测度。这个结果将在后面的小节4.4中说明。注4.8如前所述，我们不能使用引理4.2来获得极值不足。然而，我们可能会怀疑（11）中的极值不足是否是某些极值分布的预期不足。由于预期缺口相对于止损顺序是单调的（见实例Bauerle和Müuller(2006))，我们研究集合L0,1上止损顺序的极值分布。紧随HUrlimann(2002)之后，我们利用分布F的止损变换为:πF(x)=z∞x(1-F(y))dy的事实，通过简单的计算，我们得到:F(x)=1+π′F(x)。这种关系对于极值止损分布也成立（参见HUrlimann(2002)中的例子式(1.3)):fslmax(x)=1+π′max(x)，其中πmax(x)supF∈L0,1πF(x),对于in也成立。因此，为了得到极值止损分布，我们需要得到极值止损变换。对于最大止损变换，werefer给出了Jansen等人的定理2。

（1986）得到:πmax(x)=√x+1-x。对于最小止损变换，我们参见表5.2第5节，Hüurlimann(2008)第3章:πmin(x)=(-x，如果x>0，则x600)。最后，我们得到了极值止损分布:FSLmax(x)=1+x√x+1和FSLmin(x)=(1，如果x>00，如果x<0。我们得到了方程(11):esα(FSLmin)=0=infx∈L0,1 esα(x)和esα(FSLmax)=r1-αα=supx∈L0,1 esα(x)。注意，使用极值分布FL0，1和FL0，1，给出了我们在2.3小节（特别是E q ution(8))中讨论的一些界限，这些界限并不尖锐。在L0,1)R.V.服从正态分布或学生t分布。我们特别感兴趣的是度量对风险价值或预期缺口的阶数α的依赖性。图3和4.00.020.040.060.080.1012345678910(a)VaRα00.020.040.060.080.1012345678910(b)Esα图3：作为α函数的模型风险的绝对度量。连续行：XStandardNormal。虚线:XStudent-t，具有v=3个自由度。很自然地，使用参考胖尾分布（Student-t）会比使用正常分布产生更低的模型风险。对于预期缺口，这对α的任何实际值都是正确的，而对于风险值，这只对α很小(α/1.5%)来说是正确的。我们还可以注意到，对于VaR和预期缺口，以及对于这两个分布，模型风险的相对度量都是α→0。换句话说，随着我们在（左）尾进一步深入，任何给定的分布都越来越偏离最坏的情况。我们认为这是一种普遍的行为，图5中的图表比较了VaR模型风险和预期风险的绝对（左）和相对（右）度量，我们看到，在这两种情况下，预期缺口都具有较低的模型风险水平。通过将学生T作为预期缺口，我们得到了类似的行为。这可能与我们所期望的不一致：事实上，人们经常说预期缺口比VaR对模型选择更敏感，因为形式依赖于整个左尾。相反，至少对两个精确测量来说，α/8%。参见图3（右）和图4（右）。另参见Cont et al中关于统计ro鲁棒性的相关讨论。(2010).0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.91(a)VaRα0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.91(b)ESα图4：作为α函数的模型风险的相对度量。连续行：XStandardNormal。虚线：XStudent-t具有v=3个自由度。模型风险的相反证明是正确的。5模型风险的局部测度本节我们引入了一个模型风险的局部测度，通过在一族收缩到单点{X}的扰动集上取该测度RM的极限，得到了一个模型风险的局部测度。5.1definitionlet(Lε)ε>0是一个集合族，每个集合包含在Lρ，且Lε{X}为ε→0。这意味着无论何时ε<ε\'和⑤ε>0Lε={X}，Lεbul lε′.下面，我们将根据距离和混合物给出一些例子。认识5.1与ρ、X和族(lε)ε>0ISLM=Limε→0RM(X,Lε)=Limε→0ρ(Lε)-ρ(X)ρ(Lε)-ρ(Lε)-ρ(Lε)相关的模型风险的局部度量，前提是存在极限。0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1012345678910(a)绝对度量0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.91(b)相对度量5：模型风险的绝对和相对度量是α的函数。连续线：VAR。虚线：预期的缺口。限制L M明显是0/0形式；然而，如果它存在，那么对于任一ε,它在区间[0,1]内为RM(X,lε)∈[0,1]。

局部测度描述了ρ(X)相对于最坏和最好情况的位置。5.2一个基于距离的例子在下面的s中，我们将考虑对于某些α的情况ρ=varα，因此Lρ是所有R.V.我们在对Lε的认识中不作任何参考。作为计算局部模型风险的一个例子，考虑集合族:Lε={X:d(X，X)6ε}，(13)，其中d是分布之间的给定距离。可以立即认识到，这样一个家庭满足了上述假设。特别地，我们考虑了Kolmogorov（或一致）距离K(X，Y)=SUPx∈RFx(X)-FY(X)或L′evy距离L(X，Y)=inf{a>0:FX(x-a)-A6Fy(X)6FX(X+a)+a^X∈R}。命题5.2如果ρ=varα对于α∈(0,1）和族(Lε)被定义为（13）,其中d=dKor d=dL,则LM(X,(Lε))=对于任何绝对连续的R.V.X.证明。如果d=dKit可以立即看出flε(x)=m在{F(x)+ε,1},flε(x)=m ax{F(x)-ε,0}。（14）从现在起，设ε<min{α,1-α}，则flε(-∞)=ε<α<1-ε=flε(+∞)。假定Fis inver tib le,因此flε和flε是可逆的；立即计算表明:f-1Lε(α)=f-1(α-ε),f-1Lε(α)=f-1(α+ε),然后我们可以应用引理4.2,得到SUPx∈Lεvarα(X)=-f-1(α-ε),infx∈Lεvarα(X)=-f-1(α-ε),其中forelm=limε→0f-1(α)-f-1(α+ε)f-1(α+ε)-f-1(α-ε),即varα(X)=-f-1(α).最后，如果F=F′是X的密度，应用Del′H Opital法则，我们在d=DL，我们从观察flε(X)=min{F(X+ε)+ε,0}和flε(X)=m ax{F(x-ε)-ε,0}开始，然后类似地进行。这个结果是很自然的，因为扰动集在X附近是渐近对称的，因此模型风险的相对测度收敛到1/2。然而，我们强调这只在极限ε→0和n ot中成立，对于一个基于混合列的例子Fbe的x∈L0,1的分布；对于ε<1definelε={X:X≈(1-θ)f+θfy,Y∈L0,1,θ∈[0,ε]}。（15）集合Lε收集标准R.V的F和a分布之间的所有（R.V.分布为）混合。Y,对其替代分布(FY)不是加权的。值得注意的是，对于任意ε，lεyl0，1:实际上，平均值和evaliance都是分布的一个ne函数。注5.3我们强调(1-θ)f+θfy通常不是(1-θ)x+θY的分布，即使我们假定x，Y是独立的。相反，它是(1-Ia)X+IAY的分布，其中A是一个概率θ的事件，与X、Y无关，并具有它的指示函数。命题5.4如果ρ=varα对于α∈(0,1）和族(Lε)被定义为（15）,则对于任何绝对连续的R.V,则LM=1-α(1+varα(X))。X，其中varα(X)>0。证明。Lε的最大函数是flε(x)=supθ∈[0,ε]supy∈L0,1{(1-θ)F(x)+θFL0,1(x)=(1-ε)F(x)+εFL0,1(x),其中我们用FL0,1(x)-F(x)>0来推导最后一个等式。由于fl0,1是可逆的（假设前者）,flε也是可逆的，因此，应用Lemm A4.2,我们得到X∈Lεvarα(X)=-f-1Lε(α)。（16）利用类似的论元，我们得到了infx∈Lεvarα(X)=-f-1Lε(α)，(17)其中flε(X)=(1-ε)F(X)+εfl0,1(X)。因此，模型风险的局部测度isLM=Limε→0-f-1Lε(α)-Varα(X)-f-1Lε(α)+f-1Lε(α)。（18）如果我们设ρ(ε)=f-1Lε(α)，那么，通过对(1-ε)F(ρ(ε))+εFL0,1(ρ)-F(ρ)+ε(F′l0,1(ρ)-F(ρ)+F(ρ)=0，其中F=F′是x的密度。

设置ε=0和d，观察ψ(0)=f-1(α)=-varα(X)，因此，我们很容易地得到了F(θ(0))=α-FL0,1(-varα(X))F(-varα(X)).以非常相似的方式，我们可以证明了θ(ε)=f-1Lε(α)satitiesθ\'(0)=α-FL0,1(-varα(X))F(-varα(X)).将de L\'H Opital规则应用到（18）中，并简化我们得到的结果LM=FL0,1(-varα(X))-αFL0,1(-varα(X))-FL0,1(-varα(X))-FL0,1(-varα(X))-FL0,有FL0,1(-varα(X))=1+varα(X),FL0,1(-varα(X))=0,我们可以立即得到计算结果。注5.5记住来自（16）和（17）的形式ofFL0,1和FL0,1,很容易得到，如果α不太大，r=su px∈Lεvarα(X)是(1-ε)F(-r)+ε1+r=α的唯一解，而infx∈Lεvarα(X)=varα1-ε(X)。这个结果允许我们计算关于ε值的模型风险相对于ε的相对测度。作为说明，我们计算了当X是standardnormal或Student-t时模型风险的局部测度（见图6）。与我们在上一节中所做的观察一致，关于相对测度，我们认为，只有当α足够小时，从一个fattailed参考分布开始，相对于一个范数分布才会产生一个较低的局部测度。Barrieu a nd Ravanelli（2013）中也有类似的证明：假定α6(1-ε)F(0)0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.70.750.80.850.90.951图6：VaR模型风险的局部测度是α的函数。连续线：XStandardNormal。虚线:XStudent-t，具有v=3自由度。6结论研究模型风险的影响及其量化是整个风险度量过程的重要组成部分。本文介绍了在agiven类中选择特定参考模型时模型风险的定量度量：模型风险的绝对度量、模型风险的相对度量和模型风险的局部度量。我们提出的每一个度量都有一个特定的目的，因此在它们的使用中考虑到了SovereXib的灵活性。我们在一些有趣的情况下得到了显式公式，以强调我们的方法的实用性和可扩展性。然而，我们的贡献并不局限于这些特殊例子的研究，我们对模型风险的度量可以应用于更广泛的情况。参考文献[1]Acerbi，C.2002.风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。银行与金融学报26（7）1505-1518[2]亚历山大，C.J.M.萨拉比亚。2012年。分位数不确定性和风险价值模型风险。风险分析32（8）1293-1308。[3]Barrieu,P.,C.Ravanelli.2013年。模型风险下的稳健资本要求，工作文件，FinRisk.[4]B-奥勒，N.,A.M-勒。2006年。随机序与风险测度：一致性与有界S。保险：数学与经济学38.132-148.A·萨马罗夫·劳普雷特。2004年。作为风险度量的缺口：属性、优化和应用。经济学的J.戴恩。[6]Billingsley,p.1995。概率与测度。（第3版）。[7]陈文，辛明，孙俊，C.P.提奥。2010年。从CVaR到不确定集：联合机会约束优化的含义。运筹学58（2）470-485。[8]续，r.2006.模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。数学解释16（3）519-547。[9]续，R.R.Deguest,G.Scandolo。2010年。FRISK测量程序的鲁棒性和灵敏度分析。数量金融10（6）593606.[10]El Ghaoui,L.,M.Oks,F.Oustry.2003年。最坏情况风险价值与robu stportfolio优化：一种二次规划方法。运筹学51（4）543-556.[11]Embrechts,P.,G.Puccetti,L.Réuschendorf.2013年。模型不确定性和变聚合。《银行与金融杂志》（待刊）。[12]Hyrlimann,W.2002。两种危险价值的分析界限。Astin Bulletin 32（2）235-265.[13]H-Urlimann,W.2008.极值矩法和随机序。

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