城市零售模型中集聚模式的随机稳定性

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收藏 2022-04-20

摘要翻译：
我们考虑了Harris和Wilson提出的城市空间结构模型（环境与规划a,1978）。该模型由快速动力学和慢动力学组成，前者通过熵最大化原理表示位置之间的空间相互作用，后者表示促进这种空间相互作用的局部因素的空间分布演变。Harris和Wilson模型的一个已知的局限性是它可以有多个局部稳定的平衡点，导致预测依赖于初始状态。为了克服这一点，我们利用随机稳定性的平衡精化。我们建立在这样一个事实上，即模型是一个大种群势博弈，势博弈中的随机稳定状态对应于全局势极大化。与确定性动态下的局部稳定性不同，随机稳定性方法允许对城市空间配置进行唯一和明确的预测。我们发现，在最可能的空间配置中，零售集聚的数量会随着消费者购物成本的降低或集聚效应的增强而减少。
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英文标题：
《Stochastic stability of agglomeration patterns in an urban retail model》
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作者：
Minoru Osawa, Takashi Akamatsu, and Yosuke Kogure
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics 经济学
二级分类：Theoretical Economics 理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Economics 经济学
二级分类：General Economics 一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Dynamical Systems 动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Physics 物理学
二级分类：Pattern Formation and Solitons 图形形成与孤子
分类描述：Pattern formation, coherent structures, solitons
图案形成，相干结构，孤子
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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英文摘要：
We consider a model of urban spatial structure proposed by Harris and Wilson (Environment and Planning A, 1978). The model consists of fast dynamics, which represent spatial interactions between locations by the entropy-maximizing principle, and slow dynamics, which represent the evolution of the spatial distribution of local factors that facilitate such spatial interactions. One known limitation of the Harris and Wilson model is that it can have multiple locally stable equilibria, leading to a dependence of predictions on the initial state. To overcome this, we employ equilibrium refinement by stochastic stability. We build on the fact that the model is a large-population potential game and that stochastically stable states in a potential game correspond to global potential maximizers. Unlike local stability under deterministic dynamics, the stochastic stability approach allows a unique and unambiguous prediction for urban spatial configurations. We show that, in the most likely spatial configuration, the number of retail agglomerations decreases either when shopping costs for consumers decrease or when the strength of agglomerative effects increases.
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kedemingshi

2022-4-20 21:54:31

城市零售模型中集聚模式的随机稳定性*Minoru Osawa,_takashi Akamatsu,.和Yosuke Kogure§2020年11月16日摘要我们考虑Harris和Wilson提出的城市空间结构模型（Environmentand Planning a,1978）。该模型由快速动力学和慢动力学组成，前者根据熵最大化原理表示位置之间的空间相互作用，后者表示促进这种空间相互作用的局部因素的空间分布演化。Harris和Wilson模型的一个已知的局限性是它可以有多个局部稳定的平衡点，导致预测依赖于初始状态。为了克服这一问题，我们采用了随机稳定性的方法。我们建立在这样一个事实上：模型是一个大种群势博弈，势博弈中的随机稳定状态对应于全局势极值。与确定性动态下的局部稳定性不同，随机稳定性方法允许对城市空间聚集进行唯一和明确的预测。我们发现，在最有可能的空间聚集中，零售聚集的数量要么随着消费者购物成本的降低，要么随着聚集强度的增加而减少。关键词：零售聚集；空间相互作用；多重平衡；局部稳定性；Jel分类:C62、R12、R13、R14*我们感谢铃木雅史和山口周平对研究的慷慨帮助。Minoru Osawa感谢JSPSKAKENHI17H00987和19K15108的支持。Osawa.minoru.4z@kyoto-u.ac.jp；日本东北大学信息科学研究生院，06-Aroamaki-Aoba,Aoba-ku,Sendai,Miyagi,980-8579,日本东北大学工学院，06-Aroamaki-Aoba,Aoba-ku,Sendai,Miyagi 980-8579,Japan。理解城市的结构、功能和动态是当代科学研究的中心问题之一。城市的主要特征包括地点的活动、地点之间的空间模式以及促进这些活动的内部空间结构。为了对这些系统进行建模，Wilson(2007)提出了Boltzmann-Lotka-Volterra(BLV)方法。BLV方法是快速动力学（“Boltzmann”分量）和慢动力学（“Lotka-Volterra”分量）的综合。快速动力学描述了短期的空间相互作用模式（即地点之间的关系，如始发地和目的地之间的行程分布）和短期的Payo景观。慢动态描述的是流动因素在空间分布上的逐渐演变，这些因素支配着流动人口的生成和吸引（即，地点的存量，如原点的出行需求和目的地的吸引力）的过程。基于空间相互作用的快速动力学遵循熵最大化框架(Wilson，1967，1970)。BLV形式主义通过考虑股票价值在地点的依赖于信息的演化，增加了缓慢的动态。这种短期和长期动态的结合在Fujita等人合成的《新经济地理学》中得到了体现。BLV方法的原型是Harris and Wilson(1978)(HW)模型，这是在城市地区零售集聚自发形成模型方面的先驱工作。Harris和Wilson在Hu Alter(1963)、Lakshmanan和Hansen(1965)的静态购物模型的基础上，建立了具有集聚力的空间结构动态模型。

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2022-4-20 21:54:37

他们的研究表明，这样一个模型可以表现出多重平衡、路径依赖和突变相变。尽管他们的研究将城市以外地区零售集聚的形成视为一种应用，但HW模型，以及更广泛的BLV方法，具有更广泛的应用范围，包括物流(Leonardi，1981a，b)、考古学（Bevan and Wilson，2013；Paliou and Bevan，2016)、医疗保健（Tang et al.，2017)和犯罪（Davies et al.，2013；Baudains et al.，2016)等等（见Dearden and Wilson，2015年，关于BLV方法应用的阐述）。鉴于这些不同的应用，有必要对HW模型的分析方面有一个坚实的理解。HW模型的一个关键问题是它收敛于多个平衡点中的一个，依赖于初始条件。早期对模型分析性质的探索主要集中在可处理性的两个位置设置上（例如，Clarke，1981；Wilson，1981；R K andVorst，1983a，b)。然而，他们已经提出，可能会出现多个局部稳定的平衡。此后，在多地点环境下对HW模型进行的大量数值模拟表明，可以产生许多局部稳定的均衡（Clarke and Wilson，1983，1985；Wilsonand Dearden，2011；Dearden and Wilson，2015)。此外，通过使用byAkamatsu等人开发的分析方法。(2012)，Osawa et al.（2017）正式说明了该模型在多位置设置中允许多个局部稳定状态。多个局部稳定状态的存在意味着模型的预测可能难以捉摸，并提出了关于文献中数值计算的鲁棒性问题。为了克服这一问题，我们引入了一种新的方法，允许对HW模型中最大可能的空间分布进行明确的预测。我们使用了随机稳定性方法。我们发现HW模型是一个潜在的博弈（Monderer and Shapley，1996；Sandholm，2001，2009)。在势博弈中，已知全局势极大集是随机稳定的。通过势函数的全局极大化，可以确定模型结构参数的每一给定值下可能的空间集聚模式。这与文献中的局部稳定性方法形成了对比，后者展示了可多重平衡。本文将随机稳定性方法应用于二维平方经济，证明了在最有可能的空间范围内，当消费者购物成本降低或聚集中心强度增加时，零售聚集的数量会减少。这些结果证实了文献中的数值计算结果。第2节讨论了我们对文献的贡献。第3节介绍了HW模型。第4节给出了形式上的例子来证明HW模型可以同时允许多个局部稳定的平衡点。第五节说明HW模型是一个潜在的博弈。第6节回顾了本文所采用的随机稳定性方法，并给出了一个简单的例子。第7节将随机稳定性方法应用于二维经济中的HW模型。2相关文献Harris和Wilson(1978)表明，他们的模型归结为一个关于空间相互作用模式和零售商空间分布的Ascalar值函数的最大化问题，因此，我们可以将HW模型解释为一个大种群潜在博弈(Sandholm，2001，2009)，这反过来又允许我们以一种简单的方式应用博弈论文献中发展的随机稳定性方法。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:54:43

具体而言，在潜在博弈中随机演化动力学的平稳分布往往成为玻尔兹曼-吉布斯测度，它在实现更高的潜在值的空间条件下赋予更高的概率。随机稳定性考虑平稳分布的一些极限，例如，“低温”极限，其中分布集中在势函数的唯一全局极值集上(Blume，1993，1997)。因此，该方法将全局势极值视为随机稳定状态。我们采用Sandholm(2010)关于当玩家数量增长到一定数量，噪声水平减小时，平稳分布的极限行为（“双重极限”）的结果。SeeWallace和Young(2015)对博弈论中随机稳定性方法的调查。随机稳定性和潜在博弈在城市空间环境中的一个成功应用是谢林（1971）著名的隔离模型，在该模型中，一定数量的代理人在离散网格上选择他们的位置。谢林的研究表明，微小的微观相似性会导致两组人在宏观上的分离。通过考虑个体效用函数的几种特殊函数形式，Zhang(2004a，b，2011)表明，可以用势函数扫描来刻画模型的平衡点。Grauwin等人（2012）在Zhang工作的基础上，将Schelling模型表述为空间进化博弈，并使用潜在博弈方法提供了一般分析。张(2004a、b、2011)和Grauwin等人。（2012）考虑了具有一定数量的Agent的博弈和当随机性减小时随机动力学的平稳测度的极限行为--小噪声极限（Foster and Young，1990；Kandoriet al.，1993)。为了研究存在一个连续体的HW模型，我们建立在Sandholm(2010)第12节的基础上，并考虑了当个体数量趋于有限且噪声降低时的双重极限。尽管本研究中使用的随机稳定性方法隐含地考虑了随机演化动力学，但由于它考虑了Boltzmann-Gibbs测度的极限行为，其预测是确定性的。人们可以直接研究从HW模型得到的随机微分方程(SDE)的行为。例如，Vorst(1985)考虑了HW模型的anSDE版本，提出了一个独立的随机稳定性概念，证明了模型中的平衡点在唯一时是全局吸收的。与此相比，我们的方法可以处理模型具有多个局部稳定的欠确定性动力学平衡点的情况。最近，Ellam等人。（2018）提出了一种基于anSDE公式的HW模型引入不确定性的统一方法，并给出了参数估计的贝叶斯方法。他们利用HW模型的势函数的存在来方便分析，因为与SDE公式相关的Boltzmann-Gibbs平稳分布是参数估计数据生成过程的一个组成部分。我们的方法转而关注不变测度的极限行为，以获得对HW模型的集聚行为的更清晰的理论见解。我们对空间经济模型中潜在博弈方法的文献做出了贡献。Beckmann(1976)认为，中央商务区的形成是由于代理人的社会偏好而形成的，而Mossay和Picard(2011)又重新审视了这一理论。Blanchet等人通过将Mossay和Picard(2011)的框架与Beckmann型社会外部性进行了概括，从而得出了一个结论。（2016）提供了一个变分（潜力最大化）公式的城市空间模型的一般类别，在连续空间中有一个连续的代理人。

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kedemingshi

2022-4-20 21:54:48

尽管一些作者已经解决了这个问题（例如，Bragard and Mossay，2016年），但在这种连续空间模型中的稳定性特征是di-chult。相反，通过考虑Beckmanntype模型的离散空间版本，Akamatsu等人。（2017）提供了一个潜在的函数，可以通过更基本的策略进化动力学方法来表征平衡的稳定性（正如Sandholm调查的那样，2010)。类似地，Osawa和Akamatsu(2020)表明，Fujita andOgawa(1982)关于acity多个商业区形成的开创性城市经济学模型是在离散空间中制定的潜在博弈的一个实例；势函数的全局最大化也是该模型的一种有效的分析方法。我们期望discretespace方法可以为连续空间模型提供一个可操作的策略，包括谢林框架的变体，具有连续的代理人和连续的空间（而不是离散的代理人和离散的空间），如Mossay和Picard(2019)的模型。3城市零售模型我们Brie Ciry回顾了遵循Osawa等人版本的HW模型。（2017年）。考虑一个包含K∈Z离散区域的城市，其中Z是整数集。设[K]yen{1,2,...,K}表示这组区域。在城市中存在着一个可以进出任何区域的大型零售商连续体，而城市中零售商的均衡质量是由一个均衡条件给出的。零售商的空间分布由x=(xi)i∈[K]表示，其中xi≥0是区域i∈[K]中零售商的质量。当xi>0时，calli∈[K]为零售集聚。零售商的空间分布x是模型的内生变量，消费者的空间分布是外生的。每个消费者购买零售商销售的商品的数量。消费者的购物行为是由一组受原产地约束的重力方程来建模的，该方程最初是从熵最大化原理(Wilson，1967)导出的，这是logit模型的基础。来自j区的消费者在i区的价值为vij(x)=xαiexp-βtji∑K∈[K]xαkexp-βtjk-qj，(3.1)其中，qj>0表示j区的总需求；TJI是从j区到I区的广义旅行成本；α>0表示规模经济；而β>0表示需求在距离上减少的速率。除零售商的空间分布x外，其他变量均为外生变量。在HW\'sterminology中，Xαii代表了i区对消费者的吸引力，零售商进入一个区域的总成本κ>0。第一区的总收入平均分配给其中的零售商。区域i中的零售商是x的函数，其结果由以下方程给出:πi(x)xi∑j∈[K]vij(x)-κ=∑j∈[K]xα-1iφji∑K∈[K]xαKφjkqj-κ，(3.2)其中φijexp-βtij=(0,1]。我们给出了D[φij]ij∈[K]×[K]和π(x)(πi(x))i∈[K]。可以假定所需的成本κ是跨地点的。由于这样的假设只改变xi的尺度，为了简单起见，我们假设κi=κ.零售商的均衡空间分布是由他们的进出行为决定的。如果πi(x)>0，零售商进入区域i；如果πi(x)<0，零售商退出区域i；如果πi(x)=0，零售商不改变区域i。即xi>0意味着πi(x)=0，πi(x)=0意味着xi≥0；因此，所有区域的零售商都达到零利润均衡。另外，xi=0意味着πi(x)≤0；零售商没有动力重新定位或进入没有零售商的区域。这是由以下互补条件表示的:Xiπi(x)=0,Xi≥0,πi(x)≤0？i∈[K]。（3.3）模型中空间平衡的定义如下。当x≥0的状态满足（3.3）时是空间平衡态。在文献的基础上，我们研究了模型结构参数变化时空间平衡模式的演化。我们特别关注α和β的作用。注1。

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可人4

2022-4-20 21:54:55

在模型的任意空间平衡下，∑i∈[K]xiπi(x)=0；即∑i∈[K]qi=κ∑i∈[K]xi。左手边是零售商的总收入，而右手边是他们的总成本。与正性x≥0一起，这意味着任何空间平衡都必须位于以下闭凸集（Harris和Wilson,1978）中:xnx≥0κ∑i∈[K]xi=Qo,(3.4)其中Q∑i∈[K]qi。因此，∑i∈[K]xi=qκ.在不丧失一般性的情况下，Weassumeqκ=1用于归一化，X变成(k-1)-单纯形。局部稳定平衡点的4多重性已知HW模型同时允许多个空间平衡点。如R.Kand Vorst(1983b)指出，当K为均匀时，至少存在(kk/2)+1个正的空间平衡。为了获得符合实际的结果，文献关注于确定性调整动力学下的局部稳定平衡，即BLV方法的“慢动力学”，其定义为:πxi=Ei(x)xiπi(x)=∑j∈[K]xαiφji∑K∈[K]xαKφjkqj-κxi。(D)这与平衡条件（3.3）是一致的，因为(D)的任何驻点都是aspatial平衡点。作为X上的一个演化动力学，(D)是复制者动力学的一个特例（Taylor and Jonker，1978)，其中平均Payo总是为零，在(D)下，X在Rn+中是全局吸引的。当Q>κ∑i∈[K]xi时，零售商的总质量增加，当Q<κ∑i∈[K]xi时，零售商的总质量减少，因为∑i∈[K]πxi=∑i∈[K]ei(x)=∑i∈[K]xiπi(x)=q-κ∑i∈[K]xi)=q-κ∑i∈[K]xi。（4.1）因此，我们可以在不丧失一般性的情况下关注X中的状态。(D)下基于局部稳定性的平衡重新定义可以使许多平衡点成为局部稳定状态。例如，当α>1时，零售商在任何一个区域的单中心集中总是局部稳定的。命题1。假设α>1。然后，对于任意D=[φij]，零售商在单个区域的完全集中，即XI=qκ=1和XJ=0(J6=i)，对于某些i∈[K]，是局部稳定的空间平衡。证明。如果x*i=1和x*j=0(j6=i)，那么它是一个严格的平衡，因为如果α>1，则πi(x*)=0>-κ=πj(x*)(j6=i)。因此，在包括(D)（Sandholm,2014）在内的广泛动态下，它是局部稳定的。当α>1时，在消费者的任何旅行成本水平上，稳定均衡的数量（至少）与区域的数量一样多。进一步，Osawa等人的以下结果。（2017）具体论证了具有两个以上零售集聚的非平凡空间模式可以在本地稳定。(a)K=2circle(b)x(0)=*x(c)x(1)(d)x(2)(e)x(3)(f)x(4)图1：循环经济和对称空间控制可以同时在本地稳定。灰色圆盘表示人口密集区或零售集聚区的零售商数量。假设α>1。考虑一个一维循环经济，其中φij=φ`ij，φ∈(0,1）和`ij=min{i-j,k-i-j}。假定K=2J，J≥3。当φ和α都很小时，0≤k≤J且x=k的形式x(k)(2k_x,0,0,...,0{z}kelements,2k_x,0,0,..,0{z}kelements,..,2k_x,0,0,..,0{z}kelements,..,2k_x,0,0,..,0{z}kelements{z}重复k/2k=2j-ktimes)(4.2)的所有空间模式同时局部稳定。参见Osawa等人。(2017)，命题4。图8从数值上证明了这一结果，如果x(k)(k≥2)是局部稳定的，则所有x(l)(l≥k)都是局部稳定的。在K=2=16的情况下，图1显示了循环经济和空间模式{x(K)}1≤K≤j。另外，除{x(k)}1≤k≤j以外的空间模式也可以同时局部稳定。这些例子表明，基于局部稳定的平衡重构可以使平衡保持稳定。我们还将在6.2和7节中用数字说明这个问题。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:55:01

为了缓解这一问题，我们引入了一种新的平衡重估方法，即基于随机稳定的方法。5潜在博弈表示法。在这里，我们观察到HW模型是一个大种群潜在博弈。Largepopulation游戏的定义如下（例如，Sandholm，2010年的一项调查）。考虑一个由一个连续的同质代理人玩的游戏。设[S]={1,2,....,S}为策略集，其中S∈Z为策略个数。LetY§{y∈Rs+∑i∈[S]yi=1}是所有可能的策略分布的集合，其中r+是非负实数的集合，yi∈[0,1]是参与策略i∈[S]的Agent的份额。设F:Y→RSbe为Lipshitz连续Payo函数，其Ih分量Fi:Y→R映射出在状态Y处扮演i∈[S]的agents的状态Y∈Y topayo Fi(Y)。元组([S],F）被称为大种群博弈。我们遵循惯例，其中F被定义在Y的一个开放邻域上，因此它的di值在Y上是好的。HW模型可以被看作是一个大种群博弈([K],π)，其中零售商的策略集是[K]，它们的Payo函数是π。当我们知道X包含模型的allequilibria时，我们可以将注意力集中在X中的状态上。Payo found函数是可积的大种群博弈称为大种群潜在博弈(Sandholm，2001，2009)。一个大种群对策([S]，F)是一个势对策，如果在Y={Y∈RS+∑i∈[S]yi=1}的邻域内有一个标量值函数F，它满足F(Y)yi=Fi(Y)对所有i∈[S]和Y∈Y的要求。HW模型是一个大种群潜在博弈。：以下函数f:rn+→R是Payo函数π的势函数:f(x)α∑j∈[K]qjlog∑K∈[K]xαKφjk！-κ∑i∈[K]xi,(P),因为对于所有x∈rk+我们有[f(x)=π(x)。fiefrst项表示消费者的可及性，而第二项表示零售商的总成本。由于HW模型的所有空间均衡都包含在X中，所以HW模型的均衡及其性质用以下潜在最大化问题来刻画。Maxx∈X。f(x)。(PM)首先，极值的阶必要条件（Karush-Kuhn-Tucker条件）等价于平衡条件（3.3）。其次，在各种确定性动力学下，局部最大值集与局部稳定状态的最大值集是一致的，包括(D)。例如，它在最佳响应动力学（Gilboa and Matsui，1991)、Smith动力学（Smith,1984)、Brownvon Neumann-Nash动力学（Brown and von Neumann,1950；Nash,1951）和一类Riemanniangame动力学（Mertikopoulos and Sandholm,2018）下是稳定的，其中包括投影动力学（Dupuisand Nagurney,1993）作为一个特例。如果α∈(0,1）,那么我们可以证明f是严格凸的，从而(PM)有唯一的全局极大子。这一事实为HW模型中α∈(0，1)时平衡的唯一性提供了一个简单的证明，这一唯一性最初由R K和Vorst(1983a)的定理2或Vorst(1985)的定理1所证明。Vorst(1985)指出，当α∈(0，1)时，(P)是(D)的Lyapunov函数。另外，根据势函数f，命题1有另一种解释。X的每一个角都对应于零售商在一个区域的充分集中。如果α>1，它们都是问题(PM)的局部极大值，因而局部稳定。评论3。对于X中的任意两个平衡点X*和X**,当∑i∈[K]X*i=∑i∈[K]X**i=qκ=1时，我们得到了f(X*)-f(X**)=g(X*)-g(X**)，g是f在(P)中的第1项，它对应于固定消费者对零售聚集的总可及性的一个welfaremeasure（Harris and Wilson,1978；Leonardi,1978）。

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能者818

2022-4-20 21:55:07

它是transportresearch中常用的对数和函数，最初由Williams(1977)提出（见de Jong et al.，2007年，最近的调查）。对于HW模型，它对应于logit模型下不动消费者期望最大效用的社会集合，具体而言，i∈[K]中的消费者通过最大化形式uij=αlogxj-βtij+e，e为i.i.D的随机效用来选择他们的购物目的地j∈[K]。甘贝尔。均衡潜在值越大，均衡状态下的固定消费者对零售集聚区的可达性就越大。6平衡重估的随机稳定性方法6.1随机重估、随机稳定性和势函数正如我们在第4节中看到的，在确定性动力学下基于局部稳定性的平衡重估在HW模型中可能导致不确定的预测。为了克服这一问题，我们在给定幂函数存在的情况下，采用了一种基于随机稳定性的更强的平衡点重新定义。Sandholm(2010)第11.5和12.2节发展了一个理论，在这个理论下，势函数的全局最大值是随机稳定的。我们回顾了他的分析的本质。参见Wallace and Young(2015)关于随机稳定性方法的更广泛的调查。为了了解状态的随机稳定性，我们引入了零售商的随机搬迁动力学。为此，我们把HW模型看作是该模型的离散（或原子）和随机模拟的连续（或大种群）和确定性极限，假设有一个（但很大）零售商数目，而不是连续统，并设N∈Zbe为零售商数目。然后，将零售商扫描的策略分布（空间分布）看作离散集Xn coux的一个元素，由XnX∈xNx∈ZK构成。对于x∈XN，我们有x∈0,N,N,...,N-1,N,1}。每个零售商都有策略修正机会（即，它可能退出一个区域，然后进入另一个区域），这是一个单位速率的泊松过程。当处于区域i的零售商在状态x∈XN处获得修正机会时，它根据以下logit规则从区域i切换到J6=i，ρj(x)=expη-1πj(x)∑K∈[K]exp(η-1πK(x)),(6.1)其中η>0。如果πj(x)>πk(x)，我们有ρj(x)>ρk(x)，这意味着零售商更喜欢价格更高的位置。参数η可以解释为零售商选择中的噪声水平，因为η→0意味着每个零售商以概率1的最高利润转向j。如果η很高，零售商就会做出次优选择，并重新定位到比当前选择更少的有利区域。这些行为假设导致零售商的空间分布在离散状态空间XN上出现随机动态或aMarkov过程{XNt}。它有一个共同的跳变率N，从状态x∈xn到y∈xn的跃迁概率如下：如果y=x+N(Ej-ei),则pnx→y=xIρj(x),如果y=x，j6=i∑i∈[K]xIρi(x),否则0,（6.2）,其中ei是Rk中的第ith标准基。Sandholm(2010)定理11.5.12表明，马氏过程{XNt}在xna上存在唯一的平稳分布μn，η如下，μn，η(x)=Zn！πK∈[K](Nxk)！expη-1fn(x)，(6.3)，其中Z>0是保证∑x∈Xnμn,η(x)=1的归一化常数；函数fn:xn→R是大种群情况下势函数f的离散模拟，其细节与我们的目的无关。在演化博弈论中，当一个随机动态的平稳分布在动态调整过程的结构参数的一定范围内赋予一个状态一个正的权重时，我们只要求{NfN}一致收敛于f。在演化博弈论中，当一个随机动态的平稳分布赋予该状态一个正的权重时，就可以说该状态是随机稳定的。

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mingdashike22

2022-4-20 21:55:13

一个主要的例子是商场噪声极限中的随机稳定性（Foster and Young，1990；Kandori et al.，1993)。当limη→0μn,η(x)>0时，在噪声小限值内随机稳定的状态为x*∈XNis。（6.4）在极限η→0时，零售商选择价格较高的区域的概率较大。因此，小噪声限值是一个确定性的极限，其中噪声消失，零售商恢复最优选择行为。小噪声限值可以用公式（6.3）来理解。我们有μn，η(x)μn，η(y)=πK∈[K](Nyk)！πK∈[K](Nxk)！{z}常数η.expη-1fN(x)-fN(y)(6.5)两态x，y∈xn。如果fN(x)-fN(y)>0，那么右手边的增长非常大，即η→0。也就是说，当η变得越来越小时，μn，η在Fn值越大的状态上分配的概率越高。在极限μn，η集中于全局最大化的状态。因此，离散势FNA的全局极大值在小噪声极限下是随机稳定的。与小噪声极限类似，双极限考虑了N→∞和η→0的情形。通过这两个限制，我们恢复了我们的模型，在第3节中，零售商不会招致错误，零售商的集合是一个连续体。因此，双极限中的随机稳定性为确定性大种群模型提供了一个重新定义的过程。我们对双重限制采用以下结果：事实1(Sandholm(2010)，推论12.2.5)。平稳分布μn，η集中于势函数f在双极限下的全局极值；也就是说，一个潜在博弈中的全局极值集在双极限下是随机稳定的。6.2应用随机稳定性&随机稳定性比局部稳定性对空间平衡提供了更强的解释，因为后者对应于观察f的局部极大值。简单地说，我们研究问题的globalmaximizers的性质。为了应用基于随机稳定性的重新定义，进行如下步骤：第一步确定参数θ∈θ,其中θ是结构参数的可行集，枚举所有空间模式X*1(θ),X*2(θ),X*3(θ),。.可以是势函数的局部极大值，且设E(θ)ζ{x*1(θ),x*2(θ),x*3(θ),...}步骤2选择势f的全局势最大值(·，θ)通过比较E(θ)中的候选平衡模式的电位值。第3步通过在θ中移动θ并重复上面的两个步骤，由于假定零售商的地理环境（即{tij}和{Qj}）是外生的，所以模型的主要结构参数为α和β，并且我们将qκ=1归一化。由于给定θ的随机稳定状态x*必须满足x*∈arg maxx∈E(θ)f(x,θ),所以局部势极值集E(θ)包含了θ处的所有全局势极值。通过穷尽参数空间θ中所有可能的θ，我们可以得到它的基于随机稳定性的划分，这为模型的含义提供了基本的见解。下面，我们考虑一个说明性的例子。假设一个对称的双区城市；设K=2,T=T=0,T=T=1,Q=Q=κ，则Qκ=1。为了图的完备性，我们使用φexp(-β)∈(0,1）,(6.6)，这是消费者跨区域旅行的自由程度。对于α，我们设α=1.2。我们注意到文献中对α的首选估计为1.18，这是通过将该模型应用于伦敦零售系统（Ellam et al.，2018)得到的。图2显示了空间平衡点以x为单位沿φ轴的分岔图。图2a考虑了平衡点在(D)下的局部稳定性。黑色固体曲线表示局部稳定平衡，而灰色虚线表示局部不稳定平衡。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:55:21

由于两个区域是对称的，零售商x=的均匀分布，跨区域零售商x=的分布总是一个空间均衡。它对小φ是稳定的，在φ=1-√α1+√α处变得局域不稳定，且具有αα-1α（Osawaet al.,2017,Proposition 1）。如果零售商最初是均匀分布的，那么当φ较小时，它是稳定的，φ的稳定增加会导致零售集聚在φ*的自发形成。唯一稳定的均衡是*x和完全集中度x*1(1,0）和x*2(0,1）（或者简单地说，零售商在任一区域内的集聚）。凝聚对所有φ都是局部稳定的，不符合命题1。当φ∈(0,φ~*)时，三个平衡点都是稳定的；没有进一步选择一个（或两个）的标准。然而，当φ∈(0,0.2）时，图2a表明凝聚的吸引区域非常小。这表明一个很小的扰动是0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0(a)局部稳定性0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.81.0(b)f0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.81.0(c)随机稳定性图2：双区对称城市平衡的局部稳定性和随机稳定性(α=1.2,φexp(-β))。面板(a)：细箭头表示动态(D)下的调整方向。这些黑色曲线表示X的局部稳定平衡值。虚线灰度曲线是局部云稳定的平衡点。图面(b)：空间f在(φ，x)空间上的轮廓。红色表示电位值较高。(c)：随机稳定性对平衡的修正。黑色固体曲线指示稳定的平衡，当φ较小时，平衡向弥散方向推进。在这方面，当φ较小时，凝聚“不太相关”。图2b显示了f在(φ，x)空间上的等高线，以及空间平衡曲线2a。空间平衡的路径追踪f的极值。局部稳定平衡点是局部极大点，而局部不稳定平衡点是极小点或鞍点。因此，在步骤1中，我们对所有的φ=(φ)=x，x*1，x*2。图2c是通过将势函数inE(φ)在φ的每个水平上全局最大化（即步骤2)，然后改变φ（即步骤3）得到的分叉图。形式上，我们得出如下结论。命题3。假设K=2，并考虑t=t=0,t=t=1,和q=q=κ.设φ③③(4α-2-pα(4α-1))。然后，当φ∈(0,φ**)时，色散x=(，)是随机稳定的，而团聚x=(1,0）或x=(0,1）在φ∈[φ**，1)时是随机稳定的。对于任意α>1，φ=φ**解方程f(*x,φ)=f(x*1,φ)。当φ∈(0,φ**)时，均匀分布叶上使f在X上最大，而凝聚在φ∈[φ**，1)时使f在X上最大。通过比较图2a和图2c，我们看到后者通过忽略“不太相关的”局部极大值而提取前者的本质含义。因此，随机稳定性提供了一种简化分岔图的方法，同时保留了模型的基本含义。图3显示了基于命题3的参数空间的划分。省略了α∈(0,1）的情况，因为当α∈(0,1）时，平衡是唯一稳定的（R K和Vorst,1983a)。在命题3中，灰白区域的边界曲线为φ**。团聚在阴影区是等随机稳定的，而弥散在覆盖区是随机稳定的。示意图显示了每个区域随机稳定的空间格局。当α较高和/或β较低时，即φ=exp(-β)较高时，团聚趋向于随机稳定，虚线表示x局部不稳定的阈值φ*。色散度x0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0图3：双区城市(α≥1)中的随机稳定态。黑色的实线（虚线）曲线表示凝聚的随机稳定性（分散的局部稳定性）的阈值。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:55:28

在近视眼动力学(D)下，离散在虚线下局部稳定，而集聚总是局部稳定的1 2 3 4 5 67 8 9 10 11…31 32 33 34 35 36…26 27 28 29 30(a)平方经济1 2 3 436 35……(b)周期边界条件(c)一种集聚模式图4:6×6平方经济，周期边界条件在虚线下局部稳定，而集聚总是局部稳定的。图2对应于图3在二维α=1.2.7势极值平衡时的横截面。双区示例表明，随机稳定性方法是从HW模型中提取本质含义的有效方法。作为进一步的说明，我们将注意力转向维度空间，这是模型实际应用的焦点。我们的目的是获得二维设置的图3的模拟。区域科学中理论研究的标准对称设置是根据中心位置理论(Christaller，1933；L"osch，1940)扩展的二维空间。作为一种在适当扩展的二维空间的模拟，我们考虑一个具有周期边界的对称正方形经济。图4a显示了经济，其中顺序编号的区域用圆表示；细线表示运输网络。这些区域等距放置在一个正方形网络上；每个相邻区域之间的距离是一个单位。我们关注caseK=6×6=36，这是可以被2和3除的最小平方数。图4b说明了周期边界条件。例如，区域1不仅与区域2和7相邻，还与区域6和31相邻。如图所示，这种经济可以看作是一个扩展了的二维空间的近似。虽然我们关注的是K=36的情况，但考虑到更高的K并没有在质量上改变结果（Ikeda et al.，2018，2019)。图4c显示了一个四中心模式，作为这种经济中集聚模式的一个例子，其中灰色圆盘示意性地显示了零售商的空间分布x。6×6格子中的空间构型可以看作二维空间上的一个完全重复的构型，设φij=φ`ij，对所有i,j∈[K],其中`ij≥0是i与j之间的最短路径长度，φ=exp(-β)。例如，`1,2=1,`1,9=3,`1,36=2和`1,28=5。或者，φij=exp(-β`ij)。假定消费者需求是空间均匀的:qj=qk，对于所有j∈[K]。在此基础上，我们抽象出所有由底层传输网络引起的外生优势，并着重于HW模型中的内生机制。考虑这种多区域设置的要点在6.2节讨论的步骤1中。列举所有的平衡实际上是不可能的。为了缓解这种情况，我们使用Ikeda等人开发的asystematic方法。（2018,2019）列举了空间均衡的所有重要候选项：不变均衡。不变均衡是一类特殊的均衡模式，其中所有零售集聚区（有零售商的区域）拥有相同数量的零售商。空间平衡xutolutix是一个不变平衡，如果xutoli=M，对于所有i∈supp(xutol)ζ{i∈[K]xutoli>0}，其中M=supp(xutol)是零售聚集的数目。例如，如果K=2，如第7节所示，X=，，X=1=(1,0）和X=2=(0,1）是不变的tequilibria，它们用尽了所有可以局部稳定的平衡模式。

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可人4

2022-4-20 21:55:35

对于本节所考虑的6×6平方经济，有83个不变均衡（见附录B中的图9）。对于具有空间均匀需求的一般K区经济(qj=q/K，对于所有j∈[K])，在任何不变均衡中，所有零售集聚区都必须在地理上对称，因为它们具有共同的市场份额水平。为了看到这一点，考虑一个空间模式X*，其中零售商均匀地位于M≤K区域。对于满足平衡条件πi(x^)=0的x^i，它必须是∑j∈[K]φj∑K∑supp(x^)φjkqjx^i-κ=∑j∈[K]φjΦj(x^)qmk-κ=0±i∈supp(x^)，(7.1)因为x^i=1/m对于每一个i∈supp(x^)；Φj(X~*)=∑K∈SUPP(X~*)φJKI是从j区到零售集聚区的总可达性。我们注意到，φjiφjiΦj(x*)是购物需求在j的总需求中对i的份额。由于q/κ=1，我们有∑j∈[K]φjik=m,πi∈supp(x~*)。（7.2）左手边是每个零售集聚区的市场份额总和。因此，(7.2)意味着，如果零售商均匀地分布在M个位置上，所有零售集聚区i∈supp(X*)应该面临相同的需求份额。事实上，在正方形经济中，所有不变均衡都表现出几何对称性，其中每个零售集聚区具有相同的市场份额水平（见附录B中的图9)，因此满足条件（7.2）。由于均匀对称地改变φ减小了区域间的可达性，所以对于任意φ值，所有的不变平衡都是空间平衡。对于任意K,对称地理上的不变平衡可以用群论来证明。它们以代表地理对称的群体为特征（Ikeda et al.，2018)。例如，当我们考虑具有K=n个位置和周期边界的平方格经济时，可以形式化地证明M必须除8K=8n。此外，不变平衡可以由例如GAP(2019)软件实现的计算群论算法枚举。给定所有不变平衡点的集合，我们可以考虑势函数f在其上的全局极大化。概括地说，我们在本节中使用的改进过程如下：步骤1\'枚举所有不变平衡点(*x*1,*x*2,*x*3,）。步骤2\'在结构参数θ(α，β)的每一个值处，从不变平衡集合e中选择位势f(·，θ)的全局位势极值。步骤3\'通过在θ中移动θ并重复步骤2\'，得到基于全局位势极值的θ的划分。如果K=2，则不变平衡集合e与所有可能是局部位势极值的平衡的划分完全一致。根据我们的认识，e并不包括具有不同大小的结块的空间平衡。因此，在多区域设置中，不能用尽所有可能的本地潜力最大化器。然而，我们期望它们包括所有相关的不对称地理模式。事实上，以前对对称多位置环境下空间集聚模型的研究表明，大多数符合单调变化的局部稳定均衡是不变均衡（Ikeda et al.，2018，2019)。我们还期望对称的空间分布，如不变平衡，是全局势极值的自然候选者。这里我们的假设是，在不变平衡集合中势的全局极值将提供随机稳定平衡整体性质的一个非常准确的视图。附录B中的图9列出了6×6平方经济中的所有不变平衡（直到对称），这完成了步骤1\'。通过对步骤3\'进行数值计算，图5以与图3相同的方式显示了基于全局势极大化的(φ，α)空间的划分。例如，图5a中带有“d”的theregion表示图5b中的双中心模式是该参数区域中的e之间的全局潜力最大化器。

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mingdashike22

2022-4-20 21:55:42

在83个不变均衡中，只有8个可以是e中势的全局极值。当交互自由度φ较低或规模收益α较低时，零售商在空间上是分散的。随着φ和α的增加，零售集聚的数量减少，间距增大。作为健壮性检查，附录a列出了方形网格经济和三角形网格经济的结果。(φ，α)空间均匀(83)18中心(80)12中心(76)8中心(61)6中心(47)4中心(37)2中心（10）单中心(01)(b)随机稳定模式的划分图5：36个位置(α≥1)的方格经济中基于势函数全局最大化的平衡选择。面板(a)显示了基于(φ，α)-空间的随机稳定性划分，而面板(b)显示了相关的空间控制。标签ofeach spatial Configuration中的数字对应于附录B中的图9。在面板(a)中，字母M、D和Q分别表示单中心平衡、双中心平衡和四中心平衡；U表示均匀平衡；{18,12,8,6}中心的平衡模式从左下角到右上角依次对齐。基于势函数全局最大化的平衡重新定义比基于局部稳定性（即势的局部最大化）的平衡重新定义要明显得多。为了证明这一点，图6比较了f的局部和全局最大化。我们考虑α=1.2和α=2.5，它们在图5中用水平虚线表示。对于6×6平方经济，垂直轴对应83个不变的tequilibria。空间模式的指数越低，零售商所在的区域数目就越低。例如，模式83对应于均匀分布，模式01对应于其中一个区域的全部浓度（见图9附录B）。每条灰色实线表示φ的范围，其中对应的不变平衡点是势函数的局部极大值；即在(D)下是局部稳定的平衡点。每条灰线的黑色部分（如果有的话）表明空间约束使所有不变平衡中的势函数最大化。在图6a和6b中，φ∈(0,1）的整个范围被局部稳定的不变平衡点所覆盖。这将表明，不变均衡占据了所有空间均衡集合的基本部分，而其他非对称均衡是次要的过渡模式，就像其他经济集聚模型一样（Ikedaet al.，2018，2019)，在图6a中，α=1.2，向心力相对较弱。图6a演示了许多con可以同时变得局部稳定。例如，当φ=0.1时，所有的83个模式都是局部稳定的。尽管当φ增加时，零售商倾向于聚集在较少数量的地点，但局部稳定性方法造成了对哪种控制是最相关的结果的模糊性。相反，通过考虑势函数的全局最大值，我们只可以得出8个模式（由图6a中的水平虚线表示），它们可以变成0.00.20.40.60.81.020406080(a)α=1.20.00.10.20.30.40.520406080(b)α=2.5图6:α=1.2和α=2.5的基于局部稳定性和势函数最大化的重新定义的比较。纵轴对应于附录B中inFigure 9所示的不变模式。实线表示φ的范围，在该范围内，不变平衡在(D)下局部稳定。灰色实线上的黑色部分表示平衡点在φ范围内使不变平衡点间的势值最大。面板(a)和(b)对应于图5a所示的横截面。

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可人4

2022-4-20 21:55:48

在面板(a)中，8个模式可以是全局最大值，而在面板(b)中可以看到6个模式。在不变模式中f的全局最大值。在图6b中，我们考虑α=2.5的情况。由于向心力很强，多个零售集聚往往变得不稳定。当φ=0.1时，某些不变平衡点不可能是局部稳定的，但仍存在多重局部稳定平衡点的可能性。势函数的全局最大化允许在φ的每个水平上进行明确的预测。只有6个不变平衡点使势函数全局最大化；与图6a相比，以18为中心和以12为中心的模式更多。总之，HW模型的基本含义是运输成本的降低（即φ的增加）和向心力α的增加促进零售商集中在越来越少的地点。这些结果证实了文献（例如，Clarke and Wilson，1985；Dearden and Wilson，2015)中的数字数据。由于文献中以前的数值模拟是基于确定性动力学(D)，所得到的平衡可以是许多可能性中的一种，如图6所示。相反，随机稳定性方法在每个参数值上都有一个独特的预测，从而为HW模型中的集聚行为提供了一个全新的视角。8结论性意见Harris和Wilson模型是城市空间结构形成的一个简约框架。本文基于潜在博弈中的随机演化动力学理论，提出了一种新的均衡选择方法。我们发现该模型是大种群潜在博弈的一个实例，并使用了随机稳定性对均衡的重新定义。与局部稳定性不同，随机稳定性或势函数的全局最大化允许对平衡空间结构的明确描述。我们的结果为以前的数值观测提供了一个新的解释，即降低运输成本会促进集中。为了列举二维环境中所有重要的空间集中，我们使用了Ikeda等人开发的agroup-theory方法。(2018、2019)来考虑InvarianTequilibria的集合。Osawa和Akamatsu(2020)在城市经济学模型的背景下采用了类似的方法来关注对称模式。这种方法的一个技术限制是，通过构造，我们忽略了不对称的空间控制。Harris和Wilson框架的简单性使其可以应用于多种情况，并使研究人员能够发展出一个完整的参数估计框架。一些研究旨在深化Wilson(2007)的BLV框架的物理意义。例如Crosato等人。（2018）考虑了城市转型的热力学意义。此外，在考虑城市空间结构的长期演化时，一个重要的概括是考虑消费者的重新安置（Slavko et al.，2019)。这意味着，与最初的HW框架相比，该模型有两种定性的影响因素。Osawa和Akamatsu(2020)表明，本研究采用的潜力最大化方法可以作为分析多智能体模型的一种有效方法。(a)(φ，α)空间均匀(65)18中心(63)12中心(57)6中心(33)4中心(25)3中心（14）单中心(01)(b)随机稳定模式的划分图7：36个位置(α≥1)的三角格经济中基于势函数全局最大化的均衡选择。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:55:54

面板(a)显示了基于(φ，α)-空间的随机稳定性划分，而面板(b)显示了相关的空间控制。标签ofeach spatial Configuration中的数字对应于附录B中的图10。在面板(a)中，字母M和T分别表示单中心和多中心平衡；U表示均匀平衡；{18,12,6,4}中心平衡模式在φ轴上从左到右依次排列。为了检验稳健性，我们将正方形经济与Ikeda和Murota(2014)所考虑的另一个二维空间--非对称三角形格子经济进行了比较。具有周期性边界的三角形网格经济是有意义的，因为中心位置理论(Christaller，1933；L"osch，1940)所设想的六角形市场区域可以内生地在一般均衡模型中成为局部稳定的均衡（Ikeda et al.，2014，2017)。在HW模型的背景下，Beaumont等人。（1981）提供了一个用三角格子的六角经济的数值研究。为了与正方形格型的结果进行比较，我们考虑了一个6×6=36个位置的6×6三角形格型经济。在三角形的情况下，有65个不变平衡，我们在附录B的图9中列出了Ikeda等人。（2019）详细讨论了不变平衡的性质。例如，零售集聚区的数量M必须除以12n。在65个不变平衡中，只有7个能使势函数全局最大。图7显示了基于具有高势值的不变平衡的(φ，α)空间划分。该分区在性质上类似于图5。根据零售聚集的数量，空间布局从左下到右上对齐。除了在一个区域内均匀分布和充分聚集外，在参数空间中还存在两种占据较大区域的代表性：12中心型和三中心型。前者对应于Christaller的k=3体系，AS=3。这两种模式都具有中心位置理论中考虑的六边形市场区域。图8比较了正方形和三角形格子中势最大化不变平衡的演化。我们考虑图5和图7中φ在α=1.2下的单调增加。它可以是18中心→12中心→四中心→双中心→单中心(a)正方形格子，12中心→三中心→单中心(b)三角形格子。8：正方形格子和三角形格子中潜能最大化空间结构演化的比较。如图5和图7所示，α=1.2的截面显示了代表性的模式。可以看出，基本含义是相同的：随着φ的增加，零售集聚的规模增加，它们之间的间距变宽。二维经济中的B不变均衡。图9显示了具有周期边界的6×6平方经济的所有不变均衡。在这些空间模式中，零售集聚区对称地分布在广场经济上。例如，在模式29、64和80中，零售聚集点等距放置以形成方形模式。正文中的图4c显示了模式37。图10显示了具有周期边界的6×6三角形晶格经济的所有不变平衡。类似于图9，零售集聚表现出地理对称性。在我们的风格化二维经济中，这些不变均衡由代表经济对称性的群G来表征。例如，具有周期性边界的正方形晶格在90°、180°、270°旋转以及水平和垂直平移下是不变（对称）的；而G是封装这种对称性的数学对象。利用这一对称性，利用GAP软件(GAP，2019)对本文所考虑的正方形和三角形格子经济的不变平衡进行了枚举。

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kedemingshi

2022-4-20 21:56:00

对于每一个地理位置，我们将枚举地面群G中的所有子群{G}。随后，我们对每个子群G应用轨道分解，这是通过G的作用（即G引起的区域指数的置换）将位置集[K]划分为等价类。feach不变平衡点x*的支持度supp(*x*)对应于[K]的一个分块分量。关于细节，seeIkeda等人。（2018）和池田等人（2019）分别提供了任意数量位置的不变均衡平方和三角经济的群论分析。图9：具有6×6位置的方形网格经济的不变均衡的完整列表。图10：具有6×6位置的三角格经济的不变均衡的完整列表。参考Sakamatsu,T,Fujishima,S,和Takayama,Y.（2017）。具有社会相互作用的离散空间集聚模型：多重性、稳定性和均衡的连续极限。数学经济学学报，69:22-37.赤松，T.，高山Y.，池田K.(2012)。空间贴现、傅立叶与赛马场经济：空间集聚模型分析的一个累犯。经济动力学与控制学报，99(11):32-52.鲍丹斯，P.，Fry,H.M.，Davies,T.P.,Wilson,A.G.和Bishop，S.(2016)。一个动态的空间模型。欧洲应用数学学报，27(3):530-553.博蒙特，J.R.，克拉克，M.，威尔逊，A.G.(1981)。能源参数变化与城市空间结构演变。区域科学与城市经济学，11(3):287-315.贝克曼（1976）。分散城市中的空间均衡。《环境、区域科学和区域间建模》第132-141页。Springer.Bevan,A.和Wilson,A.（2013）。基于部分证据的沉降层次模型。考古科学学报，40(5):2415-2427.布兰切特，A.，Mossay,P.和Santambrogio,F.（2016）.社会互动空间模型均衡的存在唯一性。《国际经济评论》，57(1):36-60.布鲁姆，L.E.(1993)。战略互动的统计机制。博弈与经济行为，5(3):387-424.布鲁姆，L.E.(1997)。人口游戏。《作为一个不断演化的复杂系统的经济II》，27:425-460.布拉加德，J.和莫萨伊，P.(2016)。社会互动空间模型的稳定性。混沌，孤子与分形，83:140-146.布朗，格氏，冯诺依曼，J.(1950)。用双方程解对策。在Kuhn,H.W.和Tucker,A.W.编辑，对游戏理论的贡献I.普林斯顿大学出版社，Christaller，W.(1933)。南德意志的Zentralen Orte。古斯塔夫·费舍尔，耶拿。（英文译本：德国南部的CentralPlaces,Prentice Hall,Englewood Cli s,1966）。Clarke,M.（1981）。关于生产约束空间相互作用模型平衡解稳定性的注记。环境与规划A,13（5）：601-604.克拉克，M.和威尔逊，A.G.(1983)。城市空间结构动力学：进展与问题。区域科学学报，23(1):1-18.克拉克，M.和威尔逊，A.G.(1985)。城市空间结构的动态：一项研究计划的进展。英国地理学家学会学报，10(4):427-451.Crosato,E.Nigmatullin,R.和Prokopenko,M.（2018）.城市转型的临界动力学和热力学研究。英国皇家开放科学学会，5(10):180863.Davies,T.P.,Fry,H.M.,Wilson,A.G.,Bishop,S.R.（2013）.伦敦骚乱及其治安的数学模型。科学文献报道，3:1303.de Jong,G.,Daly,A.,Pieters,M.和van der Hoorn,T.（2007）。对数和作为评价指标：文献回顾和新结果。运输研究A部分：政策与实践，41(9):874-889.迪尔登，J.和威尔逊，A.G.(2015).城市与区域动力学的探索：复杂性科学的案例研究。Routledge.Dupuis,P.和Nagurney,A.（1993）。

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kedemingshi

2022-4-20 21:56:06

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Harris和wilson(1978)模型的再讨论：城市零售模型中的空间周期加倍级联。区域科学学报，57(3):442-466.Paliou,E.和Bevan,A.（2016）.前古时代晚期克里特岛中南部聚落模式的演变、空间互动和社会政治组织。人类学考古学学报，42:184-197.雷丁，S.J.和罗西-汉斯伯格，E.(2017)。数量空间经济学。经济学年评，9:21-58.R.K.F.和Vorst.A.(1983a)。城市零售模型中的平衡点及其与动力系统的联系。区域科学与城市经济学，第13（3）：383-399页。李凯，冯，沃斯特，A.（1983 b）。城市零售模型中平衡点的唯一性与存在性。环境与规划A,15（4）：475-482.桑德霍尔姆，W.H.(2001).具有连续玩家集的潜在博弈。经济理论杂志，97(1):81-108.桑德霍尔姆，W.H.(2009)。庞大的人口潜力游戏。经济理论杂志，144(4):1710-1725.桑德霍尔姆，W.H.(2010)。种群博弈与进化动力学。麻省理工学院出版社，W.H.Sandholm(2014)。演化博弈动力学下严格均衡的局部稳定性。动力学与游戏学报，1(3):485.谢林，t.c.(1971)。离析动力学模型。数学社会学学报，1(2):143-186。Slavko，B.Glavatskiy,K.和Prokopenko，M.(2019)。动态安置是城市规划中的一种阶段性机制。物理评论E,99（4）：042143.史密斯，M.J.(1984)。一个动态TraC分配模型的稳定性：Oflyapunov方法的应用。交通运输科学，18(3):245-252.唐建宏，邱永宏，蒋炳宏，苏明德，陈德昌，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军，张志军。（2017年）。一个基于空间和非空间维度的统计模型来测量医疗保健的获得。健康与地方，47:126-138.泰勒，P.D.和琼克，L.B.(1978)。进化稳定策略和博弈动力学。数学生物科学，40(1-2):145-156.沃斯特（1985）。城市零售模型的随机版本。环境与规划A，17(12):1569-1580.华莱士，C.，Young，H.P.(2015).随机进化博弈动力学。Young,H.P.和Zamir,S.编辑，《博弈论与经济应用手册》第4卷，第327-380页。Elsevier.Williams，H.C.(1977)。旅游需求模型的形成及用户经济评价指标。环境与规划A,9（3）：285-344.Wilson,A.和Dearden,J.（2011）.城市演化中的相变与路径依赖。地理系统学报，13(1):1-16.威尔逊（1967）。空间分布模型的统计理论。运输研究，1(3):253-269.威尔逊，A.G.(1970)。城市和区域模型中的熵。Pion Ltd.Wilson，A.G.(1981)。突变理论与分叉：在城市与区域系统中的应用。加州大学出版社，Wilson,A.G.(2007)。Boltzmann,Lotka和Volterra和空间结构演化：一些动力系统的综合方法。英国皇家学会接口学报，5(25):865-871.张洁(2004a)。住宅隔离的动态模型。数学社会学学报，28(3):147-170.张洁(2004b).在一个完全一体化的世界里，居住隔离。经济行为与组织学报，54(4):533-550.张洁（2011）.小费与居住隔离：一个统一的谢林模型。区域科学学报，51(1):167-193。

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