金融市场临界性的统计物理学视角

2022-5-5 02:05:50

《金融市场关键性的统计物理学观点》托马斯布里斯堡服务歌剧院（CP194/5），布鲁塞尔自由大学，罗斯福大道50号，布鲁塞尔1050号，比利时邮政：tbury@ulb.ac.beAbstract：股票市场是一个复杂的系统，表现出集体现象和特殊特征，如同步、以幂律分布的函数、非随机结构和与神经网络的相似性。这种特殊性质表明，市场有一个非常特殊的点。金融市场被认为与物理系统类似，是至关重要的，但很少有基于统计的证据被给出。通过基于数据的方法，并与受复杂系统统计物理启发的模拟进行比较，我们表明道琼斯指数和指数集并不是严格临界的。然而，金融系统在坠机区更接近临界状态。内容1简介12临界性特征23抽样指数和证券交易所44结果55链接到最大熵模型136讨论16A实用配方18B离散幂律19C正则化伪最大似然20D蒙特卡罗马尔可夫链模拟201简介100年前，意大利经济学家帕累托提出了描述财富分配的幂律概念。这是一个与尺度不变性相关的主要概念，广泛应用于金融和经济学（分数布朗运动、去趋势波动分析、波动建模等）。尺度不变性在金融中至关重要，因为大绝对收益是幂律分布的[1]。这种缺乏任何特征尺度的现象乍一看令人惊讶，但它的基础是复杂系统理论。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:05:54

由于复杂系统由许多相关实体组成，金融市场表现出集体行为，如同步或非随机结构、在大型相关结构中自我安排的倾向（如[2,3,4]、大型波动[5]和幂律[1]）。此外，金融网络与神经网络有着共同的特性[6]。我们可以在一类属于统计物理学的模型中恢复这些特征，这类模型是成对的最大熵模型，特别适合捕捉集体行为。人们知道，市场在临界状态下可能会表现出一些前一种特征，这些特征是在精确意义上定义的[7]，而最大熵模型可以描述在神经网络[8]和金融市场[4]中观察到的集体行为。因此，人们很容易认为金融市场是至关重要的[9]（在统计物理意义上），就像神经网络一样[10,11,12]。如何从经验上验证临界状态的存在并不明显。提出了1/2的临界性，即对数周期[13]的方法。现象学与临界现象的比较是通过用时间代替温度来完成的，因此时间成为控制参数[14]，但这只是一个类比，对数周期性应被理解为一种动态特征，而不是二阶相变。事实上，有几种动力学机制会产生对数周期性[15]。在这个特定的状态下，基于代理的模型表现出幂律和波动性聚集，也提出了临界性[16,17,18,19,20,21]。然而，不同的规则和模型导致相同的定性程式化事实。由于存在生成程式化事实的非关键机制，因此仍然存在歧义[22]。

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2022-5-5 02:05:57

此外，检测临界性并不是为复杂系统建模的任务，如果存在明显的关系。关键性检测的严格方法是反向（或基于数据）方法。以这种方式强调了尺度依赖性和尺度不变性之间的转换[23]。在这里，我们还要遵循[24]中描述并在[25]中应用的逆过程（从没有初始假设的数据开始）。该程序还受到统计物理学的启发，提供了临界性的几个统计测试。我们发现，即使观察到一些迹象，所考虑的金融系统也不是严格的关键。更可能的情况是，当金融系统接近崩溃时，金融系统不会保持在同一个状态，并重新关闭到临界状态。临界标度参数（见下文）在碰撞开始附近达到最大值。也就是说，对冲击的响应函数（冲击可以是外生变量或随机性水平的修正）有一个峰值，其位置随着系统规模向欧洲市场的运行点（概率分布为经验分布）扩展。道琼斯指数的运行点远未达到临界点，但如果指数规模足够大，临界点可能会达到。如果系统采样良好，且熵不是对数似然的线性函数，则配置的秩分布不是幂律。此外，我们使用两两最大熵模型[26，4]来检查对数似然的方差和重叠参数的方差是否达到其最大x轴坐标，与经验坐标一致。我们将经验结果与多元GARCH过程和蒙特卡罗马尔可夫链的模拟结果进行了比较。他们证实了实验结果。

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2022-5-5 02:06:00

最后，我们解释了金融市场的关键性。这些发现对于依赖于市场结构（例如，通过相关矩阵）的投资组合优化以及确定市场如何处理最终可能导致崩溃的信息非常重要。2临界状态的特征临界状态可以被认为是系统处于有序和无序之间的临界状态。如果没有不确定性，市场是完全有序的，因此是同质的（正或负）。在不确定性最大的相反情况下，市场是完全随机且不相关的；观察到正或负回报的概率等于其他市场交易所回报（正或负）的1/2。临界状态是这些极端状态的一半，让市场处于无序和高度异质的边缘。严格来说，只有在有限尺寸的系统中才能达到临界状态。对于有限系统，我们不会观察到分歧，但我们仍然会通过误用语言说关键，我们应该将经验结果与可能达到临界状态的模型的有限版本进行比较（例如，二维最近邻伊辛模型），如[25]所述。统计物理学提供了几种临界性测试。[24]中详述的签名将被迅速召回。首先，我们将金融系统定义为一组股票（或指数）。相对股票收益率被视为随机变量rt，可以改写为rt=sgn（rt）| rt |。股票回报的迹象有时被认为是不相关的，吸引的注意力较少。然而，在危机期间，相关性可能以复杂（非线性）的方式出现，就像同步一样[27]。研究方向（回报的标志）变化很有趣，因为类似伊辛的模型适合描述集体行为。

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2022-5-5 02:06:03

此外，相对回报率符号的性质比简单的独立随机变量的性质更微妙，并能反映金融市场的特殊结构[26,4]。净方向定义为m（t）=N-1.∑isi，t，如果m（t）>0，则t期间的市场趋势为正。为了研究方向变化，我们考虑2/23一组由二元变量si描述的N个市场指数或N个股票≡ sgn（ri）（对于所有i=1，·N，si=±1）。系统配置将由向量s=（s，··，sN）描述。如果相关股票的趋势为正且等于，则二元变量将等于一-1如果不是。配置（s、·、sN）也可以被视为回报的二元回归。可以将系统处于s状态的概率P（s）形式化为吉布斯分布P（s）=Z-1eU（s）且在不丧失通用性的情况下，将Z设置为1，从而定义效用函数（或能量H=-U、势等）作为对数可能性：U（s）=对数P（s）。给定配置s的秩r（s）定义为比s相关的幂律值更高（更频繁）的配置数量-logp（s）=αlogr（s）+Cst是临界状态的强烈标志。在这个框架下，可以直接从足够大的样本中获得这些量，并测试齐普夫定律的有效性。该定律的另一个结果是香农熵的线性[25]，它测量平均惊喜或平均对数似然od，用效用函数表示[24]。一个较弱的特征是在操作点（在有限实体数量的限制下）的可能性方差的差异。对于有限系统，如果系统处于临界状态，则可能性的方差应在工作点附近达到峰值。也可以直接从数据中检查此功能。

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大多数88

2022-5-5 02:06:06

经验相对频率的标度为asPT（s）=P（s）1/T/∑P（s）1/T；工作点对应于T=1。我们注意到，对于这样的AGIBS分布，我们有identityRU=-回族T=T-2hhUi-hUii=TsT（1），其中S（T）是沙农熵-∑{s}PT（s）重标分布的log PT（s），括号代表相对于PT（s）的平均值。从统计学的角度来看，这个极值是事件的等概率偏差最大的点。在这一点上的操作涉及对数似然的方差达到其最大值，而对于等概率事件，对数似然的方差等于零。对数似然的大方差也意味着它的平均值、熵和巨大的结构变化的大偏差。重定标度参数T可以被认为是一个随机性度量，改变这个参数会导致经验分布的重定。对于T>1，分布将更均匀，更接近图1所示的均匀分布。因此，剩余分布的熵将大于原始分布：越接近均匀分布，熵越大。我们注意到表达式TS/当抽样的概率表达式是可行的时-2.回族-回族允许通过蒙特卡罗模拟进行估计，即使直接采样不可行。当直接抽样可行时，可以估计经验分布为P（s）=M-1.∑Mi=1δsi，其中M是样本长度，计算任意T值的标度分布PT（s），然后使用关系式TS/T表示响应函数的经验推导。-1.-0.5 0 0.5 10.51.5净方向图1：在兰多唯象相位转换理论中遇到的双峰分布的重新缩放示意图。

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2022-5-5 02:06:10

原始概率密度由任意温度T下的整条线表示*; 重新标度的分布用虚线表示（T=0.25T）*) 以及虚线（T=10T*).3/3抽样指数和股票交易所我们观察了8个欧洲指数（AEX、BEL、CAC、DAX、EUROSTOXX、FTSE、IBEX、MIB）的开盘和收盘价格，样本长度M为2300个交易日（在2002-201年期间，连续九年引发两次全球危机）。我们之所以考虑欧洲证券交易所，是因为一些问题（债务危机等）是这些市场特有的，以确保时间序列的同时性。我们还观察了2002年至2011年3×10交易分钟和每日抽样的道琼斯指数股票。我们考虑了两种不同的时间尺度，来解释相关性降低时的差异。根据Eppseffect[28]，我们预计在低频（每日采样）下采样的系统应比在更高频率（例如分钟采样）下采样的系统更接近临界状态。正回报设置为1，负回报设置为1-1.第一个样本比可能的配置数量大十倍。实际上，每个变量si有两个可能的值，因此它们是2N=8=256个配置。第二个样本不够大，无法进行令人满意的概率估计（因此无法直接估计熵）。由于实体之间可能存在着强烈的相关性，因此不清楚样本结构是否良好。对于强相关实体，与独立实体相比，配置空间中的相关区域较窄。如果真实的配置分布是尖峰的，那么相关的状态就很少。在这种情况下，一个小样本（M<2N）就足以对配置分布进行适当采样。

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2022-5-5 02:06:13

在相反的情况下，实体是独立的，每个配置具有相同的统计权重，样本量必须大于（M>> 2N）。至关重要的是，要确定避免配置分布P[s]欠采样的最大实体数，因为幂律是在欠采样区域自发出现的[29]。特别是，如果P[s]是良好抽样的，齐普夫定律才是真正的特征。为了评估分析中要考虑的实体的最大数量，我们遵循[29]中描述的程序。适当采样和欠采样之间的界限由平面{H[K]，H[s]中最大值H[K]的坐标确定，其中H[s]是经验配置频率的熵，H[K]是随机变量Ki=K（si）的熵，这是在样本中观察到配置si的次数。除此之外，当H[s]增加时，H[K]降低，这意味着配置的采样次数（近似）相同。简言之，考虑到M个独立配置的样本（s、·sM），配置的经验分布为^ps≡ P[si=s]=M-1.∑Mi=1δsi，s。与样品中构型发生的次数相对应的随机变量Ki的分布写为P[Ki=k]=k mk/Mwhere mk=∑{s}δk，M^psis在样本中精确采样k次的配置数。他们的熵是-∑{s}pslog^ps=-∑kk mkMlogkM（2）H[K]=-∑kk mkMlogk mkM=H[s]-∑kk mkMlog mk（3）可以对这些量进行评估，以获得每个数据集的统计意义。图2中的要点是通过考虑增大系统尺寸而得到的。

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2022-5-5 02:06:16

每一个点都是通过这个平均值和对随机选择的几组实体进行平均得到的（见附录）。此外，理论极限由信息量最大的样本（图2中的整行）给出，这些样本是关于{mk，K>0}最大化H[K]并满足约束条件的样本≤ N∑kk mk=M和H[K]≤ H[s]，因为随机变量K是s的函数（完整的讨论和推导见[29]）。图2显示了每个数据集和通过成对最大熵模型模拟的艺术数据的统计意义（见D）。我们还模拟了临界点附近大小为N=25的阿什林顿-柯克帕特里克（SK）自旋玻璃的时间序列。欧洲指数被正确抽样，最多7个指数，道琼斯指数每分钟最多8个股票。将样本长度M增加15倍，最多可以考虑N=1个实体。定性观察表明，如果实体高度相关（低随机性），则几乎所有观察到的配置（单词）应为平均方向m（t）=N-1.∑isi，t4/05样本不足。N=7小时[s]欧元。标记0 5 10 15样本不足。N=8H[s]DJ（分钟采样）0 5 10 15 20取样不足。N=11H[s]艺术。DJ（M=5×10）051020欠采样。N=13H[s]SK-s针形玻璃（M=5×10）图2：数据集的统计意义。配置分布P[s]在平面{H[K]，H[s]}左侧正确采样，由虚线分隔。实线代表理论关系，H[K]是H[s]的函数。点代表每个数据集的经验值，随着系统大小的增加（在平面{H[K]，H[s]}中从左到右）。右下面板显示了尺寸为N=25的SK自旋玻璃在临界点附近的结果。对于欧洲指数集，每个p点通过（N）上的平均值计算。

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2022-5-5 02:06:19

对于DowJones（每日和每分钟抽样），每个点都是通过平均100多组随机选择的股票来计算的。是非零。人们预计H[s]显著低于理论上限N和H[K] H[s]因为几乎没有观察到不同的配置。另一方面，几乎独立的实体不支持任何m（t）值。配置分布P[s]应近似均匀，对于大型系统，H[s]应接近min（N，logM），而H[K]应较小，因为每个配置的观察次数大致相同。从成对最大熵（maxent）模型[30]中，我们知道临界性是一个没有观察到净方向，但波动最大的系统。我们认为，对一个真正关键的制度进行抽样时，应该返回到前两种极端情况之间的中间位置，如S K模型的图2所示。在建立成对maxent模型后，我们记录了道琼斯指数的艺术数据，其随机性比实际值小或大三分之一。结果如图3所示。看来道琼斯指数（分钟抽样）相当混乱，我们将在下文详细检查这一点。4结果在以下情况下，我们检查所考虑的数据集中是否观察到临界性特征。对数似然的方差如图4所示。我们可以观察到，峰值位置随系统大小而变化，从左向右移动5/0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20小时[s]艺术。道琼斯（M=5×10）高随机性中性随机性低随机性图3：道琼斯数据集在不同随机性水平下的统计意义。整行代表理论关系，H[K]是H[s]的函数。

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2022-5-5 02:06:22

这些圆点代表的是根据道琼斯数据的成对模型生成的艺术数据，其随机性比实际数据大三分之一。正方形显示的艺术数据的随机性水平与实际数据相同，五边形显示的数据的随机性水平比实际数据低三分之一。0.5 1 1.5 20.20.40.60.8标准箱。指标0.5 1 1.5 20.20.40.60.8t道琼斯指数图4：欧洲指数集（左）和道琼斯指数在每分钟采样时（右）的对数可能性与重标度参数的方差。当我们考虑更大的集合时，峰值从左向右移动。对于欧式集合，我们绘制了大小N=2、4、5、8的变量。灰化曲线是N=8的蒙特卡罗模拟（seeD）。对于道琼斯指数，我们认为n=2,4,6,8,10,12，最后两个v值在统计上并不显著。这些曲线是通过概率（和熵）的直接抽样和使用关系T得到的S/T、详见第2节。在工作点T=1时，当实体数量增加时，方差的最大值变得更大。对于给定且固定的大小，人们期望集合（N个随机选择的实体）的临界缩放参数的v值更大，平均相关系数更大[30,26]。我们考虑了100组N=6随机选择的N个实体，用于Dow-Jones（每日和每分钟采样）和S&P100。图5所示的结果表明，临界标度参数Tmax和平均相关系数之间大致呈线性关系。因此，任何进一步的结果都将针对每个6/考虑的尺寸进行几组比较。0.15 0.2 0.25 0.3 0.350.30.40.5DJ（最小），N=60.15 0.2 0.25 0.3 0.350.30.40.5DJ（每日），N=60.15 0.2 0.25 0.3 0.350.30.40.5平均校正。

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2022-5-5 02:06:25

系数和P100（每日），N=6图5：临界标度参数（响应函数RU（T）最大值的x轴坐标）与所考虑的N=6个随机Hosen实体组的平均相关系数。道琼斯指数分钟（正方形，左面板）和每日抽样（三角形，中面板）以及S&P100指数（圆形，右面板）的结果如图所示。sizeN=6与后一种统计意义分析一致。为了将关系Tmax=Tmax（N）形式化，我们计算了缩放参数的值，在该参数下，响应函数Ru对于N个随机选择的实体的不同集合达到其最大值。图6显示了欧洲指数集的结果，图7显示了DowJones（每日和分钟采样）的结果。2 4 6 80.60.8实体数图6：响应函数Ru达到其最大值时的标度参数值与实体数N的关系。平均值T和误差条（T上的1个标准偏差）是针对欧洲指数集的（N）个样本计算的。实线代表幂函数，虚线代表前七个值的指数函数。使用关系式（1）计算响应函数。幂函数和指数函数返回的渐近临界标度参数分别等于1.38和0.92。当DJ（min）的指数函数的大小达到N=8时，返回的渐近临界参数等于0.70，如果我们达到N=12，则返回的渐近临界参数等于0.74（但后一个值是不可信的，因为系统在N>8时采样不足）。DJ（每日）的指数fit（大小为N=6）返回的渐近临界参数等于0.71，如果N=10，则等于0.72（但后一个值不可信，因为系统在N>6时采样不足）。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:06:29

此外，即使在取样不足的情况下，我们也观察到临界标度参数的增加。由于7/2 4 6 8 10 120.20.40.6实体数量，当规模（N）增加时测得的更大相关性可能是一种虚假效应。图7：响应函数Ru达到其最大值时的标度参数值与实体数量N的关系。在每日（三角形）和分钟（正方形）取样时，计算道琼斯指数100组N随机Hosen股票的平均值。对特定时间间隔的考虑。通过同时改变大小和缩放样本长度，并考虑不同的时间窗口，可以进行相同的研究。对于欧洲指数集，我们选择了样本长度L（N）=2N+3，例如L（8） Lmax=2300，我们对5个不同时间窗口的结果进行平均。结果如图8所示。除最后一个（N=6）外，每个点（平方）都属于恒定大小结果的置信区间。因此，增大尺寸的相关性更大是一个真正的特征。2.4.6 80.50.60.70.80.9实体数量图8：响应函数Ru达到其最大值时的缩放参数值与实体数量N的关系。针对欧洲指数集（圆圈）的（N）个样本计算平均值和误差条（1个标准偏差）。正方形显示了相同集合的结果，其标度样本长度L（N）=2N+3，并在5个不同时间窗口上求平均值。由于没有使用任何推断方法，我们预计临界分布PT=Tmax（使得在Tmax达到的RUI最大值）和经验分布Pemp（s）之间的库尔贝克-莱布勒散度（KLD）DKL（Pcrit | | Pemp）应该与在Tcrit+下运行的真正临界系统具有相同的量级T.相对偏差T/Tcritand（顶部）- Tmax）/Tmax相等（定义顶部=1）。

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2022-5-5 02:06:32

在[25]之后，一个合理的基准是具有大小为N=9的周期边界的二维方形晶格最近邻Ising模型。在Tcrit=2.40时，响应函数Ru达到最大值8/23。我们使用比例分布PScaled=P1/（1+x）准则计算精确分布Pcrit和KLD，其中x=（Tcrit- T） /Tcrit。我们发现，对于经验数据（欧洲指数），Tmax=0.88，DKL（Pcrit | | Pemp）=0.070。伊辛模型的结果如图9所示。-2.-1.-4.-3.-2.-1.图9：二维方格最近邻伊辛模型N=9（浅灰色圆圈）和一组8个欧洲指数（正方形）的临界分布和标度分布f之间的库尔贝克-莱布尔散度。对于这两种系统，结果是相似的。此外，我们使用蒙特卡罗马尔可夫链（1×10平衡步骤和2.3×10记录配置，N=8）模拟（种子）人工二元回报，使用数据上的成对最大熵模型。我们获得了绝对净方向^m |=0.812±0.010（1个标准偏差）。经验左值为h | m | i=0.726，不包括在置信区间内，但接近临界状态，推断参数的微小变化可能会导致通过模拟估算的可观测值发生显著变化[31]。为了量化小重建误差对估计可观测值的影响，我们使用正则化pse udo最大似然（见C）推断了拉格朗日p参数，并稍微改变了参数，以便 = 0.015，与[32]一致。这是一个错误 =√新罕布什尔州（Jij）- Jtrueij）i1/2，并量化重新构造的根测量平方误差与标准偏差之间的比率。我们得到了| m |这两个估计值之间10%的相对偏差。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:06:35

因此| m |的经验值和临界值是相似的。欧洲市场似乎在对应于对数可能性方差最大值的点附近运行，而对于道琼斯指数，在考虑的规模范围内，临界标度参数似乎远离运行点Top=1。在18中，我们通过模拟艺术数据（见下文）将此图扩展到更大的尺寸。这可能是由于股票交易所之间的相关性系数大于道琼斯股票之间的相关性系数，如图10所示，以及Epps效应（相关性大小随时间尺度的减小而减小）[28]。另一个观察结果是，对于图4左面板所示的每条曲线，所谓的临界方差指数等于零，与临界温度下伊辛模型的平均场值一致。临界指数可以通过取极限lim得到→0+log RU（）/log其中=（T）- Tmax）/Tmax和Tmax，使得RU（T）在此时达到最大值[33]。我们还研究了配置等级的分布。为了知道我们是否应该拒绝Zipf定律，我们对[34]中描述的统计测试进行了修改（离散幂律，由于配置的数量有限，因此找到了一个自然上限），详情见b。如果p值小于0.05，则排除幂律假设，对于接近1的p值，我们可以将其视为一个良好的分布候选者（不保证9/0.5 0.6 0.70.1 0.2 0.3相关系数图10：欧洲证券交易所（左）和道琼斯指数（右）股票之间的相关系数频率）。这是正确的分布）。

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2022-5-5 02:06:39

经验秩分布如图11所示。-2.-1银行=7-2.-1银行（职级）~ R-0.63-4.-3.-2rankN=12图11：从左到右：一组7只随机选择的道琼斯股票（分钟）的配置经验相对频率与观测时间序列的配置排名，真实幂律的艺术排名分布，以及一组12只随机选择的道琼斯股票的经验相对频率。fit（虚线）由最大似然估计得到。表1中报告了不同组的试验结果。考虑的大小不应超过n=8，以便通过直接抽样对经验数据的分布P[s]进行良好的估计。正如预期的那样，幂律测试结果取决于系统大小。对于道琼斯指数而言，当系统被正确采样时，幂律被拒绝，而在欠采样情况下，幂律不会被拒绝。如[29]所述，当分布P[s]样本不足时，幂律是最具信息性的分布。指数的最大似然估计（MLE）由对数似然Ln（α）=-αN∑i=1ln xi- N lnxmax∑x=1x-α!（4）其中xmaxis是上限。这种最大似然估计的标准偏差是通过将似然展开到二阶（高斯近似）得到的。它的读数为σαMLE=sNζ′′（xmax，αMLE）ζ（xmax，αMLE）-ζ′（xmax，αMLE）ζ（xmax，αMLE）（5）式中ζ（xmax，α）=∑xmaxx=1x-α和素数代表关于α的导数。10/表1：道琼斯随机选择的N组股票的幂律假设的统计检验（每分钟采样3×10点）。我们报道了幂律指数α及其标准偏差σα的最大似然估计、Kolmogorov-Smirnov统计量（D）和p值。

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2022-5-5 02:06:43

如果p-V值大于0.05，人们不会拒绝幂律假设股票的ασαD p-val6 0.0119 0.007 0.0117 0.008 0.0194 0.009 0.6654 0.0038 0.0147 0.1010.6584 0.0035 0.0164 0.3611 0.7192 0.0027 0.0210 0.8712 0.7441 0.0025 0.0292 0.9613 0.7699 0.0024 0.0290 0.98n=13和1077高斯测试的该估值器的经验概率密度函数（pdf）及其近似值如图12.0.0.0.78所示-2.-1^α图12：尺寸N=13和10测试（圆圈）的最大似然估计的经验pdf。高斯近似用整条线表示。作为对后面a分析的补充，我们研究了作为效用函数表示的熵的线性。齐普夫定律在熵和对数似然之间建立了线性关系[24]。严格的线性度可以在效用的单个值（如2D最近邻伊辛模型）或熵的任何值（如果兰基分布为幂律）下实现[24]。熵在平均效用U周围的展开式被写成（其中U是hUi的符号）S（U） S（U）-T（U）-U） +2TRU（U）-U）（6）对于服从幂律分布的秩，二次项和高阶项是次密集项；熵应该是效用的线性函数[25]。我们为道琼斯指数的几组随机选择的股票检查这个属性。我们计算了平均熵效用关系(-U）对于100组7个随机c软管，结果如图13所示。我们测量了相对非线性[35]，典型值为0.053（如果函数完全线性，则等于零）。坡度的典型值为0.71。

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2022-5-5 02:06:46

我们还使用多变量GARCH（2,2）和成对最大化过程，在11/0.2 0.4 0.60.20.4上模拟了5×10的人工回报-U/N0.20.40.60.10.20.3-U/N图13：左图：Shannon e ntropy与道琼斯指数（min）的几组7只股票（随机选择）的对数可能性的相反。右图：平均熵效用关系(-U）随机抽取7只股票，每组100只。虚线是最佳线性拟合，斜率分别为0.71和0.68。数据熵对对数似然的依赖性如图14所示。相对非线性度分别为0.032和0.035，斜率分别为0.77和0.59。对于较大的样本，熵不是线性的，但是在有限的效用范围内（例如[0.3,0.4]，效用可能值的10%），熵几乎是线性的（通过相对非线性测量）。0.2 0.40.20.4-图14：香农熵与随机选择的9只股票的100组负对数似然比。采用多元GARCH（2,2）过程（浅线）和apairwise maxent模型（粗线）模拟人工收益。虚线是限制范围内的线性曲线。正如Zip定律所指出的，熵不是对数似然的线性函数。然而，对于二维最近邻伊辛模型，我们不能拒绝在有限范围内线性或在单个点上零曲率的可能性。最后，由于收益率被认为是波动率聚类的非平稳（通常由GARCH过程建模），我们研究了临界重标度参数Tmax的演化（在该参数下，对数似然的方差达到其最大值）。

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2022-5-5 02:06:49

正如预期的那样，对于FixedSize，Tmaxin在生长期间增加，并在皮疹开始附近（当波动最大时）达到其最大值，如图15所示，并接近顶部。12/6/026/036/046/056/066/076/086/090.70.750.80.85200030040005000year图15：6个欧洲指数（黑色曲线，左纵坐标）和指数的标准化总和（浅蓝色曲线，右纵坐标）的临界重标度参数Tmax。根据经验，在2N+2trading days的滑动窗口上估计临界重定标度参数，并将其转换为每一步的1trading days。5链接到最大熵模型在下面，我们使用推理程序来检查临界状态的存在是否得到支持。当目标是研究集体行为而不是给出精确的市场模型时，可以证明成对最大熵模型（maxent）是一个一致的统计模型[26,4]。与其对潜在的动态做出特定的假设，不如建立一个与记录的数据和观察到的结构一致的模型。这个maxent模型与前面的讨论直接相关，因为自旋眼镜和神经网络也由成对的maxent模型表示，它们实际上表现出临界状态。在此框架中，配置分布P[s]被改写为吉布斯分布P（s）=Z-1扩展∑i、 jJijsisj+N∑i=1hisi！≡eU（s）Z（7），其中Jijand hiare Lagrange乘数（用于检索第一个和第二个经验时刻）。它们不能被认为是衡量成对的相互影响和个人影响。成对maxent模型的另一个著名应用是神经网络结构的分形[8]，其中操作点似乎是一个关键点[24,10]。

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2022-5-5 02:06:52

我们可以证明，该模型能够生成具有非高斯特征值的相关矩阵[26]，如在真实金融时间序列[36]中观察到的，但也可以生成无标度资产树和无序周期[4]。这种成对模型提供了关于临界操作点可能性的更多见解。然后，吉布斯分布的重标度被视为所有参数的重标度-1.这种重新缩放是对参数空间切片的研究，该切片对应于随机性变化。T的小值表示共动，大值表示随机性。在这项工作中，拉格朗日乘子是用正则化的伪最大似然[32]估计的，见C的简短描述。我们注意到，接近T=1时，许多模型是可区分的，p参数的轻微变化可能会导致测量的观测值发生重大变化。人们应该比较艺术和经验的结果。首先，我们用实时序列中估计的拉格朗日参数模拟艺术数据。蒙特卡罗马尔可夫链（MCMC）定义如下。如果条件扩散概率p（si，t=-是的，t-1 | s-i、 t）大于区间[0,1]上统一定律的面积化，其中s-i、这是不包括第三方实体的构成。每一次试飞都会记录一个配置，它定义了蒙特卡罗13/23步（MCS）[37]。详情见D。图4用虚线（1×10平衡MCS和1×10记录MCS）显示了应用于这些人工数据的程序结果。这与经验方差一致，两个峰值（蓝色和虚线曲线）位于相同的T参数值。如果拉格朗日参数{Jij}为正，则方向分布应为单峰f或大T值，而双峰分布则为小T值。

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2022-5-5 02:06:57

作为定性检验，我们检查经验分布是单峰分布还是双峰分布，如果我们改变随机性水平T，它们可以变成双峰分布，那么有序-无序转变是可能的。如图16第一行所示，指数集的经验分布为imodal，而股票集的分布则为单峰分布，正如前面的实证分析所预期的那样。图16的第二行显示了在不同的随机性水平下，经验氯离子分布和模拟的Pm（T）分布之间的差异。指数集是一个相当有序的系统，概率质量在极值处达到峰值-1，1的网络定位。对于高水平的随机性（T=2），存在无序红色状态。图16的第三幅图显示了从低水平（蓝色）到高水平（红色）的概率密度函数的连续变形。这种变形与相应尺寸的二维最近邻伊辛模型进行了比较，没有单独的偏差。-10.5欧元。指数-10.20.40.60.8mDJ（每日）-10.20.40.60.8mDJ（最小值）-1010.5mSP100-10.10.2mEmp。数据（T=1）-10.1艺术。数据（T=2）-10.10.2艺术。数据（T=1）-10.10.20.3艺术。数据（T=0.8）-1.-0.50艺术。欧元指数-1.-0.5 0m2D Ising（N=9）-1.-0.500.51.5艺术。DJ（分钟）-1.-0.5 0m2D Ising（N=2 5）图16：第一行：为几个数据集演示了经验概率密度函数（pdf）。第二行：网络方向的经验概率质量函数（pmf）与模拟结果的人工分布的比较。第三行：使用10个随机性水平T值（分别在[0.8,2]范围内，蓝色到红色）来检查DF是否可以从单峰持续到双峰，结果与没有单独偏差的2D近邻伊辛模型进行比较。

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2022-5-5 02:07:00

pdf和pmf按5×10 Monte Carlo步长估算。已安装的maxent模型允许有序-无序转换，这使得它们在临界性检查中的使用更加合理。如[31]所述，此类模型易于在临界点T=1附近累积，但在该区域也具有高度可分辨性。因此，我们检查他们是否返回与实证结果一致的Tmaxin线。可以估计重叠参数q=N的方差14/rqo-1.∑is（1）is（2）i和对数似然的变化。重叠参数测量上标（1）和（2）所示的两个相同系统的配置之间的相关性。已知v变量Ru和Rqa达到了重定标参数的临界值[30]。如果工作点确实很关键，我们应该在T=1附近找到峰值。结果如图17.0.5 1 1.50.51.5Tmax=0.74 Tmax=0.78TDow-Jones（最小）0.5 1 1.50.51.5Tmax=0.82 Tmax=0.86TDow-Jones（每日）0.5 1 1 1 1.50.51.5Tmax=0.90 Tmax=1.04TEur所示。指标0。5.1 1.50.51.5Tmax=0.96 Tmax=0.98TSP100图17：8个指数集、道琼斯指数（每日和每分钟抽样）和SP100指数的重叠参数（虚线）和对数可能性（整线）的方差。在5×10MCS的平衡期后，每个点的计算量超过5×10MCS。左坐标上的最大似然表示方差。我们注意到，峰值确实位于经验值附近。对于指标集，经验和模拟Tmax之间的相对差异等于2%，略微被低估。对于道琼斯指数（min），相对差异相当于6%，略微高估，而对于道琼斯指数（da-ly），Tmax高估了14%。

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2022-5-5 02:07:03

前两个模型与数据一致，并得出相同的结论：指标集接近临界值（1）- Tmax≤ 道琼斯指数远未达到临界点（1）- Tmax≥ 25%). 道琼斯指数（每日）的经验值和模拟值之间的较大偏差可能是由于拉格朗日参数估计中的推断误差造成的。M/N比率（实体数的样本长度）太小，比道琼斯指数（分钟）小十倍。因此，SP100索引的临界缩放参数可能会出现相同的相对误差。由于模拟结果与经验结果一致，我们对尺寸大于N=8的数据进行模拟，以完成FIG。我们用previ15/23ous MCMC模拟了一个长度为5×10的二元样本，也用多元GARCH过程模拟了一个人工样本，已知该过程捕获了聚集波动性，并且比Ga-ussian过程更肥。我们得到了与经验一致的结果。重缩放参数Tcritis的临界值如图18所示。临界值随尺寸增大而增大，但仍远未达到T=1.5 10 150.20.40.6实体数图18：响应函数Ru达到其最大值时的T参数值VS实体数。正方形代表真实数据，五边形代表多元GARCH（2，2）过程，点代表M CMC。我们注意到，2010年，12807家公司（不包括投资基金）在证券交易所上市（见http://www.world-exchanges.org/)因此，没有明显的理由考虑限制N→ ∞. 尽管规模较小，但市场场所系统明显更接近临界值。这可能是由于有关基础股票的指数的信息聚合[38]。

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大多数88

2022-5-5 02:07:06

一组指数可以作为一个规模更大的系统运行。此外，我们可以证明金融网络表现出小世界组织[6]，我们知道复杂网络上的伊辛模型是一个仅在临界温度下的小世界模型[10]。6讨论股票市场嵌入在非均匀背景中。因此，它们应该是异质的，并经历有规律的时期，其间穿插着令人惊讶的事件。在复杂的经济背景下，反应性是一种预期行为。以福岛核事故或2008年次贷危机为例，市场反应明确而迅速。所有股票在一个有组织的fa shion中迅速下跌。这种行为有助于确保所获得的利益，或在情况进一步恶化时防止过度损失。然后，当情况似乎稳定下来，或者股价大幅下跌，使股票变得便宜和有吸引力时，市场会以有序的方式再次上涨。在任何时间尺度上都会遇到这种股票价格的大规模看跌波动[39]。在这些阶段，市场表现出巨大的关联结构和有序状态[40,27,4]，对应于关联强度的增加。此类戏剧性事件影响全球市场（所有经济部门）。另一方面，一些事件（如结束对环保产品、核能等的国家补贴）会对单个或少数经济部门产生影响。然后，临界性被认为是导致同质性的全球效应和导致贸易异质性的局部效应之间的竞争。我们已经看到，对于欧洲指数集，香农熵在工作点T=1附近有一个扩散点。我们认为，随着随机性的变化，微态数急剧增加（或减少）。

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2022-5-5 02:07:09

熵与平均微态数的对数有关，我们可以通过简单的RU（T）/T积分得到这个量。我们观察到，最大的斜率大约位于距离饱和区（斜率接近于零）较远的实际工作点T=1处。在工作点附近，微态数的对数几乎是线性的，具有较大的斜率，因此拉格朗日参数的变化将导致微结构发生剧烈（以指数16/方式）变化。这表明市场网络具有很强的结构可塑性。熵还衡量股票之间的统计依赖程度。如果股票没有相互影响，系统将被视为一个随机系统，协方差小，反应性低。因此，熵将达到其最大值。在相反的情况下，如果股票相关性最大（意味着反应性也很低），那么就不再存在任何不确定性，整个市场状态将在知道单个状态的情况下是可预测的，熵将为零。因此，如果熵的斜率在操作点达到最大值，这意味着市场处于边缘。任何变化都可能导致市场要么走向随机（无序、独立交易），要么走向高度互动（有序、同步交易）状态。因此，我们期望利用即时信息实现更大的可预测性：使用第i个实体的系统配置截肢-i、人们应该能够高精度地预测这个实体的状态。这将是另一部作品的主题。最后，从信息聚合来看，欧洲指数集比道琼斯指数更接近临界点[38]。

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2022-5-5 02:07:12

一组指数是股票价格的加权平均数。考虑到股票是金融网络的基本枢纽，指数代表超级枢纽，作为一个规模大得多的系统。在指数集中，典型的相对聚类大小也比较小，每个聚类包含大约30%的实体总数，如图19[4]所示。对于道琼斯指数而言，聚类规模约为指数规模的10%。因此，相关结构在指数集中具有更大的相对大小，这可能与共同运动和波动之间的正确平衡相匹配。0.6 0.8 1.0 1.2 1.4AEXCACBELIBEXIBDAXEURSTFTSE1.5 2CVxxOmJJMRKPFEKFTKOPGTVZAACADDMMMAXPBACTRVDISGEBAUTXMCDHDWMTCSCOINTCMSFITBMHPQfigure 19：每个数据集的集群说明。指数集的集群（左）返回欧洲经济的一部分。道琼斯指数（右）的聚类回归了不同的经济部门（技术、分销、航空业、电视广播、金融、化工和工业公司、电信、消费品、医疗保健、石油）。从数据分析和模拟中，我们看到欧洲市场似乎在对数可能性方差接近其最大值的点上运行。指数经验函数返回欧洲指数的Top=0.92 a s渐近值（因此最大值），道琼斯指数在分钟抽样时返回Top=0.70。熵不是对数似然的线性函数。通过模拟数据对TOPE进行估计，返回的值接近1，但怀疑该值被高估了约15%。对于道琼斯指数，大17/模拟样本M=5×10（使用通过拟合真实数据获得的参数）返回一致的顶部值 0.65.

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2022-5-5 02:07:15

此外，金融系统更接近危机开始时的临界状态，这意味着巨大的波动和配置的均匀分布的巨大偏差。这种演变也表明了一个自我组织的过程。市场是一个高度适应的系统。通过自组织，市场对变化或意外事件做出强烈反应，并且其本身并不认为所有可能的事件都是等概率的。然而，通过数据分析，股票交易系统并不完全是临界的，道琼斯指数也远未达到临界状态。此外，金融系统并不稳定在同一个地区，而且在危机发生前就接近临界状态。这是一个有趣的发现，因为在这种模型中，大型雪崩更可能发生在接近临界状态的地方[41]。感谢我要感谢B.De Rock和P.Emplit提供的有益评论和讨论。这项工作是在苏威布鲁塞尔经济与管理学院的财政支持下进行的。一个实际的回答。对返回进行二值化。2.测试统计意义，并确定相应的最大尺寸N.（a）计算配置的经验分布^ps.（b）计算mk（精确采样k次的配置数量）和Ki的经验分布（在样本中观察到配置Si的次数）。（c）推导它们的熵H[s]和H[K]。（d）确定H[s]与H[K]关系的最大值。获取响应函数Ru并找到其最大值。重复几次(~ 100）组随机选择的实体。对于每组：（a）计算配置P（s）的经验分布。（b）将经验分布重新缩放为PT（s）=P（s）1/T∑{s} P（s）1/T（c）计算RU=Tstws（T）=-∑{s}PT（s）log PT（s）。（d）存储其最大值的坐标。4.

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2022-5-5 02:07:18

与真正关键系统的有限尺寸版本相比。（a）计算相对差x=（顶部- Tmax）/Top，其中Top=1。（b）计算PT=Tmax（s）和Pemp（s）之间的库尔贝克-莱布勒散度（KLD）。（c）将后一个KLD值与2D近邻伊辛模型的PT=Tcrit（s）和PT=（1+x）Tcrit（s）之间的KLD进行比较。5.按照B中所述，对齐普夫定律进行统计检验。6.检查S（U）与U之间的线性关系，其中U=对数P（S）。将经验结果与模拟结果进行比较。（a）输入拉格朗日参数（见C）。（b）使用蒙特卡罗马尔可夫链（seeD）模拟数据。（c） N.d）如果通过计算变量的阶数N=18，则可通过计算变量的阶数N=18计算无序度-1.∑is（1）is（2）i（上标表示的两个副本，与效用函数U的协方差相关）。比较常见尺寸的经验和模拟结果。Tmax的模拟v值与通过拟合经验关系Tmax（N）返回的渐近值之间存在较大差异（>10%），这可能表明拉格朗日参数的推断存在差异[31]，因此拟合较差。B离散幂律[34]给出了幂律的统计检验。我们将此测试调整为具有na tur al上限的离散幂律。在考虑离散情况之前，我们注意到如果分布p（x）~ 十、-β有一个确定的上限xmax，那么累积分布函数（CDF）在对数图中不会是一条直线，因为[X]≥ x] =CstZxmaxxy-βdy=Cst1- βhx1-βmax- x1-βi（8），其中常数将分布标准化为1且β>1。取两边的对数，它是P[X]≥ x] =原木x1-β- x1-βmax+ logCstβ-1（9）[34]中提出的统计方法包括以下方案1。

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