不完全Radner平衡模型的Taylor逼近

2022-5-5 02:17:09

美国宾夕法尼亚州匹兹堡卡内基梅隆大学数学科学系非完全平衡模elsJin Hyuk Choi的泰勒近似15213电子邮件：jinhyuk@andrew.cmu.eduKasper美国宾夕法尼亚州匹兹堡卡内基梅隆大学拉森数学科学系15213电子邮件：kasperl@andrew.cmu.eduJune2018年4月摘要：在指数投资者和受布朗运动支配的不确定性的背景下，我们首先证明了一类一般模型的不完全平衡的存在性。然后，我们引入了一类可伸缩的指数二次模型，并证明了相应的不完全平衡点由一组耦合的Riccati方程描述。最后，我们证明了这些指数二次模型可以用来近似我们在第一部分研究的不完全模型。1引言在具有异质指数效用投资者的多维自回归布朗环境中，我们首先证明了不完全均衡的存在。每个投资者的捐赠都允许包含不可交易的风险成分，这意味着模型的不完整性。其次，我们构造了一类不完全模型，其平衡点由耦合的Riccati方程描述。然后，我们证明了这类易于处理的模型可以作为我们首先考虑的一般模型的泰勒近似。我们构造了一个例子，表明已建立的收敛速度（视为时间范围的函数）无法得到改善。完整的模型，即投资者收入流（捐赠）可以交易的模型，在文献中得到了广泛的研究，参考文献包括教科书[12]、[6]和[5]。或者，当投资者的捐赠无法交易时，基础模型是不完整的。

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能者818

2022-5-5 02:17:11

目前关于具有非退火禀赋和连续时间交易的布朗模型中平衡点的存在性的文献非常有限。与不完全平衡相关的理论在数学上更为复杂，因为不存在所有可能平衡的简单优先参数化。对于完整的模型，representativeagent通过恒定的帕累托系数权重提供这种参数化。工作文件[4]概括了代表性代理的概念，包括考虑模型不完整性所需的随机权重（非帕累托效率）。然而，[4]需要对偶优化器的某些属性，这些属性很难预先验证（参见[4]中的定理4和5）。本文[2]提出了一个基于多维布朗运动的模型，该模型产生了不完全均衡包含形式，并量化了收入不完全性对均衡利率的负影响。工作文件[3]将[2]扩展到包括非贸易随机收入波动成分，并表明这一特征既可以降低均衡利率，又可以提高均衡股权溢价。本文[17]使用Banach的不动点定理来确保一个模型中的平衡存在，该模型中的噪声由一个布朗运动和一个独立的指示过程产生。论文[16]在禀赋衰减性质下，利用Schauder不动点定理证明了多重布朗运动情况下不完全平衡的存在（见[16]中的假设2.3.1]）。我们展示了如何将[17]中的证明调整到我们的设置中，其中，基础因子过程是由多粒子运动驱动的多维Ornstein-Uhlenbeck过程。此外，我们删除了[16]中使用的上述衰减特性。

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能者818

2022-5-5 02:17:14

与[17]和[16]相比，我们的设置还包括一个内生决定的利率。在本文的第二部分，我们构造了一类指数四分体模型，其相应的平衡点由一组耦合的Riccati方程描述。这类模型具有很强的可处理性，因为它由简单耦合的常微分方程描述。我们证明，一般情况下的完全均衡可以通过用二次泰勒近似替换个人投资者的禀赋来近似（在短时间范围内）。这种近似属于指数二次模型。随着时间范围的消失，与近似均衡相对应的风险过程的市场价格（以L-形式）收敛于与一般均衡相对应的风险过程的市场价格。我们举例说明，我们已经确定的收敛速度（总体上）是无法提高的。本文的结构如下：在下一节中，我们建立了模型，并分析了个人投资者的问题。第三节给出了主要的存在性结果，第四节介绍了泰勒近似并建立了其收敛性。所有证据都在附录中。2模型设置2。1数学设置和符号对于向量x，我们用x的转置表示Ohm, F、 P是一个概率空间，其中W=（W（1）。。。，W（D））是D维布朗运动，即每个坐标过程都是一维布朗运动，所有坐标过程都是独立的过程。我们考虑单位时间范围，让过滤（Ft）t∈[0,1]是W产生的常见强化过滤。为了简单起见，我们将假设F=F。我们简要回顾一下随机积分的以下标准符号，例如[15]。

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大多数88

2022-5-5 02:17:18

对于二维过程X和Y，X是连续半鞅，我们写Y∈ Lt（X）如果Y是一个渐进可测过程，那么向量随机积分rsyudxu=（Y·X）对于s是很好的定义∈ [0，t].2.2因子过程基本的马尔可夫因子过程将用Y=（Yt）t表示∈[0,1]定义如下：我们考虑确定性、可测性和局部有界函数[0,1]→ RDB和C:[0,1]→ RD×D。那么，以下D维Alornstein-Uhlenbeck工艺得到了很好的定义：=A（t）+B（t）Ytdt+C（t）dWt，Y∈ RD.（2.1）这种对基础因素的选择过程已广泛应用于金融业。特别是，Vasicek和Hull White的期限结构模型以及它们的多因素扩展都基于这种动力学。我们参考[7]了解更多细节。2.3金融模型我们考虑一种纯交换经济，即存在一种单一的消费品，所有价格都在其中报价。投资者只能在初始（t=0）和到期（t=t）时消费，而交易可以在整个[0，t]期间持续进行∈ （0，1）。除了货币市场账户S（0），投资者还可以交易N种非股息支付证券S=（S（1）。。。，我们总是认为≤ 当N<D时，得到的模型是不完整的。在下一节中，我们将提供以下假设成立的条件。集合M表示等价的局部鞅测度Q的集合，即Q∈ M是一个P-等价概率测度，在该测度下，S:=S/S（0）具有零漂移。假设2.1。存在一个连续函数λ：[0，T]×RD→ r和A常数r∈ R例如：1。货币市场账户采用恒定利率r，即其价格过程为S（0）t=ert。

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2022-5-5 02:17:21

风险证券的价格过程的动力学在asdS（n）t中有很好的定义=λ（t，Yt）+rS（n）tdt+dW（n）t，S（n）=1，n=1，2。。。，N.（2.2）2。过程λ（t，Yt））t∈[0，T]确保M不是空的。在假设2.1中，利率被认为是恒定的，因为投资者只能在最初和到期时消费。由于风险证券不支付股息，其波动性结构和初始值仍然不确定。我们在（2.2）中使用的对角波动率结构因其符号简单而被选择，并且可以很容易地被一般的随机波动率矩阵取代。（2.2）中n维向量λ（t，Yt）的第n个分量是通过定义S（n）的超额无风险收益，也被称为W（n）风险过程的市场价格。2.4拉德纳均衡模型∈ N系数ai>0:Ui（b）：=-E-哎呀，哎呀∈ R.我们假设每个投资者的主观概率测度为P。我们对投资者在T时支付的捐赠进行建模∈ （0，1）通过连续函数g（i）：RD→ Rwheras投资者的初始捐赠用g（i）表示∈ R代表我∈ {1,2，…，I}。注[1]讨论了在R上定义效用函数时，可接受性的几个可能概念。我们将使用以下投资者特定的可接受性概念。我们∈ {1,2，…，I}。在假设2.1下，对于固定的衡量标准^Q（i）∈ 我们认为这是一个过程∈ 如果（H·S）是a^Q（i）-supermartingaleon[0，T]，在这种情况下，我们写H∈ Ai=Ai^Q（i）.

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2022-5-5 02:17:24

投资者i，i=1，2。。。，一、寻求（^c（I），^H（I））∈ R×Aisuch：supc∈R、 H∈爱辉c+g（一）+ 用户界面十、-c、 HT+g（一）YTi=EUi（^c（i）+g（i））+Ui十、- ^c（i），^H（i）T+g（i）YT,（2.3）式中，dXx，Ht:=rXx，Htdt+PNn=1（Ht）nλ（t，Yt）无损检测+dW（n）t对于Xx，H：=x。我们采用了拉德纳平衡的以下定义，有关更多信息，请参阅【5】中的第5章。定义2.2（拉德纳）。直到时间T的平衡∈ （0，1]是一个常数r和满足假设2.1的函数λ，从而存在测度^Q（i）∈ M和（^c（i），^H（i））∈ R×Ai^Q（i）使配对（^c（i），^H（i））满足（2.3）i=1，2。。。，一、市场也很清楚：对于Leb，IXi=1^c（I）=0，IXi=1^H（I）t（ω）=0 P-a.e.（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. (2.4)投资者财富过程中的自我融资属性确保，无论何时（2.4）持有，货币市场也会清算，参见[17]中的备注2.5。因此，我们将在下文中专门关注（2.4）。2.5坐标的变化我们将证明，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设（2.1）中的A=B=Y=0。为了看到这一点，我们让Φ：[0，1]→ RD×Dbe下列线性矩阵方程的唯一解tΦ（t）=B（t）Φ（t），Φ（0）=ID×D，t∈ [0,1]，其中B是（2.1）中的矩阵，ID×Dis是D×D-单位矩阵。唯一解Φ（t）存在，且对所有t都是非奇异的≥ 0.然后，我们可以定义过程Yt:=ZtC（s）dWs，~C（t）：=Φ-1（t）C（t），t∈ [0, 1].[11]中第5.5.6节中的结果产生了表示g（i）（YT）=g（i）（YT）式，其中g（i）（y）：=g（i）Φ（T）Y+ZTΦ-1（s）A（s）ds+y, Y∈ RD.（2.5）这一论点证明了以下假设中的动力学（2.6）。有关H–older空间的讨论，请参见附录A.1。假设2.3。存在α∈ （0,1）和δ>δ>0，使得因子过程满足t=ZtC（u）dWu，t∈ [0, 1].

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2022-5-5 02:17:27

（2.6）这里是函数C:[0,1]→ RD×d表示C是α-H–older连续且δ| y|≥ yTC（t）C（t）Ty≥ δ| y |，y∈ RD，t∈ [0, 1]. (2.7)3一般存在结果3.1。根据假设2。3:We fixα∈ （0，1）我们让g（一）Ii=1C2+α（RD）。那就不存在了∈ （0，1]这样，对于所有T<T，在定义2的意义上存在一个平衡（r，λ）。2.这个结果在几个方向上扩展了[16]中的定理6.3.1：首先，定理3.1中不需要[16]中假设2.3.1的decayproperty。其次，正如第2.5节所讨论的，假设2.3考虑了基础因素过程中的自回归性。最后，定理3.1包括均衡利率部分。从证明定理3.1中我们可以看到，存在一个常数常数>0，它只依赖于（δ，δ，D，α，ai，I，N），使得≥constmaxi=1，。。。，I | g（I）| 1+α。换句话说，大的捐赠函数（用H？older标准衡量）产生的担保有效期限更小。4近似我们首先介绍指数四分法模型的高度易处理类。然后，我们证明了这些模型可以作为我们在第3.4.1节中考虑的一般不完全模型的二次泰勒近似。指数四分法模型定义了禀赋函数g（i）：RD→ R出现在优化问题（2.3）中的二次形式g（i）（y）：=f（i）+（h（i））Ty+yTj（i）y，y∈ RD，（4.1）式中f（i）∈ R、 h（i）∈ RD和j（i）∈ 下一个定理的证明表明，赋能函数（4.1）对应的拉德纳平衡（r，λ）可以用矩阵值二阶耦合常微分方程组来表征。因此，平衡点的存在性问题可以简化为确保耦合Riccati方程组的解的存在性。

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2022-5-5 02:17:30

在下一个定理中，D×N矩阵C（t）的定义是，对于i=1，…，让C（t）ij表示C（t）ij。。。，D和j=1。。。，N.定理4.1。让Y由（2.6）定义，让g（i）由（4.1）定义，因为i=1，2。。。，然后存在一个恒定的TRiccati∈ (0, ∞] 因此，对于所有最成熟的函数，我们都有如下结果：存在常数r和连续函数β（i）：[0，T]→ RD，γ（i）：[0，T]→ RD×D，i=1，2。。。，一、使得函数λ（t，y）：=τ∑C（t）TIXi=1β（i）（T）- （t）+γ（i）（t）+γ（i）（t- t） tY, T∈ [0，T]，（4.2）与r一起构成定义2.2意义上的平衡。定理4.1（见附录A.4）的证明中提供了表征βi和γii的常微分方程组。4.2泰勒近似下列结果表明，风险过程的市场价格源自近似g（一）Ii=1及其二阶泰勒近似可用于从原始模型逼近风险过程的市场价格。我们定义g（i）（y）：=g（i）（0）+yg（i）（0）Ty+yTyyg（i）（0）y，y∈ RD，（4.3）对于i=1，2。。。，I.上一节和理论4介绍了该功能表。1产生相应的平衡。定理4.2。假设2.3：对于α∈ （0，1）我们让g（一）Ii=1 C2+α（RD）和λ是由Theo re m 3.1产生的风险函数的相应公式库市场价格。我们让函数g（i）由（4.3）定义，并由定理4.1产生的风险函数λ的对应均衡市场价格。那么λt、 Yt）-~λt、 Yt我≤ 常数T1+α，t∈ [0，T]，（4.4），其中常数常数依赖于T和T，且T<T∧ TRiccati，其中t>0是定理3.1的到期日，TRiccati>0是mTheorem 4.1的到期日。收敛速度（4.4）仅对到期日T有效∈ （0，T∧特里卡蒂）。

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kedemingshi

2022-5-5 02:17:33

因此，泰勒近似只能保证在短期内有效。此外，在这种情况下，近似平衡存在于比原始平衡更短的区间内。如果T>triccative，我们希望近似时间T之前的不完全平衡，我们可以用其更简单的一阶类似物取代二阶泰勒近似（4.3）：~g（i）（y）：=g（i）（0）+yg（i）（0）泰，泰∈ RD.在这种情况下，对应于一阶泰勒近似的不完全平衡存在于整个时间范围内[0,1]。风险过程的近似市场价格变得确定性，定理4.2的结论仍然有效，其中（4.4）中的指数1+α替换为。我们用一个例子来结束这一节，说明定理4.2中建立的收敛速度（4.4）一般是最优的。例4.3。让α∈ （0,1）是固定的。我们考虑了一个单代理模型，即i:=1，风险规避系数a:=1，以及完整模型Yt:=W（1）t。我们定义了函数f（x）：=2.- |x | 1+α，|x |≤ 1,(2 - |x |）1+α，|x |∈ （1,2），0，其他。（4.5）我们还需要函数F（x）：=Rx-2f（y）dy代表x>-2和F（x）：=0 for x≤ -2.然后我们得到f∈ C1+α（R），因此为F∈ C2+α（R）。我们有λ=yu和g（1）（y）=F（y）的特征偏微分方程屠+yu-(yu）=0，u（T，y）=F（y），（4.6）见附录中的定理A.5。（4.6）的显式解由u（t，y）=-自然对数ZRp2π（T）- t） e-x2（T-t） e-F（y）-x） dx, B∈ R、（4.7）参见[8]中的第4.4.1a章。λ的表达式=yu读数λ（t，y）=RRe-x2（T-t） e-F（y）-x） F′（y）- x） dxRRe-x2（T-t） e-F（y）-x） dx。（4.8）在近似模型中，我们将（4.6）中的F替换为F（y）：=F（0）+F′（0）y+F′（0）y=2+2y，y∈ R.在这种情况下，公式（4.8）产生相应的风险函数∧λ（t，y）=2的市场价格。

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2022-5-5 02:17:38

对于t:=0，（4.4）的左侧变成|λ（0，0）-λ（0，0）|=RRe-x2Te-F(-x） (二)- f(-x））dxre-x2Te-F(-x） dx≥√2πTZRe-x2Te-F(-x） (二)- f(-x））dx≥ E-4.√2πTZe-x2Tx1+αdx第一个等式成立，因为λ≤ 2=λ，高斯核积分为1。第一个不等式成立是因为F是正的，而第二个不等式成立于| F |≤ 2和| F |≤ 4.最后一个表达式具有某些常数大于0所需的formconst T1+α。FSX的Proo∈ Rdwe表示j’th坐标，而| x |表示通常的欧几里得2范数。如果X∈ Rd×nha是一个逆X-1我们用X表示-t X的转置-1.我们将使用字母c表示仅取决于（δ，δ，D，α，ai，I，N）的各种常数。如果常数也依赖于一些H–older范数，我们将使用字母C。常数C和C从不依赖于任何时间变量。我们不从一行到另一行重新标记c和c。A.1 H¨older空格在本节中，我们将简要回顾与边界连续函数的H¨older空格相关的标准符号，参见，例如[13]。我们是xα∈ （0，1）在下面的内容中。范数| g |和半范数[g]α由|g |：：=supx定义∈RD | g（x）|，[g]α：=supx，y∈RD，x6=y | g（x）- g（y）| | x- y |α，g∈ 丙(右)。我们用yg是g的导数的向量，并且yyg表示g’s二阶导数的矩阵。H¨older规范定义为|g|α：=|g|+[g]α，g∈ C（RD），|g | 1+α：=|g |+|yg |+[yg]α，g∈ C（RD），|g | 2+α：=|g |+|yg |+|y yg |+[y-yg]α，g∈ 对于k=0,1,2，C（RD）和相应的H¨older空间用Ck+α（RD）表示。在这些表达式中，只要涉及的量是向量或矩阵，我们就求和。

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2022-5-5 02:17:41

国企。g、 ,|yg |表示SPDD=1|ydg |对于函数g=g（y）∈ 丙(右)。对于时间和状态函数，我们也需要抛物线H¨older空间。对于此类函数，通常的上确界范数定义为|u |：：=sup（t，x）∈[0，T]×RD | u（T，x）|，u∈ C（[0，T]×RD）。我们用tu函数u=u（t，x）对时间的偏导数。上述H¨older范数的抛物线形式定义为|u |α：=|u |+[u]α，u∈ u+1240|于|+[yu]α，u∈ C0,1（[0，T]×RD），|u | 2+α=|图|+[tu]α+| u |+|于|+|yu |+[y-yu]α，u∈ C1,2（[0，T]×RD），其中余和y yu表示关于状态变量的一阶和二阶导数，[h]α：=sup（t，x），（s，y）∈[0，T]×RD，（T，x）6=（s，y）|h（T，x）- h（s，y）|（p | t）- s |+| x- y |）α，h∈ {于，yu，恩。相应的抛物线H¨older空间用Ck+α（[0，T]×RD）fork=0，1，2表示。我们用一个简单的不等式来结束这一节，稍后我们会用到这个不等式。引理A.1。对于h，h，hand，hincα（[0，T]×RD），我们有：|hh-~h~h |α≤|H-~h |α| h+~h |α+| h+~h |α| h-~h |α. （A.1）证据。[13]中的方程式（3.1.6）产生了h，h∈ Cα（[0，T]×RD）不等式[hh]α≤ | h |[h]α+[h]α|h |。从这个不等式和|·|α的定义，我们得到|hh |α=|hh |+[hh]α≤ |h | | h |+[hh]α≤ |h |α| h |α。因此|hh-~h~h |α=（h）-~h）（h+~h）+（h+~h）（h）-~h）α、三角形不等式产生（A.1）。A.2线性代数的估计我们从线性代数的以下结果开始，我们需要下一节。对于D×D正有限矩阵X，我们用| | X | | F表示Frobenius范数，即| | X | | F:=DXi，j=1Xij。我们注意到柯西-施瓦茨不等式成立：|Xx |≤ ||X | | F | X |代表X∈ 引理A.2。让C满足假设2.3。我们定义了D×D矩阵∑（t，s）：=ZstC（u）C（u）Tdu，0≤ t<s≤ 1.

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2022-5-5 02:17:44

（A.2）（1）函数∑是对称的，正定义，满足：∑（t，s）ij |≤δ（s）- t），δ（s）- （t）≤ ∑（t，s）ii，i，j=1。。。，D.（2）逆∑（t，s）-1存在且对称、正定义且满足δ（s- （t）≤ ∑（t，s）-1ii≤δ（s- t），i=1。。。，D.因此，∑（t，s）-1ij|≤δ（s）-t）对于i，j=1。。。，D.（3）Cholesky分解中的下三角矩阵L（t，s）∑（t，s）=L（t，s）L（t，s）Tsatis fies | L（t，s）ij |≤qδ（s）- t），L（t，s）ii≥pδ（s）- t），i，j=1。。。，D.（4）对于0≤ 我们有| | L（t，s）- L（t，s）| | F≤ C√T- 这里c是常数，仅取决于δ，δ，D。（5）存在常数c，仅取决于δ，δ，D，因此对于i=1。。。，D:q∑（t，s）-1ii-q∑（t，s）-1ii≤ c分钟(√s- t、 t- t（s）- t）），0≤ t<t<s.证明。（1）：对称性来源于（A.2）。为了你∈ RD，假设2.3的条件（2.7）∑（t，s）y | y |=ZstyTC（u）C（u）Ty | y | du∈ [δ（s）- t），δ（s）- t） ]。（A.3）因此，∑（t，s）也是正定义。让y作为i的基向量ei∈ 我们看到δ（s）- （t）≤ ∑（t，s）ii≤ δ（s）- t）。最后，不等式∑（t，s）ij |≤p∑（s）- t） ii∑（s）- t） jj，看问题7.1。[10]中的P1产生（1）。（2）：因为∑（t，s）-1是正定义，∑（t，s）的特征值-1是∑（t，s）特征值的倒数。然后，从第（1）部分和问题4.2中引出所声称的不等式。[10]中的P3。最后一个估计值来自∑（t，s）-1ij|≤q∑（s）- （t）-1ii∑（s）- （t）-1jj。（3）：为了查看第一项索赔，我们注意到∑（t，s）=L（t，s）L（t，s）和（1）producexj=1L（t，s）ij=∑（t，s）ii≤ δ（s）- t）。为了看到第二个主张，我们使用推论3.5.6、定理4.3.17和推论7.2.9in[10]来表示∑（t，s）ii=si’th主子∑（t，s）（i-1）∑（t，s）的第主子≥pδ（s）- t）。（4）：我们用归纳法证明了这一点。

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2022-5-5 02:17:47

在第（1）部分中，我们有| L（t，s）- L（t，s）|=p∑（t，s）-p∑（t，s）≤p∑（t，s）- ∑（t，s）=p∑（t，t）≤qδ（t）- t）。对于诱导步骤，我们假设有一个常数c，使得| L（t，s）ij-L（t，s）ij|≤C√T- t对于j=1。。。，K- 1和i=j。。。，D.对于j=i=k，我们有| L（t，s）kk- L（t，s）kk |=|L（t，s）kk- L（t，s）kk | L（t，s）kk+L（t，s）kk≤pδ（s）- t） +pδ（s）- （t）t）kkt，∑-K-1Xj=1L（t，s）kj- L（t，s）kj≤pδ（s）- t） +pδ（s）- （t）δ（t）- t） +k-1Xj=1 | L（t，s）kj- L（t，s）kj | L（t，s）kj+L（t，s）kj|≤pδ（s）- t） +pδ（s）- （t）δ（t）- t） +2c（k）- 1)√T- tqδ（s）- （t）.第一个不平等来自（3）。第二个不等式来自（1）。最后一个不等式来自（3）和归纳假设。最后一项由c限定√T- t对于某些常数c.对于j=k和i=k+1。。。，D我们可以使用∑=ll来获得表示（t，s）ik=∑（t，s）ik-主键-1j=1L（t，s）kjL（t，s）ijL（t，s）kk，0≤ t<s，并使用类似于上一个对角线情况的参数来获得上界。总之，我们有Frobenius范数估计| | L（t，s）- L（t，s）| | F≤ C√T- t、（5）：使用t∑（t，s）-1= -∑（t，s）-1.t∑（t，s）∑（t，s）-1我们看到了0≤ t<s:tq∑（t，s）-1ii=p∑（t，s）-1ii∑（t，s）-1C（t）C（t）t∑（t，s）-1.二、≤qδ（s）- t） δ∑（t，s）-1∑（t，s）-1.二、.因此，（2）给出了界限tq∑（t，s）-1ii≤ c（s）- （t）-3/2，对于某些常数c，中值定理产生q∑（t，s）-1ii-q∑（t，s）-1ii≤ 计算机断层扫描- t（s）- t） 3/2。这个不等式结合（2）得出了证明。A.3热方程的正则性我们让∑（s，t）由（A.2）定义，我们让Γ表示以下D维（非齐次）高斯核：Γ（t，s，y）：=e-yT∑（t，s）-1y（2π）D/2et∑（t，s）1/2, 0 ≤ t<s≤ T、 y∈ 路（A.4）引理A.3。为了f∈ Cα（[0，T]×RD）我们对所有T∈ [0，T]和y∈ RD:ydZTtZRDΓ（t，s，x- y） f（s，x）dxds=-ZTtZRDΓyd（t，s，x- y） f（s，x）dxds，对于d=1。。。，D.证据。

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kedemingshi

2022-5-5 02:17:51

我们首先假设fis在紧支撑下是连续可微的。在这种情况下，支配收敛定理和部分积分产生了这种主张。对于F相关连续和有界，我们近似如下：我们First Fix R>0。由于Γ（t，·，·，·）和Γyd（t，·，·，·）在[t，t]×R上都是可积的，我们可以找到Mn>R，这样zttz····|≥锰-RΓ（t，s，x）dxds≤n、 ZTtZ | x|≥锰-R|Γyd（t，s，x）|dxds≤n、 n∈ N.每N∈ N、紧支撑函数的密度允许我们找到一个连续可微的紧支撑函数fn，这样| fn|≤ |f |，sup | x|≤Mn，s∈[t，t]| fn（s，x）- f（s，x）|≤n、对于| y |≤ R我们有{x∈ RD:|x+y |>Mn} {x∈ RD:|x |>Mn- R} 因此，ZTtZRDΓ（t，s，x）fn（s，y+x）- f（s，y+x）dxds≤ZTtZ | x+y|≤MnΓ（t，s，x）fn（s，y+x）- f（s，y+x）dxds+ZTtZ | x |>Mn-RΓ（t，s，x）fn（s，y+x）- f（s，y+x）dxds≤Tn+2 | f | n.对于| y |用Γyd替换可以发现类似的估计（在y中也是一致的）≤ 兰德·t∈ [0，T]我们定义了函数sgn（T，y）：=ZTtZRDΓ（T，s，x- y） fn（s，x）dxds，n=0，1。。。，h（t，y）：=-ZTtZRDΓyd（t，s，x- y） f（s，x）dxds。由于我们有紧密的支持，我们有ydgn=-RTtRRDΓydfndxds。因此，0=limn→∞副食品|≤R | gn（t，y）- g（t，y）|=limn→∞副食品|≤R|ydgn（t，y）- h（t，y）|。微积分的基本定理为|y |≤ R:g（t，y，…，yd，…，yd）- g（t，y，…，0，…，yD）=limn→∞gn（t，y，…，yd，…，yd）- gn（t，y，…，0，…，yD）=limn→∞Zydydgn（t，y，…，ξ，…，yD）dξ=Zydh（t，y，…，ξ，…，yD）dξ。自从ydgni连续且一致收敛于h（在| y |≤ R）我们知道H也是连续的。然后我们可以申请获得ydg=h。由于R>0是任意的，因此该声明如下。引理A.4。假设2.3：对于α∈ （0,1）和T∈ [0,1]我们让f∈Cα（[0，T]×RD）和g∈ C2+α（RD）可以给出。

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2022-5-5 02:17:54

然后存在常数c=c（δ，δ，α，D）和唯一解u∈ （ut+tr）的C2+α（[0，T]×RD）(y-yu（i）CCT）+f=0，u（T，y）=g（y），（A.5），满足| u | 1+α≤ C|g | 1+α+√T | f |α. （A.6）证据。[14]第4章中的定理5.1确保了（a.5）的唯一C2+α（[0，T]×RD）解u的存在性。从[11]中的第5.7B节，我们得到了费曼-卡克表示：u（t，y）=ZRDΓ（t，t，x）- y） g（x）dx+ZTtZRDΓ（t，s，x）- y） f（s，x）dxds。（A.7）从陈述（A.7）中，我们立即获得| u（t，y）|≤ |g |+（T）-t） |f |提供范数估计|u|≤ |g |+T | f |，（A.8）由于∑（T，s）是正定义的，因此对于下非奇异三角矩阵L（T，s），存在唯一的Cholesky分解∑（T，s）=L（T，s）L（T，s）T。此外，∑（t，s）-1=L（t，s）-TL（t，s）-1.当改变变量时，通过使用det（L（t，s））=det（∑（t，s）），我们可以重新写入（A.7）asu（t，y）=ZRDe-|z |（2π）D/2g（y）- L（t，t）z）dz+ZTtZRDΓ（t，s，x）- y） f（s，x）dxds。（A.9）自从g∈ C2+α我们可以在gintegral上应用支配收敛定理，我们可以在（A.9）中的f-积分上应用引理A.3来产生：uyd（t，y）=ZRDe-|z |（2π）D/2gyd（y）- L（t，t）z）dz-ZTtZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-Tzdfs、 y- L（t，s）zdzds，（A.10）在替换z=L（t，s）之后-1（y）- x）在f积分中。自| | L（t，s）-T | | F=tr∑-1（t，s））≤Dδ（s）-t）根据引理A.2（2），柯西-施瓦茨不等式产生| uyd（t，y）|≤ | gyd |+| f | ZTtZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-TzDdzds≤ |gyd |+| f | ZTtZRDe-|z |（2π）D/2 | | L（t，s）-T | | F | z | dzd s≤ |gyd |+D | f | ZTtpδ（s- t） ZRDe-|z |（2π）D/2 | z | dzds。通过计算积分，我们得到了估计值| uyd|≤ | |c |d√T | f |。（A.11）估计半范数[yu]α我们将提供四个估计值，当组合产生该估计值时。

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能者818

2022-5-5 02:17:57

我们从0<t<t<t和y，y开始∈ RD.对于我们的第一次估算ZRDe-|z |（2π）D/2gyd（y）- L（t，t）z）- gyd（y）- L（t，t）z）dz≤ [gyd]αZRDe-|z |（2π）D/2Y- L（t，t）z- y+L（t，t）zαdz，≤ [gyd]αZRDe-|z |（2π）D/2|Y- y |+| L（t，t）- L（t，t）| | F | z|αdz≤ [gyd]αZRDe-|z |（2π）D/2|Y- y |+c | t- t | 1/2 | z|αdz。第一个等式是由于插值不等式，它确保[gyd]α<∞, 例如，参见[13]中的定理3.2.1。第二个不等式使用Cauchy-Schwartz的正弦性质，而最后一个不等式来自引理A.2（4）。第二个估计是：ZttZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-Tzdfs、 y- L（t，s）zdzds=ZttZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-TzDFs、 y- L（t，s）z- Ft、 ydzds≤ c[f]αZtt√s- 扎德-|z |（2π）D/2 | z||s- t | 1/2+| s- t | 1/2 | z|α-dzds≤ c[f]α| t- t |（α+1）/2，其中第一个不等式如前所示。第三个估计值与之类似，如下所示：ZTtZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-TzDFs、 y- L（t，s）z- Fs、 y- L（t，s）zdzds≤ c[f]αZTt√s- 扎德-|z |（2π）D/2 | z||Y- y |+| t- t | 1/2 | z|αdzds。对于第四个也是最后一个估计，我们首先考虑了d=d的情况，即L的三角形结构-1和L-Twe haveq∑-1DD=L-1DD=L-TDD。这给了我们ZTtZRDe-|z |（2π）D/2nL（t，s）-TzD-L（t，s）-Tz自由度s、 y- L（t，s）zdzds=ZTtZRDe-|z |（2π）D/2nq∑（t，s）-1DD-q∑（t，s）-1DDozD×Fs、 y- L（t，s）z- Ft、 ydzds≤ c[f]αZTtmin(√s- t、 t- t（s）- t））ZRDe-|z |（2π）D/2 | zD ||s- t | 1/2+| s- t | 1/2 | z|αdzds，其中不等式来自引理A.2（5）。通过执行以下替换，情况d<d可以简化为情况d=d：Welet J是通过交换d×d-单位矩阵的第d行和第d行而得到的d×d-矩阵，我们让＠L是Cholesky分解J∑J=＠L＠LT中的下三角矩阵。

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2022-5-5 02:18:00

对于z:=L-1J（y）- x）我们有∑（t，s）-1（y）- 十）d=J∑（t，s）-1（y）- 十）D=J∑（t，s）-1JJ（y）- 十）D=L（t，s）-TzD、其中，JJ是D×D-单位矩阵，J∑-1J=~L-TL-1.这四个估计与三角形不等式以及表示（A.10）一起产生抛物线半范数估计[uyd]α≤ C|g | 1+α+√T | f |α. （A.12）最后，通过组合三个估计值（A.8）、（A.11）和（A.12），并使用T≤ 我们得出抛物线范数估计（A.6）。定理A.5。在定理3.1的假设下：存在T∈ （0，1）对于所有的T<T，对于i=1，2，…，在u（i）=u（i）（T，y）中的非线性PD E-s系统。。。，我：tu（i）+2ai |λ|- λT\'CT余（i）+ai|“CT余（一）|- |计算机断层扫描余（一）|+tryu（i）CCT= 0，u（i）（T，y）=g（i）（y），其中，C如定理4.1所示，耦合函数λ定义为λ（T，y）：=τ∑C（T）TIXj=1yu（j）（t，y），（A.13）有一个独特的解决方案u（i）Ii=1 C2+α（[0，T]×RD）。证据我们确定：=C1+α（[0，T]×RD）如果我∈ N、以及规范：kvkST:=maxi∈{1,2，…，I}| v（I）| 1+α，v∈ 圣路易斯C1+α（[0，T]×RD），|·| 1+α是Banach空间，我们还有（ST，| |·| | ST）是aBanach空间。下面我们将使用引理A.4中的符号。对于i=1。。。，我确定了地图的第I坐标∏（I）∏：ST→ Β（x，t）∏- y） g（i）（x）dx+ZTtZRDΓ（t，s，x）- y） f（i）（v）（s，x）dxds，其中f（i）：ST→ Cα（[0，T]×RD）由f（i）（v）：=2ai |λ（v）定义|- λ（v）T\'CTyv（i）+ai|“CTyv（一）|- |计算机断层扫描yv（一）|, （A.14）λ（v）：=τ∑CTIXj=1yv（j）。基于引理A.1，我们得到了v，~v∈ 估计值：| f（i）（v）|α≤ ckvkST，| f（i）（v）- f（i）（v）|α≤ c（kvkST+kvkST）kv- 对于常数c，vkST（A.15）。

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大多数88

2022-5-5 02:18:04

通过将（A.6）与（A.15）相结合，我们得到了|∏（i）（v）| 1+α的估计≤ C|g（i）|1+α+√T kvkST,|π（i）（v）- π（i）（~v）|1+α≤ C√T（kvkST+kvkST）kv- ■vkST。因此，通过∏的定义，我们得到了估算的sk∏（v）kST≤ Cmax1≤我≤I | g（I）| 1+α+√T kvkST,k∏（v）- π（~v）kST≤ C√T（kvkST+kvkST）kv- ■vkST。（A.16）为了确保∏是收缩映射，我们考虑实数R>0和t∈ （0，1）使得（这些常数R和Texist）cmax1≤我≤I | g（I）| 1+α+pTR≤ R、 2cpTR≤.（A.17）对于T∈ （0，T）我们定义了R球BT:={v∈ ST:kvkST≤ R}C1+α（[0，T]×RD）I.估算（A.16）和参数限制（A.17）产生∏映射到BT，并且∏是BT上的收缩映射。由于空间（ST，| |·| | ST）是完整的，因此存在唯一的固定点u∈ 地图∏的边界。点特性∏（u）=u意味着u（i）由（A.7）给出，f:=f（i）（u）∈Cα（[0，T]×RD）。通过唯一性，我们得到u（i）∈ C2+α（[0，T]×RD）。因此，功能u（i）Ii=1 C2+α（[0，T]×RD）求解所述PDE系统。A.4剩余证明用我D×N矩阵，其上N行为单位矩阵xin×N，其中所有剩余项均为零。定理3.1的证明。我们将使用定理A.5，并让T<T。然后我们可以通过（A.13）以及常数：=τ∑TIXi=1来定义函数λ=λ（T，y）u（i）（0,0）- g（一）. （A.18）证明分为以下两个步骤：步骤1：对于i=1。。。，我们定义了N维过程^H（I）t:=aier（t-（t）λ（t，Yt）- 人工智能C（t）t余（i）（t，Yt）, T∈ [0，T]，（A.19），其中“C（T）ij表示i=1的C（T）ij。。。，D和j=1。。。，N我们将证明^H（i）在某个集合Ai=Ai（^Q（i））中是可容许的，并且在某个集合中达到了上确界∈爱辉X0，HT+g（i）YTi、（A.20）我们注意到，在（A.20）中，由于指数参考结构，初始财富是不相关的。

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2022-5-5 02:18:08

我们定义了函数V（i）（t，x，y）：=-E-人工智能呃(T)-t） x+u（i）（t，y）以及过程d^X（i）t:=r^X（i）tdt+（^H（i）t）tt（dt）λ+我TdWt^X（i）：=0。它^o引理产生了V（i）=V（i）（t，^X（i）t，Yt）到bedV（i）=xV（i）（^H（i））T我TdWt+(yV（i））TC（t）dWt=-V（i）nλT- 人工智能yu（i））T\'C我T+ai(余（我）不知道。（A.21）自yu（i）和λ是有界的，我们可以利用Novikov条件来证明V（i）确实是P-鞅。因为V（i）（t，^X（i）t，Yt）是鞅，所以我们有q（i）：=E埃尔图伊^X（i）T+g（i）（YT）∈(0, ∞). 然后，我们可以通过FT:d^Q（i）dP:=V（i）上的RadonNikodym导数确定P-等价概率测度^Q（i）T、 ^X（i）T，YTV（i）（0,0,0）=erTU′i^X（i）T+g（i）（YT）q（i），i=1，2。。。，一、其中，最后一个等式来自终端条件u（I）（T，y）=g（I）（y）。接下来我们将证明^Q（i）∈ M.根据V（i）的鞅性质，我们得到了d^Q（i）dPFt#=V（i）（t，^X（i）t，Yt）V（i）（0，0，0），t∈ [0，T]。因此，dV（i）的动力学（A.21）与Girsanov定理一起确保了∧s:=s/s（0）是N维^Q（i）-鞅，因此，^Q（i）∈ M.因为)S的灵活性是e-r由（A.19）定义的过程^H（i）是一致有界的，我们得到了过程^X（i）te-rtis a^Q（i）-t的鞅∈ [0，T]，因此，^H（i）∈ 人工智能。最后，对^H（i）最优性的验证是相当标准的，如下所示。芬切尔不等式产生Ui（x）≤ U*i（y）+xy代表所有x∈ R和y>0在哪里*iis是Ui的凸共轭，即U*i（y）：=supx∈R用户界面（x）-xy.

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2022-5-5 02:18:12

因此，对于任意H∈ 哎，我们有德惠X0，HT+g（一）（YT）我≤ 埃胡*我q（i）d^q（i）dPe-rTi+q（i）Ehd^q（i）dPe-rTX0，HT+g（一）（YT）我≤ 埃胡*我q（i）d^q（i）dPe-rTi+q（i）Ehd^q（i）dPe-rTg（i）（YT）i=EhU*我q（i）d^q（i）dPe-rTi+q（i）Ehd^q（i）dPe-rT^X（i）T+g（i）（YT）i=EhUi^X（i）T+g（i）（YT）i、第二个不等式是由（H·S）t的^Q（i）-上鞅性质产生的，第一个等式是由（^H（i）·S）的^Q（i）-鞅性质产生的，最后一个等式来自定义U中的一阶条件*, 参见，例如，狐猴4。3（i）在[12]中。这证实了^H（i）在（A.20）中达到了最高点。第2步：基于上一步，我们可以重新编写优化问题（2.3）assupc∈R- E-人工智能（c+g）- eaierTc-aiu（i）（0,0）.对于^c（i）可以直接解决这个问题，并且（A.18）可以确保清除条件pii=1^c（i）=0。定理4.1的证明。函数α（i）（t）∈ R、 β（i）（t）∈ Rd和γ（i）（t）∈ RD×Dfor t≥ 0和i=1，2。。。，I由耦合的常微分方程决定。（γ（i））′=ai（γ（i）+（γ（i））T（\'C\'CT- CCT）（γ（i）+（γ（i））T）-τ∑（γ（i）+（γ（i））T\'-C\'CTIXj=1（γ（j）+（γ（j））T）+2aiτ∑IXj=1（γ（j）+（γ（j））T）！\'C\'CTIXj=1（γ（j）+（γ（j））T）！，γ（i）（0）=j（i），（β（i））′=ai（γ（i）+（γ（i））T）（\'C\'CT- CCT）β（i）+aiτ∑IXj=1（γ（j）+（γ（j））T！\'C\'CTIXj=1β（j）-τ∑IXj=1（γ（j）+（γ（j））T）！“C”CTβ（i）-τ∑（γ（i）+（γ（i））T\'-C\'CTIXj=1β（j），β（i）（0）=h（i），（α（i））\'=tr（γ（i）+（γ（i））T）CCT+2aiτ∑\'CTIXj=1β（j）-τΣIXj=1（β（j））T“C”CTβ（i）-人工智能|CTβ（i）|- |βCT（i）|, α（i）（0）=f（i）。由于右手边是局部Lipshitz连续的，被视为左手边的函数，因此存在一个唯一的解决方案，直到某个爆炸时间TRiccati∈ (0, ∞]根据皮卡德·林德尔定理。对于i=1，2。。。，我们考虑二次公式u（I）（t，y）：=α（I）（t）-（t）+β（i）（T）-（t）Ty+yTγ（i）（T）-t） y，t∈ [0，T]，y∈ 路。

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2022-5-5 02:18:16

（A.22）通过计算各种导数，我们可以看到（A.22）解出了定理A.5中的耦合偏微分方程组。还有待验证，这里我们将指出如何将定理3.1的证明调整到g（i）是二次函数的当前情况。第一个问题是动力学过程V（i）的鞅性质（A.21）。与之前一样，过程V（i）（t，^X（i）t，Yt）-其中u（i）由（A.22）和V（i）（t，X，y）定义：-E-人工智能呃(T)-t） x+u（i）（t，y）- 是P下的局部鞅，具有动力学性质（a.21）。为了证明V（i）是鞅，我们注意到偏导数yu（i）是y的一个有效函数，具有成熟时间系数的确定连续函数。因此，（A.13）定义的函数λ也是y的一个有效函数。因为dY=C（t）dWtwe可以使用[11]中的推论3.5.16来证明V（i）在[0，t]上对t<TRiccati是可压缩的。其次，我们需要证明d（^X（i）te的^Q（i）-鞅性质-rt）=（^H（i）t）Td^Q（i）通过V（i）定义，如定理3.1的证明所示。动力学（A.21）和Girsanov定理产生了^Q（i）-布朗运动dW^Q（i），mt:=dW（m）t+λ（t，Yt）mdt，m=1。。。，N、 dW（m）t+ai余（i）（t，Yt）TC（t）mdt，m=N+1。。。，因此，dYt=C（t）的^Q（i）-动力学的漂移是具有有界时间相关系数的Yt的一个函数。因为S的波动率是e-rt，它需要验证平方可积性性质y^Q（i）hRT^H（i）tdti=RTE^Q（i）h^H（i）tidt<∞ 其中^H（i）由（A.19）定义。

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2022-5-5 02:18:20

为此，我们定义了停止时间：τ（k）：=inf{s>0:| Ys |≥ k}∧ T、为了k∈ N.因为函数λ和yu（i）是一个具有一致有界时间依赖系数的函数，上面的W^Q（i）表达式允许我们找到两个正常数和C（独立于k），使得e^Q（i）|Yt∧τ（k）|≤ C+CE^Q（i）“Zt∧τ（k）| Ys | ds#=C+CE^Q（i）“Zt∧τ（k）|Ys∧τ（k）|ds#≤ C+CZtE^Q（i）|Y∧τ（k）|我们在上一个不等式中使用了托内利定理。地图[0，T] T→E^Q（i）[|Yt]∧τ（k）|]由支配收敛定理连续。因此，Gronwall不等式产生了界^Q（i）|Yt∧τ（k）|≤ 切克，切克∈ [0，T]。法图引理产生^Q（i）|Yt|≤ 林恩芬→∞E^Q（一）|Yt∧τ（k）|≤ 切克，切克∈ [0，T]。和λ（710）的初始值yu（i）确保E^Q（i）h^H（i）t我≤ CeCt。后一个表达式在[0，T]上是不可理解的，其声明如下。定理4.2的证明。在这个证明中，函数λ，~u和当赋能函数（4.1）由泰勒近似（4.3）指定时，y)u指定理4.1（及其证明）中的函数。λ和λ的定义（A.13）和（4.2）以及三角形不等式λ（t，Yt）-λ（t，Yt）我≤τ∑C（t）TIXi=1Eh余（i）（t，Yt）- y~u（i）（t，Yt）i、因此，这就足以证明，嗯ydu（i）（t，Yt）- ydu（i）（t，Yt）我≤ CT1+α，d=1。。。，D、 i=1。。。，我

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kedemingshi

2022-5-5 02:18:23

（A.24）由yu（i）用f替换为f（i）（u），其中f（i）（u）由（A.14）定义，我们得到|ydu（i）（t，y）- ydg（一）（y）|≤ZRDe-|z |（2π）D/2g（i）yd（y）- L（t，t）z）- g（i）yd（y）dz+ZTtZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-Tzdf（i）（u）s、 y- L（t，s）zdzds.（A.25）（A.25）中的第一项可估计如下：ZRDe-|z |（2π）D/2g（i）yd（y）- L（t，t）z）- g（i）yd（y）dz=ZRDe-|z |（2π）D/2g（i）y-yd（s）TL（t，t）zdz=ZRDe-|z |（2π）D/2g（i）y yd（s）T- g（i）y yd（y）TL（t，t）zdz≤ [y-yg（i）]ZRDe-|z |（2π）D/2 | s- y |α| L（t，t）z | dz≤ [y-yg（i）]ZRDe-|z |（2π）D/2 | L（t，t）z |α| L（t，t）z | dz≤ c[y-yg（i）]α（T- t）（1+α）/2ZRDe-|z |（2π）D/2 | z |α+1dz=c[y-yg（i）]α（T- t）（1+α）/2。第一个等式由中值定理产生，其中s=s（z）位于连接y的线段上- L（t，t）z和y。第三个和第四个不等式是由柯西-施瓦茨得出的：|L（t，t）z |≤ ||L（t，t）| | F | z |结合引理A.2（3）。（A.25）中的第二项可以类似地估算：ZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-Tzdf（i）（u）s、 y- L（t，s）zdz=ZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-TzDf（i）（u）s、 y- L（t，s）z- f（i）（u）s、 ydz≤ [f（i）（u）]αZRDe-|z |（2π）D/2 | | L（t，s）-T | | F | z | L（T，s）z |αdz≤ c[f（i）（u）]α（s- t） α-1.通过将s与[t，t]积分，我们得出（A.25）的总体估计：|ydu（i）（t，y）-ydg（i）（y）|≤ C（T）- t）（1+α）/2。（A.26）我们还有|ydg（一）（y）- ydg（i）（y）|=|ydg（一）（y）- ydg（一）（0）- y ydg（i）（0）Ty |=|y ydg（i）（s）Ty- y ydg（i）（0）Ty|≤ |y ydg（一）（s）- y ydg（i）（0）| | y|≤ [y-yg]α| y | 1+α。（A.27）在这里，第一个等式的定义如下所示。第二个等式是由连接y和0的线段上的点s=s（y）的中值定理产生的。最后，我们认为存在一个常数C，这样|ydg（i）（y）- ydu（i）（t，y）|≤ C（T）- t）（1+| y |）。

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2022-5-5 02:18:26

（A.28）为了看到这一点，我们首先注意到|ydg（i）（y）- ydu（i）（t，y）|=ydg（i）（0+y ydg（i）（0）Ty- β（i）（T）- t） d-γ（i）（T）- t） +γ（i）（t）- t） tYD.因为β（i）（0）d=ydg（i）（0）中值定理给出了∈ [0，T- t] 以至于|ydg（一）（0）- β（i）（T）- t） d |=|（β（i））′（s）d（t）- t） |≤ C（T）- t）因为导数（β（i））在[0，t]上有界（常数C不依赖于t，只要t<TRiccati）。涉及γ（i）的估计值与之类似，如下（A.28）。通过将（A.26）、（A.27）和（A.28）的估计值结合起来，我们得出|ydu（i）（t，y）- ydu（i）（t，y）|≤ |ydu（i）（t，y）- ydg（i）（y）|+|ydg（一）（y）- ydg（i）（y）|+|ydg（i）（y）- ydu（i）（t，y）|≤ C（T）- t） 1+α+| y | 1+α+（t- t）（1+| y |）. （A.29）最后，通过（A.29）我们得到了ydu（i）（t，Yt）- ydu（i）（t，Yt）我≤ZRDΓ（0，t，y）ydu（i）（t，y）- ydu（i）（t，y）dy≤ CZRDΓ（0，t，y）T1+α+| y | 1+α+T（1+| y |）dy≤ CT1+α。最后一个不等式成立，因为我们正在考虑T∈ （0，1]和自ZrdΓ（0，t，y）|y|1+αdy≤ cZRDtD/2e-|y |δt | y | 1+αdy≤ cT1+α，对于t∈ [0，T]。这一估计源自Γ的定义（A.4）和引理A.2中提供的边界参考文献[1]S.Biagini和M.Sirbu（2012）：关于信贷额度不确定时可接受性的说明，随机，84157-169。[2] P.O.Christensen，K.Larsen和C.Munk（2012）：具有异质投资者和非计划收益风险的证券市场均衡，J.Economo。理论147、1035–1063[3]P.O.Christensen和K.Larsen（2012）：具有随机收入波动性的不完全连续时间证券市场，工作论文，http://www.andrew.cmu.edu/user/kasperl/.[4] D.Cuoco和H.He（1994）：不完全金融市场的有限维经济中的动态均衡，工作论文。[5] R.Dana和M.Jeanblanc（2003）：连续时间的金融市场，斯普林格。[6] D。

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