我们考虑w和θ之间变量的以下变化：- ^wεw=Kε（θ）- xθ。（2.5）然后，将（2.2）右侧的变量θ替换为w，并应用柯西积分定理，我们看到‘Fε（x）=2πiZγεexpW- ^wεwθ′（w）θ（w）dw=2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεwθ′（w）θ（w）dw，（2.6），其中γε是w-空间中与线{θε}×iR相对应的约旦曲线，θ（w）（=θε（w））由（2.5）定义为关于w的隐式函数。注意，θ（w）对每个w都有很好的定义，并且在适当的条件下对每个轮廓进行分析。表示ψε（w）=θ′（w）θ（w）-w=ddwlogθ（w）w,我们可以将（2.6）分解为‘Fε（x）=Nε（x）+2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεwψε（w）dw，其中nε（x）=2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεwdww。Nε（x）是标准正态分布的尾部概率；也就是说，Nε（x）=Φ（wε），其中Φ（w）=Z∞wφ（y）dy，φ（y）=√2πe-y/2。这里，如果^wε6=0，我们看到ψε在{^wε}×iR上是解析的；因此，我们得到了2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεwψε（w）dw=2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεw∞Xn=0ψ（n）ε（^wε）n！（w）- ^wε）ndw=2πe- ^wε/2Z∞-∞E-y/2∞Xn=0ψ（n）ε（^wε）n！（iy）ndy=2πe- ^wε/2∞Xn=0inψ（n）ε（^wε）Z∞-∞E-y/2ynn！dy=∞Xm=0ψεm（^wε），（2.7），其中我们定义了ψεm（w）=φ（w）(-1） 米（2米）！！ψ（2m）ε（w）=φ（w）(-1） 米（2米）（2米）- 2） ·4·2ψ（2m）ε（w）。（2.8）这是精确的LR扩展（1.3）。请注意，0阶近似公式‘Φ（^wε）+ψε（^wε）对应于原始LR公式（1.1）。

实际上，我们看到ψε（^wε）=φ（^wε）^θεqK′ε（^θε）-^wε.公式Φ（^wε）+ψε（^wε）+ψε（^wε）的一阶近似值也通常被称为LR公式，其中我们有ψε（^wε）=φ（^wε）^θεqK′ε（^θε）^λ-^λ-^θεK′ε（^θε）^λ-^θε（K′′ε（^θε））3/2-^wε！^λ=K（3）ε（^θε）K′ε（^θε）3/2，^λ=K（4）ε（^θε）K′ε（^θε）.高阶项ψε（^wε）和ψε（^wε）的显式形式如附录所示。上述精确LR展开式（1.3）的主要推导可在严格的不适用条件下进行，如以下条件。[B1]对于每个ε∈ [0,1]存在Δε，Cε>0，使得Δε≤ | K′ε|≤ Cε在Oε×iR上。[B2]全纯映射的范围ιε：Oε×iR-→ C定义为ε（θ）=Kε（θ）- xθ- （Kε（^θε）- x^θε）包括一个包含{2ιε（^θε+it）的凸集；t∈ R} 及(-∞, 0]，[B3]∞Xn=1|ψ（n）ε（wε）|/（n！！）<∞.在这些条件下，我们获得以下内容，其证明见第5.1小节。定理1。假设[A1]–[A2]和[B1]–[B3]。然后（1.3）成立。3阶近似项估计在实际应用中，我们需要用M截断公式（1.3）∈ N′Fε（x）≈\'FMε（x）：=\'Φ（^wε）+MXm=0ψεm（^wε）。（3.1）我们称之为（3.1）Mth LR公式的右侧。本节的目的是推导ψm（^wε）（m=0，1，…）作为ε的阶估计→ 0.我们∈ R、 这是一个任意值，比如t hatZRyu（dy）6=x.（3.2），然后我们施加以下附加假设。[A3]存在一个δ>0，使得K′ε（θ）≥ 每个θ的δ∈ Oε和ε∈ [0, 1].[A4]对于每个ε，都有一个区间Iε Dε使得IεR等于ε→ 0; 也就是说，我ε Iε′foreachε≥ ε′和∪εIε=R。[A5]对于每个非负整数R，K（R）ε（θ）与ε一致收敛于K（R）（θ）→ 在R的任何紧致子集上为0。此外，对于每个整数R≥ 3，K（r）ε（θ）的阶数为O（εr）-2） asε→ 以下意义上的0：对于每个压缩集C R、 它认为lim supε→0supθ∈Cε-（r）-2） |K（r）ε（θ）|∞.

（3.3）备注2。（i） 为了推导公式（1.3），我们需要^θε6=0。对于（3.2）和[A5]下的小ε，该条件满足。有关详细信息，请参见第5.2节中的Coro llary 2。（ii）从[A4]中，我们可以看到，对于每个压缩集C 有一个ε使得 Dε表示ε≤ ε. 因此，[A5]中的断言对于小ε是有意义的。没有证据表明[A4]的有效条件之一是[A4\']DεR，ε→ 0.（iii）[A5]意味着K（r）（θ）=0代表r≥ 3.因此，K（θ）=mθ+σθ∈ R和σ>0，其中σ的正性来自（[A2]或[A3]。因此，u是具有平均值m和方差σ的非正态分布。请注意，Kis的有效域等于R，这与[A4]一致。（iv）满足[A5]要求的示例如下。让我来帮你∈ N是平均值为零的i.i.d.随机变量，设Xn=（X+·Xn）/√n、 让我们来看看/√nbe及其分布。我们看到（u1/√n） nsatis fies[A5]由中心极限定理（设置ε：=1/√n） 。第4节作为附加示例介绍了具有小“vol o f vol”参数的SV模型。现在，我们介绍我们的主要定理。定理2。假设条件[A1]–[A5]成立。然后ψε（^wε）=O（ε）和ψεm（^wε）=O（ε），两者都是ε→ 每米0≥ 1.回忆一下这里的符号aε=O（εr）意味着lim supε→0ε-r|aε<∞ .备注3。可以很自然地认为ψεm（^wε）=O（εkm）与ε相同→ 0表示某些公里>3。换句话说，为了证明ψεm（^wε）=Θ（ε）之间的关系可能不适用于m≥ 2.这里，an=Θ（bn）是巴赫曼-朗道“大θ”符号，意思是0<lim infnanbn≤ lim supnanbn<∞.在[A1]-[A5]条件下，我们没有得到更精确的ψεm（^wε）（m）估计≥ 2） 定理2给出了这一点。在第6.1节中，我们表明，通过假设[A6]–[A7]，我们得到ψεm（^wε）=O（ε2m+1）作为ε→ 每米0（3.4）≥ 0和‘Fε（x）=’Φ（^wε）+MXm=0ψεm（^wε）+O（ε2M+3）作为ε→ 每米0（3.5）≥ 0

在下一节中，我们还通过使用示例对这些结果进行了数值演示。4示例在本节中，我们将介绍一些示例并应用我们的结果。4.1赫斯顿SV模型作为第一个例子，我们将赫斯顿的SV模型（赫斯顿（1993））。我们考虑以下随机微分方程（SD E）：dXεt=-Vεtdt+pVεtdBt，dVεt=κ（b- Vεt）dt+εpVεt（ρdBt+p1- ρdBt），Xε=X，Vε=V，其中κ，b>0，ρ∈ [-1,1]和ε≥ 0.已知上述SDE在2κb时具有唯一解（Xεt，Vεt）≥ ε. 该过程（Xεt）被视为风险集合的对数价格过程，在风险中性概率测度下，随机波动过程（pVεt）t（无风险率被设置为零f或简单性）。我们的目标是在T>0的时间内近似尾部概率Fε（x）=P（xεT>x）。这里ε≥ 0是“vol of vol”参数，用于描述波动过程的分散性。在本节中，我们考虑小ε的情况。注意，当ε=0时，Xε为正态分布。为了应用我们的主要结果，我们验证了με=P（XεT）的条件[A1]–[A5]∈ ·) 持有首先，满足[A1]，并给出ε>0的με的CGF的显式形式为asKε（θ）=xθ+2κbε(κ - ερθ) - 对数qε（θ）-v（θ）- θ） sinh（ppε（θ）T/2）ppε（θ）qε（θ）（4.1）0.850.870.890.910.930.950 0.2 0.4 0.6 0.8 1图1：infθ的曲线图∈DεK′ε（θ）。水平轴对应于ε。在原点附近，其中pε（θ）=（κ- ερθ)+ ε(θ - θ） ，qε（θ）=coshppε（θ）T+κ- ερθppε（θ）sinhppε（θ）T（参见Rollin、Castilla和Utzet（2010）或Yoshikawa（2013））。注意，当ε=0时，我们有k（θ）=σ（θ）- θ） 其中，θ=v+bT- b） （1）- E-κT）/κ。此外，Rollin、Castilla和Utzet（2010）中的定理3.3和推论3.4暗示了[A2]。

同样的来源也告诉我们，当ερ<κ时，Dε也是真的 Iε：=[uε，-, uε，+]，其中uε，-< 0<uε，+由uε，±=ε给出- 2κρ±p4κ+ε- 4κρε2ε(1 - ρ).我们可以很容易地看到uε，+∞ uε，- -∞ asε↓ 0; 因此，[A4]符合吉川（2013）定理3.1中的[A5]。最后，我们通过数值计算每个ε的K′ε的最小值来确定[A3]。我们将参数设置为κ=1、b=1、x=0、v=1、ρ=0.3、T=1和x=1。然后我们得到图1，这意味着[A3]成立。备注4。Rollin、Castilla和Utzet（2010）中的定理3.1给出了一种计算下限θ的方法*ε,-上界θ*ε、 +有效域Dε的值。当我们设置上述参数时，边界θ*ε、 通过θ获得±s*ε、 +=argmin{qε（θ）；θ∈ （uε，+，αε，+1）}，θ*ε、 +=argmax{qε（θ）；θ∈ (αε,-1，uε，-)},式中，qε（θ）=cosp-pε（θ）T+κ- ερθp-pε（θ）sinp-pε（θ）和αε，-1<0<αε，+1是pε（θ）的解-4π/T。注意Kε（θ）由[uε]上的（4.1）给出，-, uε，+]和byKε（θ）=xθ+2κbε(κ - ερθ) - 对数qε（θ）-v（θ）- θ） sin（p-pε（θ）T/2）p-pε（θ）~qε（θ）-100-500 0.2 0.4 0.6 0.8图2：θ图*ε、 ±（实线）和uε，±（虚线）。注意θ*ε,+> θ*ε,-anduε，+>uε，-. 水平轴对应于ε-35-25-15-5-3-2-10对数（ε）ψ0ψ1ψ2图3：赫斯顿SV模型中m=0,1,2时|ψεm（^wε）的对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数|ψεm（^wε）|。关于Dε\\[uε，-, uε，+]。在图2中，我们数值计算了uε、±和θ*ε、 ε的±1∈ （0,1）。这表明了修改后的条件[A4\']。现在我们验证了m=0,1,2的近似项ψεm（^wε）的阶数。图3表示小ε近似值的对数plo t。在这个图中，我们可以找到对数|ψεm（^wε）|和对数ε之间的线性关系。

我们通过线性回归和getlog |ψε（^wε）|=1.1365 logε来估计它们之间的关系- 4.5611，R=0.9996，对数|ψε（^wε）|=3.3152对数ε- 7.8203，R=0.9999，对数|ψε（^wε）|=4.9068对数ε- 10.928，R=0.99。然后我们可以通过数值确定ψεm（^wε）=O（ε2m+1）为ε→ 0表示m=0，1，2，这与定理2和（3.4）一致（另见第6.1节中的定理3）。接下来，我们计算LR公式的相对误差。我们假设标准公式=\'Φ（^wε），第0公式=\'Φ（^wε）+ψε（^wε），第一公式=\'Φ（^wε）+ψε（^wε）+ψε（^wε），第二公式=\'Φ（^wε）+ψε（^wε）+ψε（^wε）。我们定义了P（XεT>X）的近似值^P的相对误差：RE=^PP（XεT>X）- 1.. （4.2）为了确定P（XεT>X）的真值（表1中的“真”），我们直接用c=θε计算积分（2.2）。εP（XεT>X）回归正态0第1第2正态0第1第2正态0第2。0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E-03 2.60E-04 4.11E-050.06029 0.07184 0.06063 0.06025 0.06028 1.92E-01 5.69E-03 7.22E-041.40E-04表1：P（XεT>X）的近似值和ε=0.2,0.4,0.6,0.8,1的相对误差-0.50%-0.25%0.00%0.25%0.50%0.51ε相对误差图4：P的相对误差（XεT>X）。水平轴表示ε。结果如表1和图4所示。我们发现，当ε变小时，相对误差减小。此外，我们还可以验证高阶LR公式给出了更精确的近似值。特别是，即使ε不小，“1”和“2”公式的精度也相当高。图5显示了由AE定义的绝对误差的对数图=^P- P（XεT>X）.

（4.3）我们发现logε和log AE函数之间存在线性关系：通过线性回归，我们得到log AENormal=1.1460 logε- 4.5447，R=0.9996，对数AE0th=3.2951对数ε- 7.8692，R=0.9999，对数AE1st=4.9353对数ε- 9.7660，R=0.9999，对数AE2nd=6.9894对数ε- 11.050，R=0.99。这表明mth-LR公式的误差为O级（ε2m+3），即ε→ 0，这与第6.1节中的（3.5）和定理4一致-35-25-15-5-3-2-100第1-2正态图5：P（XεT>X）绝对误差的对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数AE。在本节末尾，我们将讨论期权定价的应用。我们计算欧洲看涨期权价格看涨ε=E[max{exp（XεT）- 五十、 风险中性概率测度P下的0}]（4.4），其中L>0是履约价格。Callε的显式形式由Heston（1993）获得，因此我们可以计算精确值，直至与数值积分相关的截断误差。罗杰斯和赞恩（1999）提出将LR公式应用于（4.4）。在这里，我们简要回顾一下这样做的程序。首先，我们重写（4.4）asCallε=E[exp（XεT）；XεT>l]- LP（XεT>l），其中l=logl。对于上述等式右侧的第二项，我们直接应用lr公式。为了评估第一项，我们定义了一种新的概率度量（称为份额度量），方法是：氡-Nikodym densitydQdP=exp（XεT）E[exp（XεT）]=exp(-Kε（1））exp（XεT）。由此我们得到[exp（XεT）；XεT>l]=exp（Kε（1））Q（XεT>l）。现在，我们可以很容易地找到分布Q（XεT）的CGFKε（θ）∈ ·):~Kε（θ）=Kε（θ+1）- Kε（1）。显然，Kε（θ）满足了我们的假设[A1]–[A5]。因此，我们可以将LR公式应用于Q（XεT>l）。现在我们将标的资产的初始价格EXO设定为100，执行价格L设定为105。

对于模型参数，我们设置κ=6，b=0.3，ρ=0.3，v=0.2。我们用CallεNormal、Callε0th、Callε1和Callε2nd表示Callε的近似值，分别使用LR公式\'Normal\'、\'0th\'、\'1st\'和\'2nd\'。RE和AE分别与（4.2）和（4.3）中的相同，尾部概率为期权价格。表2和图6总结了结果。在尾概率的情况下，我们可以看到LR公式产生了高度精确的近似值。ε看涨期权价格回复正常0次1次2次正常0次1次2次0次。9.5.95E-08 7.7 7.9.9 9.9 9.9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9 9.357 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.357 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.357 9 9.357 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.177 9.231 9.224 3.82E-02 5.01E-03 8.79E-04 1.16E-04表2:Callε和相对误差的近似值在Heston SV模型中，ε=0.2,0.4,0.6,0.8,1-20-10-3-2-10对数（ε）0第1-2正态图6:Heston SV模型中调用ε绝对误差的对数-对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数AE。4.2 Wishart SV模型接下来，我们介绍Wishart SV模型。布鲁（1991）首次研究了威斯哈特过程；Gouri’eroux（2006）首次将其用于描述多元随机波动性。从那时起，已经在多个领域研究了使用Wishart过程对多元随机波动性进行建模，例如Fonseca、Grasselli和Tebaldi（2007年，200年8月）、Grasselli和Tebaldi（2008年）、Gouri\'ero ux、Jasiak和Sufana（2009年）以及Benamid、Bensusan和ElKaroui（2010年）。我们考虑以下SDE:dYεt=-tr∑εt]dt+tr[p∑εt（dWtR′+dBt√我- RR′），d∑εt=(Ohm′Ohm + M∑εt+εtM′）dt+εnp∑εtdWtQ+Q′（dWt）′p∑εto，Yε=Y，∑ε=∑，其中I是n维单位矩阵，R，M，Q∈ 注册护士 Rn和ε≥ 0

这里，tr[A]是A的轨迹，A′表示A的转置矩阵。Ohm ∈ 注册护士 假设Rn满足Ohm′Ohm = βQ′qf或某些β≥ （n）- 1)ε. （Wt）tand（Bt）皮重Rn Rn值过程，其组成部分是相互独立的标准布朗运动。过程（Yεt）被视为风险中性概率测度下证券的低价格。（ε∑t）是一个描述多元随机波动性的n维矩阵值过程。我们验证了r'Fε（x）=P（YεT>x）的精确LR展开式的近似项的有效性-35-25-15-5-3-2-10对数（ε）ψ0ψ1ψ2图7:Wishart SV模型中m=0,1,2的|ψεm（^wε）的对数-对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数|ψεm（^wε）|。με=P（YεT）的CGF的显式形式∈ ·) 在布鲁（1991年）、丰塞卡（Fonseca）、格拉塞利（Grasselli）和特巴尔迪（Tebaldi）（2008年）等地进行了研究。为了简化，我们只考虑n=2的情况，并将r、M和Q的形式限制为：=r 00 r, M=-m 00-M, Q=q 00 q, Σ=σ0 σ.我们将参数设置为r=-0.7，q=0.25，m=1，β=3，y=0，σ=1，T=1，x=1。与第4.1节中的情况类似，我们可以在图7中找到对数|ψεm（^wε）|和对数ε之间的线性关系，其中m=0，1，2。线性回归假设|ψε（^wε）|=0.9740对数ε- 4.9496，R=0.9999，对数|ψε（^wε）|=2.8128对数ε- 10.943，R=0.9995，对数|ψε（^wε）|=5.2875对数ε- 14.474，R=0.99。因此，对于这种情况，我们也可以通过数值确定ψεm（^wε）=O（ε2m+1），ε→ 0形式=0，1，2。现在我们研究LR公式的相对误差。

我们通过公式“正常”、“第0”、“第1”和“第2”对P（YεT>x）的近似值进行比较，公式的定义与第4.1节中的定义相同，真实值通过直接计算（2.2）中的积分计算得出。εP（YεT>x）回归正态0第1第2正态0第1第2正态0第2。0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 7.92E-06-6.20E-071 0.06568 0.05908 0.06567 0.06568 0.06568 1.00E-01 9.12E-05 4.59E-06-2.52E-05表3：P（YεT>x）的近似值和ε=0.2,0.4,0.6,0.8,1的相对误差。与第4.1节中的情况类似，我们展示了表3和图8中公式的相对误差和绝对误差的对数图。我们还可以确认LR公式是高度精确的。使用图8所示的数据，我们得到了线性回归结果log AENormal=0.9732 logε- 4.9507，R=0.99，-40-30-20-10-3-2-10对数（ε）0第1-2正态图8:P（YεT>x）绝对误差的对数对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数AE。对数AE0th=2.7930对数ε- 1 0.979，R=0.99 94，对数AE1st=5.3063对数ε- 1 3.339，R=0.99 99，对数AE2nd=7.1747对数ε- 1.5.937，R=0.99，表示（3.5）。在本节末尾，我们确认了期权定价应用的有效性。与（4.4）类似，我们考虑欧洲调用选项调用ε=E[max{exp（YεT）- 五十、 0}]且执行价L>0。为了确定期权价格的真实价值，我们采用了Benabid、Bensusan和El K aroui（2010）提出的封闭式公式。我们将标的资产的初始价格设定为ey 0=100和L=105。对于初始波动率，我们将σ=0.25。

其他参数与前一种情况相同。ε看涨期权价格回复正常0次1次2次正常0次1次2次0次。10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10 4.33E-03 5.41E-03 5.55E-03表4：调用ε和相对误差的近似值在WishartSV模型中，ε=0.2,0.4,0.6,0.8,1。结果如表4和图9所示。虽然线性关系如图6所示并不清晰，但我们可以看到，LR公式在每种情况下都非常精确。5.证明。定理1的证明在本小节中，我们证明了第2节中所示的形式计算。为了便于修改，我们在本节中使用的符号中省略了ε-30-20-10-3-2-10对数（ε）0第1-2正态图9:Wishart SV模型中调用ε绝对误差的对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数AE。提议1。假设[A1]–[A2]保持不变。那么F（x）=2πiZc+i∞C-我∞exp（K（θ）-xθ）dθ表示c∈ O\\{0}。证据在不丧失一般性的情况下，我们可以假设c>0和x≥ 0.根据[A2]和定理3。3.5在Durrett（2010）中，u的密度函数f存在，且有界且连续。此外，f（y）=2πZRe-iξy~n（ξ）dξ保持不变，其中φ（ξ）=exp（K（iξ））是u的特征函数。然后我们有对于每小时>x的u（（x，R]）=2πZRxZRe-iξy~n（ξ）dξdy=2πiZi∞-我∞F（z）dzby Fubini定理，其中F（z）=ZrXe（s-y） 采埃孚（s）戴兹。现在，考虑这四条线，Γ C、 定义为Γ={it；t∈ [-l、 l]}，Γ={t+il；t∈ [0，c]}，Γ={t- 白细胞介素；T∈ [0，c]}，Γ={c+it；t∈ [-l、 l]}对于给定的l>0。根据柯西积分定理，我们得到了zΓ∪Γ∪Γ∪ΓF（z）dz=0。

（5.1）在这里，我们观察到ZΓ∪ΓF（z）dz=2iZrXe（s）-y） tf（s）sin l（s）- y） dydsdt=2iZcZRf（s）t+lhe（s）-x） t(-因为- x） +t sin l（s）- x） ）+e（s-R） t（l cos l（s）- R）- t sin l（s）- R） ）最后ZΓ∪ΓF（z）dz≤4（l+c）clZRecsf（s）ds=4（l+c）cleK（c）。自从c∈ O、 右边的积分是有限的。因此，左手边必须收敛到零，如l所示→ ∞. 结合这个结果和（5.1），我们得到u（（x，R]）=2πiliml→∞ZΓF（Z）dz=2πiliml→∞ZΓF（Z）dz=2πiZc+i∞C-我∞ZrXe（s）-y） zf（s）dydsdz=2πiZc+i∞C-我∞ZRxeK（z）-YZDYZ。（5.2）自ZC+i∞C-我∞Z∞|埃克（z）-yz | dy | dz |≤ceK（c）<∞,我们可以接受极限R→ ∞ 在（5.2）的右侧；我们得出结论，F（x）=2πiZc+i∞C-我∞Z∞xeK（z）-yzdydz=2πiZc+i∞C-我∞埃克（z）-xzdzz，这是命题1的断言。现在，我们给出了变量变化的严格定义（2.5）。对于每个θ∈ D、 我们可以定义w=w（θ）∈ R byw（θ）=^w+sgn（θ）-^θ）rn（K（θ）- xθ）-K（^θ）- x^θo、 （5.3）很明显，w（θ）是解析的。此外，通过简单的计算，我们观察到wdθ=sgn（θ-^θ）·K′（θ）- xp^w+2（K（θ）- xθ）=K′（θ）- xw（θ）- ^w.（5.4）这里我们看到w（θ）是在^θ处的lso分析。实际上，与（2.4）类似，我们有w（θ）=^w+sgn（θ）-^θ）pk（θ）|θ-^θ|=^w+pk（θ）（θ）-其中k（θ）=ZK′（θ+u（θ-^θ）du。根据[A2]，k（θ）是正的，thuspk（θ）是实解析的。因此，函数w（θ）在O上是实解析的。现在我们可以取极限θ→^θin（5.5）得到w′（^θ）=limθ→^θK′（θ）- xw- ^w=limθ→利用l\'H^opital规则，求出θK′（θ）w′（θ）。这意味着（w′（^θ））=K′（^θ）6=0。因此，我们推断存在一个邻域U C of w（^θ）=^w和U上的全纯函数θ（w），例如θ（w（z））=z代表z∈ 在这里，我们注意到引理1。θ /∈ D意味着K′（θ）不在R证明上。让我来∈ 通过[A2]，我们得到了K′（y）6=0。

因此，我们可以找到K′（y）的邻域U和解析反函数（K′）-1定义在U上的K。在她手上，[A2]意味着（K）-1 | U∩Ris是解析D值函数，因此（K′）-1（y）∈ D引理1立即暗示推论1。让z∈ D×iR。如果z6=^θ，那么K′（z）6=x；因此，w′（θ）6=0。现在，我们考虑θ（w）的解析延拓。在本节结束之前，我们假设[A1]–[A2]和[B1]–[B3]保持不变。通过[B2]，（5.4）和推论1，我们可以定义一个开集^U上的解析函数θ（w），该开集包含一个凸集，该凸集包括直线{w}×i和曲线{w（^θ+它）；t∈ R} 。注意，（5.4）直接表示θ′（w）=w- ^wK′（θ（w））- x（5.5）对于每个w6=^w，通过定义，关系式（2.5）适用于^U。因此，如果我们将曲线η和γ定义为η={^θ+it；t∈ R} ，γ={w（θ）；θ∈ η} 那么θ（w）也可以定义，并且是对γ的解析。然后，我们可以应用变量的变化来获得‘F（x）=2πiZηexp（K（θ）- d）θxθexpW- ^wwθ′（w）θ（w）dw。在第2节中，我们需要条件^θ6=0。在本节中，我们只考虑^θ>0；对于^θ<0的情况，这些参数是类似的。在任何情况下，我们有^θ6=0，η不通过0。在这里，我们看到^w>0。实际上，如果^w=0，那么（2.4）中的不等式必须改为等式。然而，假设^θ>0和[A2]意味着（2.4）的左手侧为正。这是一个矛盾。此外，根据定义，^w必须是非负的。这些参数意味着γ不超过0。提议2。ZγexpW- ^wwθ′（w）θ（w）dw=Z^w+i∞^w-我∞经验W- ^wwθ′（w）θ（w）dw。为了证明这个命题，我们准备了一个引理。引理2|θ（w）-^θ| ≥ |W- ^w|/√C.证据。根据[B1]和泰勒定理，我们得到| w- ^w |=2 |K（θ（w））- xθ（w）- （K（θ）- x^θ）|≤ C |θ（w）-^θ|，表示断言语句。命题2的证明。

通过柯西积分定理，可以证明→±∞supc∈O∩MZLclexpW- ^wwθ′（w）θ（w）dw= 0（5.6）对于（0，∞) , 其中Lcl={^w+t（c- ^w）+il；T∈ [0,1]}和l∈ R.到（5.5），我们得到ZLclexpW- ^wwθ′（w）θ（w）dw≤ |C- ^w|exp-^w+lZexpt（c）- ^w）t（c）- ^w）+il（K′（θ）- x） θdt≤ 经验C- L（|c |+| w |）（|c |+| w |+| l |）infw∈Lcl|（K′（θ（w））- x） θ（w）|。（5.7）通过[B1]和引理2，我们观察到infw∈Lcl|（K′（θ（w））- x） θ（w）|≥ δinfw∈Lcl |θ（w）-^θ| infw∈Lcl |θ|≥ δ·| l|√C·|l|√C- |^θ|对于足够大的l，我们从（5.7）中得到（5.6）。定理1的证明。从命题1和命题2，我们得到（2.6）。现在我们验证了ψ在{w}×iR上的全纯性。我们定义（w）=对数θ（w）- logw=logg（w），g（w）=θ（w）w（5.8），当定义θ（w）时，设w6=0，其中logz是z的对数的主值。因为θ（w）在{w}×iR线上是解析的，所以h也是解析的。我们可以很容易地看到h′（w）=ψ（w）。这意味着ψ（w）也是解析的；这允许泰勒级数展开：ψ（w）=∞Xn=0ψ（n）（^w）n！（w）- ^w）n（5.9）代表w∈ {w}×iR。为了完成定理1的证明，必须检查（2.7）中的计算。使用（5.9）和关系z∞-∞E-y/2yndy=√2π（n）- 1) !! （n是偶数），0（n是奇数），（5.10）我们有∞Xn=0n！Z∞-∞E-y/2 |ψ（n）（^w）|·| y | ndy≤√2π|ψ（^w）|+∞Xm=1（2米）！{|ψ（2m）（^w）|+|ψ（2m）-1） （^w）|}Z∞-∞E-y/2（y2m+1）dy≤√2π（|ψ（^w）|+2∞Xm=1 |ψ（2m）（^w）|+ψ（2m）-1） （^w）|（2m）！！）。根据[B3]，上述不平等的右侧是有限的。因此，我们可以应用富比尼定理，我们可以交换（2.7）中的和和和积分。那就是，Z∞-∞E-y/2∞Xn=0ψ（n）（^w）n！（iy）ndy=∞Xn=0ψ（n）（^w）n！因茨∞-∞E-y/2yndy。我们再次使用（5.10）完成定理1的证明。5.2定理2的证明为了简单起见，我们只考虑^θ>0的情况。

首先，我们介绍以下引理。引理3。^θε-→^θ，^wε-→ ^wasε→ 0.证明。首先，我们检查（^θε）ε是有界的。通过（2.1），我们得到了^θε=（K′ε）-1（x）- （K′ε）-1（mε）=ZduK′ε（（K′ε）-1（mε+u（x- mε）x- mε），其中mε=K′ε（0）。通过[A5]，我们看到（mε）ε是有界的。因此，从[A3]中，我们得到|θε|≤δ（|x|+最大ε| mε）<∞.其次，我们观察到- K′ε（^θ）=K′ε（^θ）（^θε）-^θ）+Z（1）- u） K′′ε（^θ+u（^θε）-^θ）du（^θε-^θ）到达|^θε-^θ| ≤δ|十、- K′ε（^θ）|+supy∈C|K′′ε（y）| supε|^θε-^θ|对于一些紧集C R.ε→ 0，我们得到前一个断言。后一种说法紧随其后。上述引理暗示了以下推论。推论2。存在一个δ>0，使得εθε，εwε>0∈ [0，δ）.证明.自^θε-→^θ>0，我们可以找到一些δ>0，使得^θε>^θ/2>0适用于ε<δ。通过使用^w=pK′（0）^θ>0，以相同的方式获得关系^wε>0。根据上述推论，我们可以假设^θε和^wε是严格正的。提议3。^wε-qK′ε（^θε）^θε=O（ε）asε→ 0.证明。由于（^θε）ε和（^wε）ε有界且远离零，因此必须证明^wε-K′ε（^θε）^θε=O（ε）asε→ 0 . 根据^wε的定义，我们得到了^wε=2(-Kε（^θε）+K′ε（^θε）^θε）。利用Kε（0）=0和泰勒定理，我们得到了^wε- εθ′ε(-u^θε）（1- u） 杜。因此，| wε- K′ε（^θε）^θε|≤ 副食品|≤^θεy|K′′ε（y）|=O（ε）asε→ 0，我们的断言如下。我们写^θ′ε=dθdw（^wε）=limw→^wεdθdw（^wε）。注意，^θ′ε是存在的，因为θ（w）在^wε处是解析的。同样，我们可以定义^θ（n）ε=dnθdwn（^wε）=limw→ ^wεdnθdwn（^wε）。下一个命题在后面的计算中经常使用。提议4。^θ′ε=1/qK′（^θε）。证据

因为（5.5）右边的分子和分母都会随着w收敛到零→ ^wε，我们可以应用l\'H^opita l规则来获得^θ′ε=limw→^wεw- ^wεK′（θ（w））- x=limw→^wεK′（θ（w））θ′（w）=K′（θε）θ′ε。通过求解这个方程，我们得到了期望的结论。回想一下（5.8）中定义的函数g（w）是关于^Oε的解析函数，+：={w（θ）；θ∈ Oε∩(0, ∞)}. 下面的引理是直接使用mat-hematic归纳法得出的。引理4。对于每个n=0，1，2。而w∈^Oε，+，g（n）（w）=θ（n）（w）- ng（n）-1） 注意g（^wε）=^θε/^wε>0。因此，我们可以在^wε的邻域上定义h（w）=log g（w）。显然，我们有ψ（w）=h′（w）。因此，ψ（2m）（^wε）=h（2m+1）（^wε）。（5.11）不同但简单的计算给出了h′（w）=g′（w）g（w），h′（w）=g′（w）g（w）-（g′（w））g（w），（5.12）h′（w）=g′（w）g（w）-3g′（w）g′（w）g（w）+2（g′（w））g（w）。我们可以通过归纳法得出以下结论。引理5。对于每个n和w∈^Oε，+，h（n）（w）=mnXk=1akg（w）bknYi=0（g（ci，k）（w））di，k！对于一些mn，ak，bk，ci，kand di，kwithnXi=0cikdik=n.通过（5.11），引理3和5，有必要考虑m的g（m）（^wε）阶的估计∈ N.下一个命题给出了g′（^wε）的阶估计。提议5。g′（^wε）=O（ε）asε→ 0.证明。通过引理4，我们得到wg′（w）=θ′（w）- g（w）=wθ′（w）- θ（w）w。将其与（5.5）相结合，我们g etwg′（w）=w（w）- ^wε）- θ（w）（K′（θ（w））- x） w（K′（θ（w））- x） 。（5.13）出租w→ ^wε，（5.13）右侧的分子和分母都收敛于零。然后，我们可以应用l\'H^opital规则来获得LimW→ ^wεwg′（w）=limw→^wε2w- ^wε- θ′（w）（K′（θ（w））- 十）- θ（w）K′（θ（w））θ′（w）K′（θ（w））- x+wK′（θ（w））θ′（w）=^wε-^θεK′（^θε）^θ′ε^wεK′（^θε）^θ′ε。（5.14）通过命题4和（5.14），我们可以看到g′（^wε）=limw→ ^wεg′（w）是存在的，可以给出asg′（^wε）=^wε-qK′（θε）θεwεqK′（θε）。

（5.15）我们的主张遵循m（5.15）和命题3。将（5.5）的两边与w区分开来，我们得到以下命题。提议6。对于w∈^Oε，+\\{wε}，θ′（w）=1- （θ′（w））K′（θ（w））K′（θ（w））- x、 （5.16）根据（5.13）和命题4和命题6，我们得出以下结论。提议7。对于w∈^Oε，+\\{wε}，g′（w）=w（1）- （θ′）K′（θ））- 2（K′（θ）- x） （wθ′）- θ） w（K′（θ）- x） ，以θ=θ（w）和θ′=θ′（w）为简洁。接下来，我们考虑θ（w）在^wε处的二阶导数^θ′ε=^θ（2）ε。提议8。^θ′′ε= -K′′（θε）3（K′′（θε））。（5.17）证据。将l\'H^opita l的规则应用于（5.16），并观察^θ′ε=- 利姆→ ^wε2θ′（w）θ′（w）K′（θ（w））+（θ′（w））K′（θ（w））K′（θ（w））θ′（w）=-2^θ′′ε-K′′（θε）（K′′（θε））。然后，我们通过求解上述方程得到我们的结论。提案9。g′′（^wε）=O（ε）asε→ 0.证明。在命题7中应用l\'H^opital的等式规则，并使用命题8，wehavelimw→^wεwg′（w）=-^wεK′′（^θε）- 6（K′′（^θε））3/2（^wε-^θεqK′（^θε））3^wε（K′（^θε））。（5.18）类似于命题3，通过应用泰勒定理，我们得到^wε- K′（θε）θε+K′′（θε）θε=θεK′（θε）vε，（5.19），其中vε=-^θε3K′（^θε）ZK（4）(-u^θε）（1- u） 杜。注意，vε=O（ε）等于ε→ [A5]中的0。从（5.19）中，我们得到^wε=^θεqK′（^θε）s1-K′′（^θε）3K′（^θε）^θε+vε。因此，我们可以将（5.18）右边的分子改写为-K′′（^θε）^θε-K′′（θε）θε+θεK′（θε）vεK′′（θε）-6（K′′（^θε））^θε（s1）-K′′（θε）3K′（θε）θε+vε- 1)= -K′′（^θε）^θε-K′′′（^θε）^θεK′′（θε）+K′（θε）θεK′（θε）+O（ε）=（K′′（θθε））θε+O（ε）=O（ε）asε→ 0.这里，我们使用关系√对于小x，1+x=1+x/2+O（x），K′′′（^θε）=O（ε），vε=O（ε）为ε→ 0.这就完成了证明。事实上，我们可以重新定义上述主张。

根据泰勒定理，我们观察到^wε- K′′（θε）θε+K′′′（θε）θε-K（4）（^θε）^θε=^θεK′（^θε）~vε以达到^wε=^θεqK′（^ε）s1-K′′（θε）3K′（θε）θε+K（4）（θε）12K′（θε）θε+vε，其中vε=θε12K′（θε）ZK（5）(-u^θε）（1- u） 杜= O（ε）asε→ 0.然后，通过类似于上述命题证明中的计算，我们得到了3^wε（K′′（^θε））limw→^wεwg′（w）=-K′′（^θε）^θε-K′′（θε）θε+K（4）（θε）θε+θεK′（θε）~vεK′′（θε）-6（K′′（^θε））^θε（s1）-K′′（θε）3K′（θε）θε+K（4）（θε）12K′（θε）θε+vε- 1)= -K′′（^θε）^θε-K′′′（^θε）^θεK′′（θε）+K′（θε）θεK′（θε）-K′（θε）θεK（4）（θε）+（K′（θε））θεK′（θε）3K′（θε）θε！+O（ε）=^θε（K′′（^θε））-K′′（θε）θεK（4）（θε）+O（ε）asε→ 0，我们在其中应用了关系式√1+x=1+x/2-对于小x，x/8+O（x）。这意味着g′（wε）=5（K′′（θε））36（K′（θε））-K（4）（^θε）12K′（^θε）！^θε^wε+O（ε）asε→ 这里，我们计算θ（w）在^wε（^θ′′ε）处的三阶导数。提议10。θ′′ε=5（K′′′（θε））12（K′′（θε））7/2-K（4）（^θε）4（K′′（^θε））5/2。（5.21）证据。区分（5.16）的两边，我们有θ′（w）=-3θ′θ′K′（θ）+（θ′）K′′（θ）K′（θ）- x、 （5.22）现在我们应用（5.22）的l\'H^opital规则来获得^θ′′ε=limw→^wεθ′（w）=-(-（K′′′（θε））3（K′′（θε））7/2+3′θ′ε-2（K′′θε）（K′θε）7/2+K（4）（K′θε）（K′θε）5/2）。这可以简化为^θ′′ε=5（K′′′（^θε））3（K′′（^θε））7/2-K（4）（^θε）（K′′（^θε））5/2。我们得到了想要的断言。将（5.21）代入（5.20），我们有以下建议。提议11。g′（^wε）=（^θεqK′（^θε））3^wε×^θ′ε+O（ε），ε→ 现在我们准备证明下一个命题。提议12。g′′（^wε）=O（ε）asε→ 0.证明。通过引理4，它认为wg′（w）=θ′（w）- W6=^wε的3g′（w）。让w→ ^wε并替换（5.23），我们有^wεlimw→ ^wεg′′（w）=^θ′ε- 3.^θεqK′（^θε））3^wε×^θ′ε+O（ε）=θ′′′εwε^wε- （^θεqK′（^θε））+ O（ε）。通过[A5]和命题10，我们可以看到t^θ′′ε=O（ε）。

此外，命题3暗示^wε- （^θεqK′（^θε））=^wε-^θεqK′（^θε）^wε+^wεθεqK′（^θε）+^θεK′（^θε）= O（ε），ε→ 通过上述论证，我们推断出^wεg′（^wε）=O（ε）为ε→ 0接下来我们估计n的θ（n）ε和g（n）（wε）≥ 4.我们假设fn（w）=θ（n）（w）（K′（θ（w））- x） 。引理6。fn+1（w）=f′n（w）- 每个n的K′′（θ（w））θ′（w）θ（n）（w）≥ 1.证据简单的计算得到θ（n+1）=ddwfnK′（θ）- 十、=f′n·（K′（θ）- 十）- fn·K′（θ）θ′（K′（θ）- x） =f′n- θ（n）K′（θ）θ′K′（θ）- x、 这意味着所需的断言。提议13。每n≥ 3.以下两种说法成立。（i） 有非负整数mn，ani，rni，sni，kni，2，克尼-2（i=1，…，mn）使fn（w）=-K（n）（θ（w））（θ′（w））n- nK′（θ（w））θ′（w）θ（n）-1） （w）-mnXi=1aniK（rni）（θ（w））（θ′（w））snin-2Yj=2（θ（j）（w））克尼，詹德·阿尔森-2（2Xj=2Xj）- 1） kni，j+rni=n，rni≥ 每i=1，…，则为2，明尼苏达州。（ii）fn（^wε）=0。证据我们将用归纳法证明断言（i）。首先，我们考虑n=3的情况。通过命题6和引理6，我们知道f（w）=1- K′（θ（w））（θ′（w））和f（w）=f′（w）- K′（θ（w））θ′（w）θ′（w）=-K′′（θ（w））（θ′（w））- 3K′（θ（w））θ′（w）θ′（w）；（5.24）因此，（i）对于n=3是正确的。现在我们假设（i）适用于{3，…，n}中的任何整数。因此，fn+1（w）=f′n（w）- K′′（θ）θ′θ（n）=-K（n+1）（θ）（θ′）n+1- （n+1）K′′（θ）θ′θ（n）-nnK（n）（θ）（θ′）n-1θ′+nK′（θ）（θ′）θ（n）-1） +nK′（θ）θ′θ（n）-1） 利用引理6，其中fni（θ）=K（rni+1）（θ）（θ′）sni+1n-2Yj=2（θ（j））kni，j+sniK（rni）（θ）（θ′）sni-1θ′n-2Yj=2（θ（j））kni，j+n-2Xl=2kni，lK（rni）（θ）（θ′）sni（θ（l））kni，j-1θ（l+1）n-2Yj=2:j6=l（θ（j））kni，j。用n+1替换n再次得到（i）。通过归纳，（i）保持n≥ 3.断言（ii）与（2.1）的定义相同，且定义为fn（w）。14号提案。每n≥ 我们有^θ（n）ε=O（εn）-1） asε→ 0.证明。当n=2时，[A5]和命题8的断言是显而易见的。

我们支持该评估适用于1，N- 1.通过定义fn，我们得到θ（n）（w）=fn（w）K′（θ（w））- xfor w 6=^wε。通过第13（ii）条和^θε的定义，我们可以看到上述等式右侧的数值和分母通过lettingw收敛到零→ ^wε。因此，我们可以应用l\'H^opital规则来获得^θ（n）ε=limw→^wεf′n（w）K′（w）θ′（w）=f′n（wε）qK′（θε）。（5.25）通过引理6和命题13，我们看到f′n（^wε）的形式为f′n（^wε）=-nqK′（^θε）^θ（n）ε-mnXi=1aniK（rni）（^θε）（^θ′ε）snin-1Yj=2（^θ（j）ε）kni，j（5.26）对于某些mn，ani，rni，sni，kni，2，克尼-1（i=1，…，mn）带n-1Xj=2（j- 1） kni，j+rni=n+1。通过（5.25）-（5.26），我们得到了^θ（n）ε=（n+1）qK′（^θε）mnXi=1aniK（rni）（^θε）（^θ′ε）snin-1Yj=2（^θ（j）ε）kni，j。这里，通过假设^θ（j）ε=O（εj）-1） asε→ 0表示j=2，j=n-1和[A4]我们看到，术语k（rni）（^θε）（^θ′ε）snin-1Yj=2（^θ（j）ε）kni，jhas阶O（εrni-2+Pj（j）-1） kni，j）=O（εn-1） asε→ 因此，^θ（n）ε=O（εn-1） asε→ 因此，断言对于n也是正确的。归纳法完成了proo f。引理7。每n≥ 3，g（n）（^wε）=O（ε）asε→ 0.证明。命题12对n=3的断言是正确的。为了n≥ 这个断言由引理4、命题14和归纳法得到。定理2的证明。因为（φ（^wε））0≤ε≤1有界时，必须表示ψ（m）（^wε）=O（εmin{2m+1,3}），ε→ 0英尺或米≥ 从（5.11）-（5.12）中，我们得到ψε（^wε）=g′（^wε）g（^wε）=O（ε）作为ε→ 根据命题5，ψ′′ε（^wε）=g′′′（^wε）g（^wε）-g′（^wε）g′（^wε）g（^wε）+2（g′（^wε））g（^wε）=O（ε）asε→ 0根据命题5、9和12。为了我≥ 2，我们通过引理5和7得到这个断言。6扩展6。1高阶LR公式的误差估计在本小节开头，我们介绍以下命题。15号提案。对于每个n，g（n）（^wε）=∞Xk=n+1n！K^θ（k）ε(-^wε）k-N-1.（6.1）证据。

利用引理4和归纳法，我们发现g（n）（^wε）可以表示为^wn+1εg（n）（^wε）=nXk=0(-1） n-kn！K^wkεθ（k）ε=(-1） nn！θ（^wε）+nXk=1(-1） n-kn！K^wkεθ（k）ε。（6.2）结合（6.2）与泰勒展开式n！θ（^wε）=-N(θ(0) - θ（^wε））=-∞Xk=1n！K^θ（k）ε(-^wε）k，我们得到了所需的断言。这里，根据命题14，有正常数Cn（带n≥ 2） ，使得|θ（n）ε|≤ Cnεn-1.（6.3）因此，如果我们假设下面的进一步条件[A6]，那么当ε很小时，级数（6.1）会收敛。[A6]存在ε∈ （0，1）使∞Xk=2Ckk！εk<∞.此外，我们还得到了以下定理。定理3。假设[A1]–[A6]。然后h（n）（^wε）=O（εn），ε→ 每n保留0≥ 1.此外，ψεm（^wε）=O（ε2m+1），ε→ 每米0次≥ 0.证明。这是（6.1）和引理5的直接结果。根据上述定理，我们看到有正常数C′n（其中n≥ 2） 例如| h（n）（^wε）|≤ C′nεn，因此|ψεm（^wε）|≤ φ（^wε）C′2m+1（2m）！！ε2m+1。现在我们介绍条件[A7]。[A7]存在ε∈ （0，1）使∞Xm=1C′2m+1（2m）！！ε2m+1<∞.显然，我们有下面的定理。定理4。假设[A1]–[A7]，且（1.3）成立。然后，展开式（3.5）成立。请注意，[A6]–[A7]是在一般情况下很难直接验证的技术条件。然而，第4节的结果表明，定理3-4的断言在许多情况下可能是有效的。6.2 Daniels密度函数公式的应用在本小节中，我们研究了Daniels（1954）鞍点近似公式的阶估计，该公式近似于概率密度函数。让x∈ R和定义^θ（n）ε，^wε，如第5.2节所述。

通过类似于第2节的论证，我们可以证明以下“精确”丹尼尔展开式：fε（x）=∞在合适的条件下，Xm=0Θm（6.4），其中fε是με的概率密度函数，Θm=φ（^wε）^θ（2m+1）ε（2m）！！。就i.i.d.随机变量的样本平均值而言，丹尼尔斯（1954年）和丹尼尔斯（1980年）对（6.4）的研究分别为（3.3）和（2.5）。在一般情况下，我们可以在例如[A1]–[A5]、[B1]–[B2]和以下附加条件下获得（6.4）。[A8]存在ε∈ （0，1）使∞Xn=1Cnn！！εn<∞,其中Cn>0是（6.3）中出现的常数。我们可以通过类似于第5节和第6小节的公式轻松展示以下内容。1（我们在这里省略proo f）。定理5。假设[A1]–[A5]。此外，假设（6.4）成立。那么Θm=O（ε2m）作为ε→ 每米0≥ 此外，如果我们进一步假设[A8]，它认为fε（x）=MXm=0Θm+O（ε2（m+1））为ε→ 每米0≥ 0.7关于r和OM变量（X（ε））ε>0的一般参数化序列的结论性注释，假设X（ε）的第次累积具有O（εr）阶-2） asε→ 每个r为0≥ 3.我们推导了右尾概率的“精确”Lugannnani-Rice展开式X（ε）>X= 1.- Φ（^wε）+∞Xm=0ψεm（^wε），其中x∈ R固定为给定值。特别是，我们得到了展开式中每个项的阶估计。对于前两项，我们将ψε（^wε）=O（ε）和ψε（^wε）=O（ε）作为ε→ 分别为0。在某些附加条件下，mth项满足ψεm（^wε）=O（ε2m+1）为ε→ 0.使用这些，我们为每m，m建立了（3.5）≥0

作为数值例子，我们选择了金融市场中的随机波动模型；我们检查了LR公式的订单估计值的有效性。以下是与这项工作相关的有趣且重要的未来研究课题。（i） 分析极右尾概率X（ε）>Xε,使用与经典LR公式兼容的LR型展开式（见引言中的备注1）。在这种情况下，鞍点发散为ε→ 0允许我们通过使用Watson引理（见Watson（1918）或Kolassa（1997））避免计算（2.7）的困难。因此，我们可以预期条件[B3]可以省略；这个条件是在我们导出精确的LR展开式时施加的。（ii）寻求比[A6]–[A7]更多的“自然”条件来获得误差估计（3.5）。（iii）研究具有非高斯基的广义LR展开的阶估计。在没有订单估计的扩张研究中，Wood、Booth和Butler（1993）、Rogers和Zane（1999）、Butler（2007）以及Carr和Madan（2009）。高阶近似项的显式形式在本节中，我们介绍了ψε（^wε）和ψε（^wε）的推导。

首先，我们可以归纳计算r的^θ（r）ε≥ 4.用同样的方法证明这个命题。16号提案。^θ(4)ε= -K（5）（θε）5（K′′（θε））+K（3）（θε）K（4）（θε）（K′（θε））-8（K（3）（^θε））9（K′′（^θε）），^θ（5）ε=-K（6）（θε）6（K′′（θε））7/2+35（K（4）（θε））48（K′（θε））9/2+7K（3）（θε）K（5）（θε）6（K′（θε））9/2-35（K（3）（θε）K（4）（θε）8（K′′（θε））11/2+385（K（3）（θε））144（K′（θε））13/2，θ（6）ε=-K（7）（^θε）7（K′′（^θε））-280（K（3）（θε）27（K′′（θε））+200（K（3）（θε））K（4）（θε）9（K′′（θε））-25（K（4）（^θε））3（K′′（^θε））-20（K（3）（K′θε））K（5）（K′θε）3（K′θε）+2K（4）（K′θε）K（5）（K′θε）（K′θε）+4K（3）（K′θε）K（6）（K′θε）3（K′θε）=-K（8）（^θε）8（K′′（^θε））9/2-85085（K（3）（^θε））1728（K′′（^θε））19/2-25025（K（3）（θε）K（4）（θε）192（K′′（θε））17/2+5005（K（3）（θε））（K（4）（θε））64（K′（θε））15/2-385（K（4）（θε））64（K′′（θε））13/2+1001（K（3）（θε））K（5）（θε）24（K′（θε））15/2-231K（3）（θε）K（4）（θε）K（5）（θε）8（K′（θε））13/2+63（K（5）（θε））40（K′（θε））11/2-77（K（3）（θε）K（6）（θε）8（K′’（θε））13/2+21K（4）（θε）K（6）（θε）8（K′（θε））11/2+3K（3）（θε）K（7）（θε）2（K′（θε）11/2。其次，通过继续（5.12）中的差异，我们得到了h（4）（w）=g（4）（w）g（w）-6（g′（w））g（w）+12（g′（w））g′（w）g（w）-3（g′′（w））g（w）-4g′（w）g（3）（w）g（w），h（5）（w）=g（5）（w）g（w）-24（g′（w））g（w）-60（g′（w））g′（w）g（w）+30g′（w）（g′（w））g（w）+20（g′（w））g（3）（w）g（w）-10g′（w）g（3）（w）g（w）-5g′（w）g（4）（w）g（w），h（6）（w）=g（6）（w）g（w）-120（g′（w））g（w）+360（g′（w））g′（w）g（w）-270（g′（w））（g′（w））g（w）+30（g′（w））g（w）-120（g′（w））g（3）（w）g（w）+120g′（w）g′（w）g（3）（w）g（w）-10（g（3）（w））g（w）+30（g′（w））g（4）（w）g（w）-15g′（w）g（4）（w）g（w）-6g′（w）g（5）（w）g（w），h（7）（w）=g（7）（w）g（w）+720（g′（w））g（w）-2520（g′（w））g′（w）g（w）+2520（g′（w））（g′（w））g（w）-630g′（w）（g′（w））g（w）+840（g′（w））g（3）（w）g（w）-1260（g′（w））g′（w）g（4）（w）g（w）+210（g′（w））g（3）（w）g（w）+140g′（w）（g（3）（w））g（w）-210（g′（w））g（4）（w）g（w）+210g′（w）g′（w）g（4）（w）g（w）-35g（3）（w）g（4）（w）g（w）+42（g′（w））g（5）（w）g（w）-21g′（w）g（5）（w）g（w）-7g′（w）g（6）（w）g（w），其中g（w）和h（w）定义为（5.8）。