带止损规则的Kelly增长最优策略

2022-5-5 04:45:24

它还具有直观的吸引力，因为它与信息理论有关，这是Kelly[2]最初动机的一部分，尤其是最佳投资是同一事物对可用信息的最佳应用；参见Barron and Cover[3]和Cover and Thomas[10]。另一方面，纯无约束形式的凯利策略，我们称之为“自由凯利”策略，通常会导致一种过于激进的策略，具有太高的杠杆率和风险，不利于实际应用。真实投资者受到各种约束，凯利原则的一个实用版本可以表述为：在相关约束下优化投资组合的客观预期复合增长率。正是在这种形式下，Kelly原理在过去20年或s o中越来越受到实践者的欢迎。在本文中，我们关注这种意义上的最优策略，特别是在约束为停止水平形式的情况下。与大多数其他形式的约束不同，sto p水平对最优策略的影响随投资组合价值和调整（重置）止损水平前的剩余时间而变化。Gro ssman和Zhou[11]使用HJB和鞅方法的组合，解决了在缩减约束（尾部止损规则）下找到投资组合增长最优策略的相关问题，另见C vitanic和Karatzas[12]、Cvita nic[13]和下文第V B 1节。本文的计划如下。第二节提供了一些背景，第三节回顾了HJB的投资问题，并介绍了符号。在第四节中，我们推导了最优策略的非线性偏微分方程，在第五节中，我们考虑了几个已知解的例子，并讨论了方程的适用范围。

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kedemingshi

2022-5-5 04:45:28

在第六节中，我们为周期性重置停止损耗的Kelly策略提供了一个数值解。第七节结束。二、背景和动机考虑一位谨慎的投资组合经理在一家全球宏观对冲基金中经营一本交易书。当选择合适的运行风险级别时，这样的阅读器会受到各种限制。除了杠杆率、压力测试和集中度限制，以及资产选择的可能限制外，账簿通常会受到ris k（VaR）限制值的约束。实际上，大多数交易者的账面价值都会显著低于这些限制，因为还有另一种约束：止损水平。站点可能有几种形式。例如，具有月流动性的账簿在流动性日期之间受到明确的软止损和硬止损水平的约束是很常见的。例如，如果一本书的3%VaR限额为95%1天，则可以在-5%MTD（当月至今），风险价值限额降至1%，并在-10%MTD，该月剩余时间的VaR限额降至零。在一个给定的月份，止损水平比该月初的投资组合价值低一个固定的百分点。在接下来的第一个月末，任何触发的止损点都将被释放并重置，投资者将有机会提取资金。作为大型对冲基金的一部分，管理相对较小子账簿的雇佣（非合作伙伴）交易主管通常也会受到明确的终止终止限制-25%的年初至今（年初至今），在这一点上，账簿关闭，他们失去了工作。即使是创始人和高级合伙人，他们可能不受任何明确高层的约束，也会在一个隐含的停止层下运作。

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2022-5-5 04:45:31

这是因为，如果bec从高水位线的下降幅度过大，那么在可预见的未来，将不会有绩效费用来支付运营费用，基金可能会发现自己处于人才流失、投资者撤资和低回报的下行状态。避免这种情况的愿望将意味着该基金只有在接近其最高点时才能在全风险下运作。事实上，对冲基金在asteep撤资后关闭的情况已经不止一次了，只是基金经理在不同的环境下开设了一只新基金。当然，历史也表明，如果交易操作没有止损，或者由于流动性不足或管理失败而无法强制止损，那么会发生什么。撇开道德方面不谈，很明显，无论是隐含的还是明确的止损水平，都是限制大多数基金风险的主要因素，止损水平的限制效应与投资组合值以及重置止损水平之前的剩余时间成比例。对到达终点的处罚是失去机会。对于一个终点站，机会成本可能取决于服务水平s是所有未来收益。当portfoliovalue接近止损水平时，策略可以通过降低风险来避免止损，但实际上，除非风险为零，否则无法保证止损不会被止损。在一个模型世界中，风险资产是以布朗运动为模型的，通过降低风险可以避免跌停，但这并不意味着没有机会损失。降低风险也会降低潜在回报，并增加投资组合在止损点附近花费的时间。

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2022-5-5 04:45:34

因此，在止损水平上方存在一种“死区”，投资组合的风险很小，并且可能会被虚拟卡住。最佳策略必须在过快降低风险与过慢降低风险之间找到正确的平衡，在这两种情况下都要放弃潜在回报。对于终端止损，或者需要很长时间重置，解决方案是有效地忽略止损水平以下的资本，并以最优方式投资，就像止损水平以上的资本是总资本一样。这样做，交易者只会冒着他能够生存下来的资本损失的一小部分。该策略独立于时间，但投资组合价值的函数在V B节中讨论，而在V B 1节中讨论了受最大支取限制的投资组合的相关最优策略。从实践角度来看，在每个周期结束时重置的停止水平更有趣。在不定期重置止损级别的情况下，对达到止损点或卡在死区的处罚不那么严重，因为这只是暂时失去机会。如果距离重置只有几天的时间，por tfolio值必须接近停止水平才能产生任何影响，但在另一个限制条件下，如果重置时间很长，则最佳策略必须接近与终端停止/最终地平线相同的策略。因此，可以预见，一个最优策略将上下调整风险，不仅根据止损点距离当前投资组合价值的距离，还根据止损点重置前的剩余时间。

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2022-5-5 04:45:37

这是解决这个问题的最佳策略，在第六节中详细讨论，这是我们的主要目标。这个问题的现实建模将非常复杂，取决于特殊的细节，这超出了我们在本文中的目标。相反，我们的目标是研究最简单的非随机模型中的最优策略。事实证明，第六节中讨论的最终策略与常见的交易策略非常接近，可以为实际投资组合的适当风险水平提供粗略的指导。三、价值函数和HJB等式我们使用标准的最小投资组合模型，该模型由一个显示几何B罗年运动的风险资产和一个指数增长的无风险资产组成，分别由演化DST=St（udt+σdWt），（1）dBt=rBtdt，（2）带u增长率和σ风险资产的波动率，r无风险率，以及对香肠加工的前瞻性改进。一种自我融资的交易策略，将分数α投资于风险资产，并获得分数（1）-α）在无风险资产中，将导致投资组合价值根据等式dptpt=[r+α（u- r） ]dt+ασdWt。（3）通过引入贴现相对投资组合价值πt=Ptexp，可以简化分析(-rt）P.（4）我们可以认为πt是π=1和πt的投资组合的指数-1时间t的总回报，以时间0美元衡量。或者，如果r是通货膨胀率，则可以将其视为实际回报。这一定义从贴现投资组合值πtπt=α（πt，t）[（u- r） dt+σdWt]，（5）我们已经指出，策略可能取决于投资组合的价值以及时间。

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2022-5-5 04:45:40

我们关心的问题的目标是最大化或最小化终端“奖励”函数g（πT）。对于Kelly增长最优投资组合，这将是周期增长率g（πT）=logπT。价值函数定义为从时间T的中间点π开始的路径上的终端回报预期，并根据（5）进行最优控制，即J（π，T）=maxαe[g（πT）|πT=π]。（6）值得注意的是，我们在目标中排除了一个消费类型的术语（持续的合作/奖励），因为这会使分析变得相当复杂，但使用附录a的方法，这种术语至少可以在简单的情况下处理（通过在（A8）中添加等效术语）。值函数J和控制α满足Hamilton-Jaco-bi-Bellman方程0=tJ+maxα（π，t）α(u - r） ππJ+ασππJ, （7）必须根据最终时间边界条件j（π，T）=g（π）求解。（8）等式（7）-（8）也可用于通过将最大值替换为最小值来找到最小化终端目标g（πT）期望值的策略。在任何一种情况下，目标函数g（·）都必须有一种能使问题得到充分定义的形式。目前，由（7）和（8）定义的HJB问题相当复杂，因为它涉及两个未知函数J和α，由组合的PDE/最大化方程连接。使问题可解的技巧是，在某些条件下，我们可以在求解J之前对控制进行优化（参见Yongand Zhou[23]，Oksendal[24]）。基本上，条件是J必须有一个形状，使得（7）中的优化问题有一个明确的解决方案。这必须是实际解决方案的后验结果（但在许多应用中，这是相当明显的）。本质上，J对于最大化问题必须是凹的，对于最小化问题必须是凸的。

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2022-5-5 04:45:43

根据贝伊尔曼原理，最优控制在每个子区间上也必须是最优的。在目前的情况下，这意味着α必须在每个阶段优化（7）。这会受到α（·）=0，给出形式解α=-u - rσπJππJ.（9）将这一点代入（7），消除控制，从而得到HJB方程，仅用于值函数tJ=（u）- r） 2σ(πJ）对于任意边界条件，则将π（10）与边界条件（10）一起减少为π（10）≤ tπ≤ πU，可能是交感的）。因此，标准程序是通过求解值函数来启动t，然后通过第二步计算（9）中的最优策略。（1 0）隐藏了一个更简单的底层结构，这一点是由勒让德变换将其转化为线性二阶偏微分方程（如附录A.IV所述）提供的。最优策略的非线性偏微分方程自然会问，是否存在最优策略的偏微分方程，而不参考值函数。这样的方程不仅本身有趣，而且可能使我们绕过价值函数，并可能具有相当大的实际效益。在本节中，我们将展示如何消除价值函数，并推导出一个非线性偏微分方程，该方程由最优控制本身来观察。推导要求所涉及的函数在域内部足够平滑，但在实践中这不一定是一个很大的限制。起点是价值函数（10）的HJB和最优控制方程（9）。

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2022-5-5 04:45:46

如果我们把HJB方程（10）和后面的方程一起用π与π和最优控制方程（9）通过在两个方向上的运算得到方程Tπ与π、然后我们有一个由七个未知量α方程组成的系统，tα，πα, πα, tJ，πJ，πJ，TπJ，TπJ，πJ，πJ.我们的目标是推导一个只涉及随机控制及其导数α的方程，tα，πα, πα. 从表面上看，我们需要八个方程才能消除值函数的七阶导数，并且仍然只剩下一个控制方程，但请注意，根据（9）给出的随机控制，仅通过两个导数之间的比率依赖于值函数πJ/πJ，这意味着只有六个方程需要消除所有的JTπJ，TπJ，πJ，πJ，剩下的三个方程可以用πJ=-u - rσπJπα（11）πJ=-tJtαπ-2.π(ππα), (12)πJ=（u）- r） 2σ(πJ）tJ。（13）这个比率给出了πJ/分别是tJπJtJ=-(u - r） απ，（14）πJtJ=σπα（u- r）tαπ-2.π(ππα). （15）因此，最优策略必须遵循以下等式tα=-σαπππα. （16）这是一个非线性P DE，在投资组合价值中为二阶，在时间上为一阶。非线性表现在右侧的α因子中。与价值函数的HJB一样，它必须从一个初始时间边界条件开始，在一段时间内求解回差。一般来说，解也必须服从π方向的边界条件，这可能是渐近的。它让人想起一个逆时间的非线性扩散方程，但它并没有严格要求的结构（见附录a）。

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kedemingshi

2022-5-5 04:45:49

漂移率与方程无关-r、但依赖性可以通过边界条件进入。因为任何常数都可以解（16），所以它对于这种解的问题用处不大。而是（16）适用于需要非平凡解的问题，即最优策略，它是投资组合价值和时间的非常数函数。第二个问题是，我们必须能够建立控制的边界条件，例如从解必须服从的极限或渐近性质。对于某些问题，如何找到这些边界条件可能并不明显，在这种情况下，有必要恢复HJB的值函数。另一方面，如果我们有一个求解策略（16），那么相应的值函数可以从一阶方程（14）中找到，从该方程中可以确定一个常数。方程式（16）可以转换成不同的形式，这对于特定的投资问题可能或多或少是方便的。附录B中讨论了一些例子。对方程的形式，尤其是非线性的解释如下。如果我们用投资于风险资产的金额而不是投资组合价值的分数来描述最优策略，即使用γ（π，t）=πα（π，t），那么方程的形式为tγ=-σγπγ. （17）方程式（17）也可以直接从附录A中讨论的HJB问题中获得。让St表示贴现风险资产价格，Bt表示贴现债券价格，如（1）-（2）和（4）所示。然后dst/st=（u- r） dt+σdwt和dbt=0，贴现投资组合价值根据规定的πt=γ（πt，t）dstst演变。

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2022-5-5 04:45:52

（18）该过程（18）是自融资，是一般自融资反馈策略dπt=φ（πt，st，bt，t）dst+ψ（πt，st，bt，t）dbt的特殊情况，（19）自融资条件stdφ+btdψ=0，πt=φst+ψbt，其中φ是风险资产份额的数量，ψ是时间t时投资组合中无风险债券的数量。由于dbt=0，ψ对动力学没有贡献，但它是一个奴隶，记录重新平衡dψ=-stdφ/bt。在我们的情况下，投资组合（18）可以分解为πt=γ（πt，t）+δ（πt，t），其中γ=απt=φSt是风险集的值，δ=ψbt是无风险投资的值。尽管投资组合π是通过构造进行的自我融资，但风险资产投资γ（πt，t）并不单独代表自我融资量b，因为一般的自我融资策略可以在γ和δ之间自由地重新分配投资组合，只要其总和保持不变。因为我们在这里关注的是平滑策略，所以我们可以通过expansiondγ=(tγ）dt+(πγ）dπt+(πγ）（dπt）=tγ+σγπγdt+(πγ）dπt.（20）当γ表示服从（17）的最优交易策略时，这将减少到表达式dγ=(πγ）dπt=γ(πγ）dstst。（21）这意味着，虽然γ不是一般次优交易策略的自我融资，但对于最优交易策略，它将表现为自我融资量，γ的总增量（来自市场演化加上再平衡）与投资组合的增量成正比（因为投资组合是自我融资的，仅由市场演化提供）。投资组合的无风险部分也是如此，对于最优策略，该部分遵循SDδ=（1）- πγ）dπt。

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2022-5-5 04:45:56

我们特别注意到，（16）和（17）的非线性是由方程（18）所示的投资组合演化的反馈性质产生的，最优策略仅通过按投资组合总增量的比例在投资组合的风险部分和无风险部分之间重新分配，从而在投资组合的风险部分和无风险部分之间显示出一定的平衡。V.已知HJB解决方案在本节中，我们对战略方程（16）在一些标准投资问题中的应用进行了评论，其中HJB方程有一个已知的解析解。目的是研究（16）在多大程度上可以应用于所需的边界条件。此外，va和vbes提出了第六节中的最优策略必须渐近逼近的解。选择这些例子来说明问题，其中最优策略分别是常数、va、值依赖、vb和依赖于值和时间、vc.A.凯利优化和幂函数效用。自由凯利策略是最大化周期增长率的无约束策略，也可以解释为最大化终端对数算术效用的策略，即。J（π，t）=maxαE[log（πt）|πt=π]。（22）众所周知的最优策略α=αK，是投资一个恒定的分数，αK=u- 风险资产投资组合的rσ，（23）。相应的值函数由j（π，T）=logπ+（u）给出- r） 2σ（T）- t）。（24）保持不变（23）是（16）的一个微不足道的解决方案。（22）的一个轻微推广是幂函数效用g（πT）=（πT）η/η，η<1，也被首字母缩写CRRA称为恒定相对风险规避。该实用程序的值函数由j（π，t）=πηexp给出(u - r） η（T）- t） 2σ（1）- η), （25）相应的最优策略是常数α=αK1- η.

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2022-5-5 04:45:58

（26）自由方钻杆策略对应于特殊情况η→ 0，分数凯利策略α=καK，投资自由凯利策略的恒定分数κ，对应于优化η=1的幂函数效用-1/κ. Arational investor的投资永远不会超过free Kelly策略，除非迫于某种限制而被迫这么做。这意味着，κ通常小于1，η随后为负，对应于上限为正的效用。Davis和Lleo最近对基准分数凯利策略进行了详细研究[14,15]。B.Kelly with terminal Stop如果一个投资者有一个临界水平πc<π，其财富不得低于该水平，因此只能将其资本中超过该水平的部分置于风险之下，那么低于临界水平的资本实际上与他的效用无关。因此，凯利投资者将优化超过临界水平的资本增长率。这个目标用值函数j（π，t）=maxαE[log（πt）表示- πc）|πt=π]，（27）对于HJB解g，由j（π，t）=log（π）给出- πc）+（u- r） 2σ（T）- t）。（28）相应的最优策略是α（π）=αK1.-πcπ. （29）这是非条件自由Kelly策略乘以出口资本在总资本中构成的fr行动。我们观察到（29）是（16）bec的解，因为它独立于时间，并且服从ππα=常数。因此，它被完全定义为（16）的时间无关解，受边界条件α（πC）=0和α的约束→ αKforπ→ ∞. 我们注意到（29）是一种“固定比例投资组合保险”（CPPI）策略，其乘数等于自由凯利策略，即投资于风险资产的金额为γ（π）=αK（π）-πC）。

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2022-5-5 04:46:02

更一般地说，对于某些常数A和B.1，任何与时间无关的最优策略都必须采用α（π）=A+Bπ（30）的形式。Kelly with maximum Drawing Limit Grossman和Zhou[11]，（同样是Cvitanic和Karatzas[12]，Cvitanic[13]）已经解决了为投资者寻找最优策略的问题，该投资者受制于一类效用函数的最大提款规则。在目前的情况下，他们的解决方案的重要性可以表述如下。符合Kelly原则的投资者寻求最大化长期实际/贴现资本增长率g=limT→∞TE[logπT]，（31）受最大dr awdown约束（0≤ λ<1（给定常数）πt≥ λmt，（32），其中mt是高水位标记mt=最大值≤tπs（33）应遵循的策略是，投资金额等于fre e Kelly策略乘以超过风险资产最高移动水平的部分，即γ（πt）=αK（πt）- λmt），或者换句话说，遵循策略α（πt）=αK1.-λmtπt. （34）我们注意到（29）和（34）之间的明显相似性，但更多信息请参考上述参考文献。C.概率最大化策略Browne[6,7,8]已经表明，在有限的时间段内，找到概率最大化达到特定实际回报目标b>1的策略的问题为0≤ T≤ T有以下解决方案。正如Br owne所说，目标在任何时候被击中的概率为t≤ T相当于终端财富达到目标的概率，因为一旦达到目标，概率最大化策略将专门投资于无风险资产。因此，表m的值函数由j（π，t）=maxαP（πt）定义≥ b |πt=π）。

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2022-5-5 04:46:05

（35）用我们的符号Browne对这个问题的解决方案由值函数（带π）给出≤ b） J（π，t）=ΦΦ-1.πb+u - rσ√T- T, （36）相应的最优策略由α（π，t）=σ给出√T- tbπφΦ-1.πb=σ√T- tφ（ν）Φ（ν），（37）带ν=Φ-1（π/b），φ为标准正态密度，Φc为相应的累积概率函数。直接的差异将表明（37）确实是（16）的解决方案。如附录B所示，（37）是一个溶液示例，可通过分离变量从（16）中找到。然而，很难直接从（16）中得出（37），因为尽管基本条件α（b，t）=0是显而易见的，但其他边界条件的情况并非如此。最优策略（37）在极限t内发散→ 当剩余时间变为零时，达到目标水平的概率接近一个确定值，即J（π，T）→ π/b表示0<π≤ b、对于π<b.VI.具有固定上限杠杆率的策略，J（π，T）=0。KELLY最优策略与止损规则我们考虑的投资问题是，当投资受制于周期性重置的止损规则时，找到优化长期增长率的策略。为了研究这个问题，我们考虑（1）-（5）中引入的最小模型，其中n个投资宇宙由一个风险资产和一个无风险资产组成。止损规则意味着，如果在给定的时间段内，投资组合的价值下降到一定的水平πc（止损水平），那么风险限额下降到零，并且该投资组合必须在该时间段的剩余时间内专门投资于无风险资产，因此投资组合的价值将保持在πc。

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2022-5-5 04:46:08

投资组合的期初损失π的百分比为新的期初损失π。因此，在这个模型中，连续的投资期在分布上既独立又相同。我们寻求定义在域（π，t）上的分类∈ [πc，∞] ×[0，T]。由于我们知道最优策略y必须解决HJB问题，尤其是策略PDE（16），因此它必须在定义域的内部平滑，并且完全由边界条件决定。直观地看，在投资组合价值远高于止损水平的有限范围内，止损与ir相关，最优策略将等于freeKelly策略，即α（π，t）→ π/πc的αkF→ ∞. 另一方面，stop-r规则意味着最优策略必须沿投资组合价值的下边界等于零，即α（πc，t）=0表示所有t∈ [0，T]。最后，我们可以清楚地看到，在最后的时间边界附近→ 当投资组合的价值远远高于止损水平，π>πc时，最优策略将接近自由基策略，其极限α（π，T）=αKforπ>πc。这是因为基础过程在时间上是连续的，因此在极限T中→ 当投资组合价值严格高于止损水平时，止损规则适用于杠杆有限的投资组合，因为没有足够的时间让投资组合价值降至止损水平。总之，我们有三个dirichlet边界条件α（π，t）→ αK，forπ→ ∞, 对于任何∈ [0，T]，（38）α（πc，T）=0，表示T∈ [0，T]，（39）α（π，T）=αK，forπ>πc.（40）为了解决这个问题，我们采用了附录B中（B1）-（B5）列出的策略，即将变量从（π，T）变为（z，θ），并使用s标度的最优策略y u=α/αK。

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2022-5-5 04:46:12

新变量分别是标度d倒数portfoliovalue z=πc/π和标度到周期结束的时间θ=（T- t） /τ，τ=2σ/（u）- r）。变量的定义域为（z，θ）∈ [0, 1] × [0, ∞], 其中z=1是停止水平，z=0对应于极限π/πc→ ∞, θ=0是最终时间边界。因此，要求解的方程（B5）受制于边界条件su=1，对于z=0，（41）u=0，对于z=1，（42）u=1，对于θ=0。（43）这些边界条件唯一地确定了解，但如附录B所述，第四个边界y的渐近行为，即极限θ→ ∞, 下面也是。在这个极限下- t） /τ>> 1.到达止损位的机会成本高得令人望而却步。在这个极限下，最优策略不能显式地依赖于时间，因此必须接近（29），在转换变量中读取u（z，θ）→ 1.- z代表θ→ ∞.我们不知道（B5）的解析解符合特定的边界条件（41）-（43），但用数值方法求解它是很有前途的。该解决方案表现良好，尽管可以使用更高级的方法，但因为0≤ 祖≤ 1显式Euler方法是收敛的，只需几行代码即可实现。你好。0.51.z0。0.51.Θ0.51.u（a）0.00.20.40.60.81.0重置HweeksLu的时间（b）图1：（a）通用缩放策略u（z，θ）（z，θ）∈ [0, 1] × [0, 1]. “死区”用红色表示，自由Kellylimit用紫色表示。（b）这是一个特殊的例子，说明s=1.0的事前夏普e比率，为期一个月。标度策略u（πδ，t）被绘制为四个不同的投资组合值（以百分比表示）的时段结束时的函数，具体由到止损水平的距离确定。从底部看，四条曲线对应于止损水平，分别比当前投资组合价值低δ=1%、5%、10%、20%。

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2022-5-5 04:46:15

周期结束的时间以周为单位显示在横坐标上。0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0zu（a）0.00.51.01.52.00.00.20.40.60.81.0Θu（b）图2：（a）四个固定值θ=0.01、0.1、0.5和2.0的缩放策略u（z，θ）作为z的函数。（b）缩放策略u（z，θ）作为θ的函数，z=0.85，对应于低于投资组合价值15%的止损水平。在这两张图中，灰线显示了θ的渐近极限→ ∞.对于θ/(z）。0.5. 图1（a，b）和图2（a，b）显示了使用该方法计算的结果。1（a）显示函数u（z，θ），1（b）显示停车位以上四倍距离的u（πδ，t）示例。事前风险比s=（u）- r） /σ=1.0，四条曲线对应于止损水平，分别比当前投资组合价值低δ=1%、5%、10%和20%（即πδ=πc/（1）- δ） zδ=1- δ). 在1（b）中，每个iod的时间是一个月，即基金在第n个停止水平重置时的累积时间，并在abs c issa上以周为单位显示，直到重置为止。图2（a，b）说明了随着θ的增加，向终端停止策略的符号收敛。设定解决方案规模的主要参数是风险y资产的事前夏普比率s=（u- r） /σ。最佳分数u=α/αK=ασ/s仅取决于通过z=πc/π到停车位的距离和通过θ=（T）剩下的时间- t） /τ。特征时间标度τ=2/sis由事前夏普比率确定。自由凯利杠杆率由夏普比率和潜在波动率之间的比率给出，即αK=s/σ，但自由凯利投资组合的波动率等于夏普比率，即αKσ=s。在实践中，在杠杆率达到自由凯利极限u=1之前，其他约束可能会生效，杠杆率将被限制在该极限以下。

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2022-5-5 04:46:20

如果投资组合受到与最大波动率σmax对应的VaR限制，则ασ=us≤ σmax，并且sc-aled策略受cap u的约束≤ σmax/s。如图1（b）所示，在夏普比率为s=1.0的情况下，3%的风险值上限为95%，1天，大致相当于30%的年波动率的投资组合，例如将受制于≤ 0.3.A.对多资产组合的应用考虑一个组合，其中一个无风险资产和多个风险资产根据几何布朗运动的标准d模型Kt=Skt演化ukdt+σkdWkt. （44）如果αk指定第k项风险资产，则贴现投资组合价值将根据todπtπt=Xkαk演变（微克）- r） dt+σkdWkt. （45）自由K-e-lly投资组合是优化增长率目标预期的投资组合，它遵循e[d logπt]=α+(u - r）-α+Cαdt，（46）（向量和矩阵用粗体表示，+表示换位）该组合由表达式αK=C给出-1(u - r），（47）其中C是协方差矩阵Ckl=σkσlρkl。我们现在可以考虑限制优化，即为一个决定只投资于与freeKelly投资组合成比例的投资组合的投资者找到最佳策略。与全多维投资组合优化相比，这是一个非常受限的问题，但它并不完全是非理性的，因为我们知道该投资组合具有许多最优性质，例如Breiman[4]、Hakanson[17]和Merton[19]、Browne[8,9]、Davis和Lleo[15]。自由市场投资组合本身可以被视为（r isky）资产，因此我们回到了上一节讨论的情况。

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2022-5-5 04:46:24

Kelly投资组合的动态由dktkt=uKdt+σKdWt，（48）和uK=σK=（uK）给出- r） +C-1(u - r），这意味着进入Kellyportfolio的无约束Kelly最优分配为uK/σK=1，因为它必须是一致的。因此，我们可以通过与单个风险资产相同的程序，为受止损规则约束的贸易商找到最优策略，并且组合策略可以表示为α（π，t）=u（π，t）αK，（49），其中最优策略u（π，t）服从等式（16），σ=σK，是ze ro和1之间的事实r。七、结论我们推导了一个不涉及价值函数的最优策略的非线性ar偏微分方程。推导要求价值函数和策略在域的内部都要足够平滑。最优策略方程的非线性是por tfolio演化的反馈性质的结果，该方程表达了投资组合中r isky增量和无风险部分之间的某种平衡。当可以独立建立边界条件时，可以使用该方程来确定最优策略，并且我们已经应用该方法来确定受周期性llyreset止损规则约束的Kelly最优策略。成功的自由裁量投资组合管理既是科学也是艺术，而“卓越而公正的判断”、“对职位和资金压力的警觉”、“在拥挤之前采取行动的精神决心和信心”、“卓越的信息收集和沟通”等无形品质至少与任何定量方法一样重要。然而，这并不意味着最优投资组合管理的数量方面不重要。

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2022-5-5 04:46:28

本文得出的结果只能为现实世界的投资组合优化提供一个粗略的指导，主要是因为它们基于一个简单而良性的模型。其主要局限性在于基于布朗运动的市场随机性模型。其结果是，所有变量在时间上都是连续的，没有缺口风险，并允许在每次微小的市场变动后调整投资组合。众所周知，真实市场与指数大于2的Lev’y过程es有更多共同点，并显示跳跃（缺口）、序列相关性（趋势）和波动持续性（聚类）。交易成本、流动性有限和延误是其他问题。还有一个问题是，即使模型是合理的，我们仍然必须依赖于对真正的基本参数u和σ的统计估计。因此，最优策略应该包含相应的贝叶斯不确定性。因此，这里讨论的方法必须进行相应的调整，才能应用。然而，本文给出的结果提供了在行为良好的市场的极限情况下最优策略的信息。[1] Algoet，P.H.和Cover，T.M.，1988年。对数最优投资的拟符号最优性和拟符号均分性。《概率年鉴》，16876-898。麦克莱恩等人[18]再版。[2] 凯利，J.L.，1956年。对信息速率的新解释。贝尔系统。《科技期刊》，35917-926。麦克莱恩等人[18]再版。[3] 巴伦，一个男人。《R.和封面》，T.M.，1998年。对信息财务价值的限制。IEEE信息论学报，34,51097-1100。麦克莱恩等人[18]再版。[4] 布莱曼，L.，1961年。有利博弈的最优赌博系统，第四届伯克利数学统计和概率研讨会论文集，1，63-68。麦克莱恩等人[18]再版。[5] 布朗，S.，1996年。

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2022-5-5 04:46:31

投资组合选择和贝叶斯-凯利准则，Adv.Appl。问题。，28, 1145-1176.[6] Browne，S.，1999年a。在截止日期前达成目标：数字选项和持续时间积极投资组合管理，Adv.Appl。问题。，31, 551-577.[7] Browne，S.，1999b。最小化短缺概率的风险和回报。投资组合管理杂志。[8] 布朗，S.，2000年。短期内你能比凯莉做得更好吗？《寻找边缘：赌场的数学分析》，215-231，O.Vancura，J.科内利厄斯，W.R.Eds.内华达大学博彩和商业博彩研究所。[9] 布朗，S.，公元前2000年。风险约束动态主动投资组合管理，管理科学，461188-1199。麦克莱恩等人[18]再版。[10] Cover，T.M.和Thomas，J.A.，2006年。《信息论要素》，第二版，威利国际科学出版社。[11] 格罗斯曼，S.J.和周，Z.，1993年。选择imal投资策略来控制提款。数学财经，3241-276。[12] Cvitanic，J.和K aratzas，I.，1995年。关于“提取”约束下的投资组合优化。伊玛在数学方面有很多书。以及它的应用程序。，65, 35-46.[13] Cvitanic，J.1997。最优交易约束。金融数学：1996年在意大利布列萨农国际数学评估中心第三届会议上的演讲。，123-190，斯普林格。[14] 戴维斯，M.和莱奥，S.，2008年。风险敏感的基准资产管理。定量金融，8415-426。[15] 戴维斯，M.和莱奥，S.，2010年。用于基准资产管理的战略。麦克莱恩等人，18385-407。[16] 哈坎松，新罕布什尔州，1970年。一类效用函数在风险下的最优投资和消费策略。《计量经济学》，38587-607。麦克莱恩等人[18]再版。[17] 哈坎松，新罕布什尔州，1971年。

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2022-5-5 04:46:34

关于最优短视投资组合政策，有收益率序列相关性和无收益率序列相关性，商业杂志，44324-334。麦克莱恩等人[18]再版。[18] 麦克莱恩，L.C.，索普，E.O.，和齐姆巴，W.T.，编辑，2011年。凯利资本增长投资标准：理论与实践，《金融经济世界科学手册》系列，3，世界科学出版有限公司[19]中华人民共和国默顿，1990年。连续时间金融。布莱克威尔。[20] 索普，E.O.，1969年。适合最佳赌博系统。牧师。国际统计研究所37273-293。麦克莱恩等人[18]再版。[21]索普，E.O.，1971年。投资组合选择和凯利准则。公共汽车还有经济。统计，秒。过程。艾默尔。统计协会，215-224。麦克莱恩等人[18]再版。[22]索普，E.O.，2006年。21点、体育博彩和股市中的凯利标准。资产和负债管理手册，第一卷，S.A.Zenios和W.Ziemba编辑。麦克莱恩等人[18]再版。[23]勇，J.和周，X.U.，1999。随机控制：哈密顿系统和HJB方程，应用。数学，随机建模和应用概率，43，S普林格。[24]Oksendal，B.，2003年。随机微分方程：应用介绍，第6版，Universitext，Springer。附录A：通过HJB的勒让德变换推导HJB方程（10）可以通过勒让德变换进行显著简化，勒让德变换使用新的独立变量代替π，即沿π方向与值函数相切的斜率。将变换后的值函数K（p，t）定义为j（π，t）+K（p，t）=pπ，（A1），其中p=πJ和逆π=pK。勒让德变换要求方程p=πJ（π，t）对π有唯一的解，即逆函数(πJ）-1（p）存在于时间t中每个点的p点附近的最短间隔内。

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2022-5-5 04:46:37

在目前的情况下，J是一个值函数，这不太可能是一个问题，因为p，M.Nielsen 12是关于π的增长率，是一个有意义的量。勒让德变换是其自身的逆变换，变换的性质遵循微分规则。一般来说，转换与时间有关，即与π的固定值相对应的p值是时间的函数：（π，t）7→ （p（t），t）。在保持π固定的情况下，相对于t的微分k（p，t）给出（dK/dt）π=tK+(pK）（dp/dt）π，但将此过程应用于（A1）会得到简单的关系tJ+tK=0，（A2）因为π=pK。另一个伴随着差异的有用关系是πJ=dpdπt=dπdp-1t=(（主键）-1.（A3）应用变换规则，HJB方程（10）等价于K（p，t）的线性二阶偏微分方程tK=-σαKppK，（A4）必须根据转换终端时间边界条件求解，例如，对于凯利效用J（π，T）=g（π）=logπ，我们将有K（p，T）=1+log p，因为在时间T我们有p=πg=1/π。让我们通过定义φ（p，t）=γ（π，t），用φ（p，t）表示对应于最优投资γ（π，t）=πα（π，t）的变换函数。（A5）然后从（9）得出φ=-αKppK，（A6）和（A4）和（A6）我们有tK=σαKpφ。（A7）转化后的HJB问题比原始问题简单得多，如果我们用t（带固定p）和on（A7）带固定pp（t固定），然后我们得到两个方程，从中我们可以消除P蒂克。结果是最优投资的线性方程tφ=-σαKPPpφ. （A8）（A8）是一个时间倒转的扩散方程（即，它是一般非线性一维扩散方程的特殊形式，其结构如下：tφ=p[D（p，φ）pφ]）。

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2022-5-5 04:46:41

为了推导γ（π，t）的相应方程式，我们必须记住，当π保持不变时，p中存在隐式的时间依赖性，因此tγ=tφ+(pφ）（dp/dt）π。否则，操作是直接进行的，结果是（17）。附录B：变换和解析解最优策略（16）的非线性偏微分方程可以通过多种方式变换。在这里，我们将重点介绍一些具有潜在应用价值的产品。设αK=（u）- r） /σ表示自由边界，如果我们引入标度无量纲时间变量θ=αKσ（t），则u（π，t）表示标度控制u=α/αK.（B1）- t） =（t）- t） /τ，（B2）然后θ≥ 0以特征时间τ=2σ/（u）为单位测量剩余时间-r），最优策略u=u（π，θ）的方程为θu=uπππu. （B3）M.Nielsen 13Letπcdenote一个特别感兴趣的投资组合价值。根据设置，这可能是例如起始值、止损或目标水平。然后，我们可以通过z=πc/π来定义比例互惠投资组合值。（B4）最优策略u=u（z，θ）则服从s方程θu=uz祖。（B5）对于m来说，这对于止损水平为πc的投资问题是方便的，因为πc≤ π ≤ ∞ 翻译成z∈ [0, 1].自从乌兹≥ 0的标志θu由曲率给出祖。因此作为θ→ ∞ 该方程将试图拉直θ=0时控制初始状态中存在的任何曲率，以接近最终状态zu=0，与z方向的边界条件一致。对于带有止损水平和z的投资问题∈ [0，1]，这意味着u（z，θ）→ u（z）=u+（u-u） z代表θ→ ∞, 用u，u表示各自的边界条件。对于具有较高目标水平b的投资问题，互惠投资组合值可方便地定义为z=b/π，且域0<π≤ 然后把b翻译成z∈ [1, ∞[.

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