关于Kelly赌博：一些限制

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收藏 2022-06-01

英文标题：
《On Kelly Betting: Some Limitations》
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作者：
Chung-Han Hsieh and B. Ross Barmish
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
The focal point of this paper is the so-called Kelly Criterion, a prescription for optimal resource allocation among a set of gambles which are repeated over time. The criterion calls for maximization of the expected value of the logarithmic growth of wealth. While significant literature exists providing the rationale for such an optimization, this paper concentrates on the limitations of the Kelly-based theory. To this end, we fill a void in published results by providing specific examples quantifying what difficulties are encountered when Taylor-style approximations are used and when wealth drawdowns are considered. For the case of drawdown, we describe some research directions which we feel are promising for improvement of the theory.
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中文摘要：
本文的重点是所谓的Kelly准则，这是一种在一系列不断重复的赌博中进行最优资源分配的方法。该标准要求财富对数增长的预期值最大化。虽然有大量文献为这种优化提供了理论基础，但本文集中讨论了基于Kelly的理论的局限性。为此，我们通过提供具体示例，量化使用泰勒式近似和考虑财富减少时遇到的困难，填补了已发布结果中的空白。对于下降的情况，我们描述了一些我们认为有希望改进理论的研究方向。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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On_Kelly_Betting:_Some_Limitations.pdf
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mingdashike22

2022-6-1 11:44:59

关于Kelly赌博：一些限制Schung Han Hsiehand B.Ross Barmish摘要-本文的重点是所谓的Kelly准则，这是一种在一组不断重复的赌博中进行最优资源分配的处方。该标准要求财富的合理增长的预期价值最大化。大量文献提供了此类优化的基本原理。本文首先描述了现有文献中基于Kelly的理论的一些局限性。为此，我们通过提供具体示例，量化使用泰勒式近似和考虑财富减少时可能出现的错误，填补了已公布结果的空白。对于拉下的情况，我们描述了一些我们认为有希望改进理论的研究方向。一、导言本文的重点是开创性论文[1]中提出的所谓Kelly准则。给定n次赌博，返回g由某个随机向量X覆盖∈ Rn，Kelly的理论指出了一个人在第i次下注时的账户价值。假设K是含有Ki分量的列向量，这个问题的经典公式需要Ki≥ 0表示i=1，2。。。，n和K+K+···Kn≤ 问题公式还包括一个立场假设，即这场赌博是针对X的一次又一次的独立和同分布（i.i.d.）试验，而K是保证生存的。

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mingdashike22

2022-6-1 11:45:01

这个概念将在续集中变得更加精确。注意，帐户值从某个初始级别V（0）>0开始，并让X（k）成为X的第k个结果，通过递归V（k+1）=（1+KTX（k））V（k）顺序描述到终端状态V（N）的演化。出租X Rn表示我们假设为闭合的X的支撑，为了确保满足生存性要求，可容许K必须满足条件Minx∈XKTX公司≥ -此后，为了表示上述约束的总和，我们写下K∈ 注意K是凸的。综上所述，值得注意的是，有许多可能的变化Schung Han Hsieh是威斯康辛大学麦迪逊分校电气与计算机工程系的一名研究生，正在攻读博士学位，邮编53706。电子邮件：hsieh23@wisc.edu.B.Ross Barmish是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。电子邮件：barmish@engr.wisc.edu.and该问题公式在文献中的扩展。例如，在e上，可以允许Ki>1包含杠杆因素，允许Ki<0建模卖空。最后，我们提到一个最重要的应用是他们的想法：金融市场中的交易和投资组合平衡问题。根据文献[1]中的结果，我们看到了随后几十年来有关该理论各种应用、推广和改进的文献；e、 g.，见【5】、【6】、【10】和【13】。A.

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能者818

2022-6-1 11:45:05

经典的Kelly问题是选择K∈ 使对数增长（K）的期望值最大化=氖日志V（N）V（0）.使用上述V（k）的递归，对数函数的可加性，X（k）处的事实th是i.i.d.，很容易表明预期的对数增长函数减少到t g（k）=E[对数（1+KTX）]=ZXlog（1+KTX）fX（X）dx，其中fX（X）表示概率密度函数f或X。随后，当约束k∈ 包括K，很容易证明最佳的生长*.= 最大值（maxK）∈Kg（K）是K中的凹形程序。为了为上述所有内容提供一个最简单的说明，[1]中的文献考虑了在概率p>1/2和X（K）=-1，概率为1- p、在这种情况下，fX（x）由Dirac D e lta函数的一组描述，通过直接微分g（K）可以很容易地看出，最优函数K=K*, 由K给出*= 2p级-1.B.为什么使用对数增长？使用Kelly准则比使用termina lwealth E[V（N）]的摩尔经典经验值有许多优点。为了说明为什么会这样，对于n=1，如果E[X（k）]只是“稍微”正的，很容易看出，通过使k为大的Aspermited来获得最佳值；e、例如，对于赢概率p=0.5+ε的偶数货币赌注，无论优势ε>0多小，最大化e[V（N）]决定使用g K=1。这样的策略可以说是过于激进，无法用于一场在aga之上的游戏。当N较大时，几乎可以肯定V（k）将下降到零；i、赌徒的毁灭将会发生。与上述E[V（N）]的使用相反，KellyCriterion在使用E[log（V（N）]时，会自动将一定程度的风险因素纳入分析。

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大多数88

2022-6-1 11:45:07

对于上述情况，当SMALLε>0时，最佳值为K=2ε，因此更有可能避免赌徒欺诈。考虑到财富的指数增长率，并通过周期优化实现短视期，从而实现最佳对数增长，从而使许多理想的资产成为有力的金融工具；参见【11】，其中给出了理想和不理想属性的良好总结。在这方面，最重要的是：当最佳方钻杆分数Ki增加时，各种风险度量变得大得令人无法接受。因此，文献中还包括许多与“分数策略”相关的论文从本质上讲，这一数量减少了Ki，通常是以特别的方式；e、 g.，见【9】。最后，为了为后面的章节提供进一步的背景，我们提到了文献中的其他相关论文，参见[2]-[8]、[10]、[12]-[14]，并挑出[15]，其具有下面描述的相同控制理论观点。C、反馈控制系统观点上述问题的表述很容易用经典的feedba C k控制理论来解释。也就是说，我们将V（k）视为一个系统的状态，该系统具有线性费用dback，n个输入对应于赌博的投资水平Ii（k）。也就是说，控制信号的第i个输入由ii（k）=KiV（k）和Ki给出≥ 0被视为费用回收收益。随后，该随机系统的状态通过方程V（k+1）=V（k）+nXi=1Ii（k）Xi（k）V（k）=（1+KTX（k））V（k）更新。这种类型的反馈控制配置如图1所示；参见【17】其中对这种范式的追求更为详细。D

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大多数88

2022-6-1 11:45:10

计划后续章节尽管现有文献中提到了基于Kelly理论的局限性，但缺乏具体的例子来说明薄型gscan“运行”的程度为此，第2节集中介绍了文献中用于优化分配向量K的近似方法，如图所示。1：反馈控制等效于Kelly Bettingsequel，泰勒级数用于逼近对数增长函数，我们发现得到的解可能不可行，或者性能明显低于真正的最优解。此外，我们还表明，近似解可能具有某种“无效属性”，这是不可取的。虽然我们接下来的例子提供了可能发生的“不良”的具体认识，但也应该注意的是，“补救措施”是现成的。也就是说，一些论文，例如，见[3]和[10]，认识到对数增长问题是一个凹规划。因此，不需要近似方法是有争议的，因为有现成的商业代码可以有效地解决手头的问题；参见【18】和【19】。在撰写一些早期论文时，这些代码并不容易获得，作者要么采用近似法，要么开发出自己的算法；见【4】。在第3节中，讨论了一个比近似更严重的问题——财富下降问题。可以说，文献已经认识到，凯利·盖恩斯的结果虽然是对数增长最优的，但在短期内可能过于激进；i、例如，财富水平V（k）可能下降到令人无法接受的低水平。由于这个原因，如前所述，一些作者通过缩小Ki来求助于所谓的“分数”优化模式；e、 g.，见【9】和【11】。

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能者818

2022-6-1 11:45:14

另一些作者则通过引入约束来减少撤资效应；e、 g.，见【10】。在量化了有关削减的一些负面因素后，在第4节中，我们描述了一些我们认为有希望形成削减问题的研究方向。最后，在第5节中，给出了一些结论，并指出了其他研究方向。二、与近似值相关的负值，以获得最佳对数mic增长率g*如上所述，文献中的一种方法涉及逼近——要么使用对数增长函数的多变量泰勒展开，要么将X（k）视为几何布朗运动并使用低阶展开项；e、参见[6]、[12]、[13]和[14]。本节的主要目的是指出与近似解相关的一些“陷阱”。虽然基于近似的最优K的封闭式解决方案提供了对风险回报权衡的一定程度的洞察，但文献中并未出现具体示例，这些示例说明了近似方法导致错误结果的情况。可以这样说，当X（k）的变化范围很大时，真正的最佳时间k=k*和相关的对数增长g（K*) 可能与其近似值相差很大。A、涉及近似的例子我们考虑一个有吸引力的赌博，其中n=1，X=0.15，概率p=0。95和X=-0.95，概率p=0.05。我们把这种赌注称为中央极限意义上的“有吸引力”；i、 e.，由于e[X]=0.095，重复的i.i.d.试验几乎肯定会导致成功。

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何人来此

2022-6-1 11:45:16

现在，根据【13】，使用近似值【log（1+KX）】≈ KE[X]-很容易看出，相关的最优投资框架K，称之为κTaylor，由κTaylor=E[X]E[X]=1.4286给出。请注意，此解决方案不可行，因为K∈ 假设为[0，1]。因此，为了保证可行性，为上述approximate解决方案引入了饱和函数。因此，具有饱和度的最佳近似肟溶液callit KTaylor和相关的预期对数增长为followsktaylor=SAT[κTaylor]=1；g（克泰勒）≈ -0.017，其中SAT【x】是饱和函数；i、 e.，f或x<0，SAT[x]=0；对于0≤ x个≤ 1，SAT[x]=x，对于x>1，我们得到SAT[x]=1。另一种方法，例如，参见[6]和[12]，其中X（k）被视为漂移u=E[X]，方差σ=V AR（X）的几何布朗运动。a序列t Taylor近似导致近似解，即k GBM=E[X]V AR[X]=1.6529。类似地，它在限制K下是不可行的∈ [0，1]因此需要饱和。这里，相关的最优近似解称为KGBM，相应的预期对数增长由KGBM=SAT[κGBM]=1给出；克（KGBM）≈ -0.017.与上述两种近似溶液相比，如第1节所述，通过最大化预期对数增长g（K）=0.95 log（1+0.15K）+0.05 log（1），可获得真正的最佳值- 0.95K），通过直接的微分，得到了[0，1]中的可行解和由K给出的最优增长*≈ 0.6667; g（K*) ≈ 0.0404.图2总结了所有三种解决方案。具有讽刺意味的是，基于近似的结果产生了g（K）r a的最小增长，而不是期望的d最大值。可以说，由于违反约束而导致的近似和饱和的结合可能会导致严重的错误。K0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.02-0.010.010.020.030.04KTaylorKGBMK*图。

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何人来此

2022-6-1 11:45:21

2：预期对数增长率为了进一步量化，我们使用r（K）将预期对数增长转化为年化收益率=t（eg（K）- 1).假设每天进行一次，其中t是两次打赌之间的时间，我们取t=1/252，然后，相应的预期年化回报率计算为ber（K*) ≈ 10.384;r（KTaylor）=r（KGBM）≈ -3.443.换言之，近似方案与可能方案进行了性能比较。B、更现实的例子——以实际库存数据为例——在本例中，我们通过使用一个涉及两种库存的实际数据的例子，进一步考虑与近似值相关的问题：特斯拉汽车公司和IBM在2013年1月2日至2013年5月13日的第九十天期间。我们使用调整后的每日收盘价（见图3）来估计联合概率质量函数，并根据约束K+K对g（K）进行样本约束最大化≤ 1、我们获得*= 1.K*= 也就是说，最佳的原木增长解决方案涉及特斯拉的所有资金，而不涉及IBM的任何投资。现在，假设我们计算基于泰勒的解；i、 e.，κ泰勒=∑-1（X）E[X]=[5.321 2.725]T；κGBM=“”∑-1（X）E[X]=[5.59 9 2.681]t其中∑（X）是X的二阶矩矩阵，‘∑（X）是X的协方差矩阵。注意，由于违反约束，近似解κTaylorandκGBMare不可行。

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何人来此

2022-6-1 11:45:23

图4中的真实最优解和近似解与κTaylorandκGBMareseen沿w。考虑到泰勒和GBM解决方案的约束冲突K+K>1，一种标准方法是将这些解决方案投影到约束满足集。也就是说，我们取kTaylor=P roj（κTaylor）≈ [0.661 0.339]T；KGBM=P roj（κGBM）≈ [0.661 0.339]这里P roj（·）是P roj（K，K）给出的投影函数=KK+KKK+Kt对于所有非负K，K，K不同时为K，K=0。然而，应该注意的是，尽管投影过程提供了一种产生可行解的方法，但投影解可能不是最优的。C、近似解的不足在这一小节中，我们指出了与使用近似解相关的另一个危险。起飞点是金融中广泛使用的以下原则：如果两项投资具有相同的风险，则将放弃价值较小的投资，并被视为“无效”我们声称，使用近似值Ktaylor或Kgbm可能是不够的。我们现在使用ktaylora提供了这样一个示例，并注意到同样的示例也可以用于kgbm。实际上，我们考虑如下描述的随机变量X：给定γ>0，我们有X=γ，概率p>0，X=-1，概率为1- p、第20 20 40 60 80天时间第20 20 40 60 80天时间图。3：两种股票价格：TSLA和IBMUsing泰勒近似，作为报酬水平γ的函数，直接计算yieldsKTaylor（γ）=SATpγ+p- 1pγ- p+1.从经济风险角度来看，为了使KTaylor（γ）有效，它应该具有以下特性：当γ≥ γ≥ 0，我们需要K（γ）≥ K（γ）。也就是说，如果与γ相关的赌注提供了与f或γ相同的成功和失败概率的更多回报，那么民族赌徒应该在γbeta上投资至少与γ赌注相同的金额。

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kedemingshi

2022-6-1 11:45:27

我们声称基于泰勒的近似模式不能满足这个条件。为了证明这一说法，有必要证明dKTaylor/dγ可以与（0，1）中的ktaylor（γ）呈负相关。实际上，我们计算了kTaylordγ=-ppγ+2（p- 1） γ+p- 1（pγ- p+1），注意分母不能消失。因此，对于γ>γ，wesee dKTaylor/dγ<0*（p） =1.- p+√1.- Pp，对应于分子的零交叉。在图5中，给出了p=0.8时的KTayloris曲线图。很明显，所声称的效率在参数范围γ>γ之间*(0.8) ≈ 0.809.K-4-2K0.010.030.02增长率κGBMκTaylorK*图4：两种股票的约束违反示例γ0 1 2 3 4 50.10.20.30.40.50.60.7图。5： p=0.8III的K泰勒（γ）图。如【10】和【16】所述，与提款相关的负面影响。控制提款，即控制财富从峰值下降到随后的低点，是风险管理人员最关心的问题之一。在本节中，我们首先演示Kelly下注经常导致非常糟糕的提款表现。然后，我们讨论了在该框架内缓解缩编问题的一些方法。

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可人4

2022-6-1 11:45:29

沿任何样本路径V（k），最大百分比下降被定义为asD（k）。=最大值0≤l≤k≤NV（l）-V（k）V（l）。在续集中，我们经常去掉“百分比”这个词来表示简单性。如第1节所述，使用方钻杆分数可能会导致显著的下降，因为其过于激进。为了量化提款可能有多糟，考虑下注N次单币抛投赌博，其中X=1，概率p和X=-1，概率为1-p、那么很容易证明最大降深的概率大于或等于任意分数K∈ （0，1）由p（D（K）给出≥ K） =1- 请注意。现在，如果我们取N=252，p=0.99，使用最佳Kelly投资分数K*= 2p级- 1=0.9 8，因此最大水位下降超过98%的可能性为92%。也就是说，发生大幅度下降的可能性非常高。使用马尔可夫质量（Markovinequality）进行的类似分析也得出了相同的结论。A、控制水位下降为了控制水位下降，一种可能的选择是增加概率约束以优化原木生长；i、 e.给定0<ε<1和0<δ<1，考虑约束tp（D（K）≤ ε) ≥ 1.- δ.或者，我们可以使用预期的最大水位降，而不是使用概率约束；i、 e.给定0<ε<1，考虑水位下降约束asE[D（K）]≤ ε.现在，我们重新讨论第2节中使用的示例，n=1，X=0.15，概率p=0.95，X=-0.95，概率p=0.05。K0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8图。6：与使用最佳分数K相比，预计最大百分比下降*= 0.6667，从图6可以清楚地看到，相应的预期最大水位降为e[D（K*)] = E【D（0.6667）】≈ 0.903 ;E[D（KTaylor）]=E[D（KGBM）]=E[D（1）]≈ 1.0 .这表明近似解会导致几乎确定的破产。现在，反对赌徒addsconstraint E[D（K）]≤ 0.2.

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kedemingshi

2022-6-1 11:45:34

n，基于图6，可以清楚地看到，最佳投资分数K降低到K=K*≈ 0.1.四、涉及水位下降的研究方向进一步讨论上述水位下降，如果分配向量K是多维的，则可以有一个凸的水位下降约束t，以便将对数增长优化问题视为凹规划，并可以非常有效地解决。为此，在本节中，我们提供了两个涉及最大水位下降的广义凸性的猜想。考虑到动机，考虑单枚硬币的浮动示例，从图6中的单调性可以清楚地看出，期望的ddrawdown是K中的递增函数。因此，对于0<ε<1，E[D（K）]≤ ε导致K的n区间约束是凸的。对于Xi=1且概率p=0.9且Xi=-1，概率为1- p对于i=1，2，蒙特卡罗模拟表明，预期最大降深的约束集定义为凸集；e、 g.，见图7。这导致了以下猜测。K0 0.1 0.2 0.3 0.40.050.10.150.20.250.30.35{K:E[D（K）]≤ 0.2}图7：预期最大降深约束的示例约束1：给定0<ε<1，预期最大降深{K∈ K:E【D（K）】≤ ε} 是凸面的。我们可以考虑最大水位降保持在某一水平ε>0以下的概率集，而不是限制预期的最大水位降。对于同一个二元硬币的flip ping示例，图8显示dr awdown约束集仍然是凸的。这导致了以下猜测。K0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120.020.040.060.080.10.12{K:P（D（K）≤ 0.2) ≥ 0.8}图。

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kedemingshi

2022-6-1 11:45:38

8：最大降深约束概率示例约束2：给定0<ε<1和0<δ<1，最大降深概率集{K∈ K:P（D（K）≤ ε) ≥ 1.- δ} 是凸面的。虽然我们已经进行了几个蒙特卡罗模拟来支持这些猜测，但鉴于涉及两枚硬币的事实，凸性问题仍然是这些猜测，这些猜测可能对一般情况不成立，我们现在引入一个预期下降的替代物。A、预期下降的替代项首先注意d（K）=最大值0≤l≤k≤NV（l）- V（k）V（l）=1-\'D（K），其中\'D（K）。=最小0≤l≤k≤NV（k）V（l），确定互补m最大水位降。我们认为这一全面的缩减是一种替代，并使用了URROGRATE constraintlog\'D（K）≥ 日志（1- ε）因此，下面的引理表明，在这种完全下降约束下，定义了一个凸集。引理4。1：给定0<<1K∈ K:E[对数（K）]≥ 日志（1- ε)是凸面的。证明：给定0<ε<1，我们得到E[对数D（K）]=E日志最小0≤l≤k≤NV（k）V（l）= E最小0≤l≤k≤NlogV（k）V（l）= E“最小0≤l≤k≤Nk公司-1Xi=llog1+KTX（一）#=ZXmin0≤l≤k≤Nk公司-1Xi=llog1+KTxfX（x）dx。请注意，函数k-1Pi=llog1+KTx在K中是凹的，利用凹函数索引集合上的最小值是凹的这一事实，可以得出E[log'D（K）]是凹函数。因此，集合{K∈ K:E[对数D（K））]≥ 日志（1- ε） }是凸的。备注：由于对数函数是连续的，使用Jensen\'sinequality，我们得到了[log'D（K）]≤ 日志E[(R)D（K）]。现在将两边的指数化，我们得到[(R)D（K）]≥ ex p（E[对数D（K）]）。为了考虑这一界限的紧密性，我们再次以概率p=0.9和N=252的方式重新讨论了单币浮动策略。图9提供了使用蒙特卡罗模拟得到的E[\'D（K）]和exp（E[log\'D（K）]之间的比较。对于这个简单的情况，可以清楚地看到，E[\'D（K）]非常接近exp（E[log\'D（K）]）。

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kedemingshi

2022-6-1 11:45:41

换言之，替代补充缩编可以是一个缩编候选人。五、结论在本文中，重点是与应用Kellycritrion相关的一些模拟。通过进一步研究，除第3节所述的提款问题外，其他可能性包括修改投资的反馈控制方案Ii（k）=KiV（k）。也许在“控制器”中使用其他变量（如撤销本身）会提高性能。更一般地说，在计划中，将凯利理论与其他风险指标，如夏普比率（见[20]）相结合是必要的。未来研究的一个重要方向是将现有结果扩展到涉及未知外汇（x）的ms问题。例如，当该理论应用于股票交易环境而不是假设已知外汇（x）时，考虑使用anK0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8E[(R)D（K）]exp（E[log'D（K）]）图9：预期的补充提取及其替代自适应方案以获得时变的K向量是有意义的；i、例如，随着市场动态性质的变化，投资功能也相应调整。为了简单说明这种适应性模式如何工作，我们考虑了第1节中描述的投币游戏，初始账户值V（0）=1，未知潜在概率p=0.6。现在，不知道p的下注者观察结果X（k），并构建了p的相对频率估计值^p（k），其大小为M<N。前M个步骤构成了不下注的培训期，然后是k≥ M，估计量由^p（k）给出=Mk公司-1Xi=k-Mmax{符号（X（k）），0}。请注意，上面的估计数用于表示中奖赌注的数量。

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何人来此

2022-6-1 11:45:44

现在，使用估计值r，我们可以得到投资分数^K（K）=2^p（K）-图10总结了结果。参考文献【1】J.L.Kelly，“信息率的新解释”，《贝尔系统技术期刊》，第917-9261956页。[2] N.H.Hakanson，“关于有无序列相关性的最佳近视投资组合政策”，《商业杂志》，第44卷，第324-3341972页。[3] T.M.Cover，“最大化预期对数投资回报的算法”，《IEEE信息论交易》，第30卷，第369-3731984页。[4] T.M.Cover和J.A.Thomas，《信息论要素》，Wiley，2012年。[5] L.M.Rotando和E.O.Thorp，“凯利标准和股票市场”，《美国数学月刊》，第99卷，第922-9311992页。[6] E.O.Thorp，“21点体育博彩和股票市场中的凯利标准”，《资产和负债管理手册：理论和方法》，第1卷，385-428页。Elsevier Science，2006年。下注编号，k50 100 150 200 250下注编号，k50 100 150 200 2500.20.40.6自适应KellyFixed KellyFig。10： M=50训练赌注的适应性Kelly策略[7]P.Samuelson，“长序列投资或赌博中几何平均值最大化的“谬论”，《国家科学院学报》，第68卷，第2493-24961971页。[8] S.Maslov和Y.C.Zhang，“风险资产的最优投资策略”，《国际理论与应用金融杂志》，第1卷，377-3871998页。[9] L.C.Maclean和W.T.Ziemba《动态投资分析中的增长与安全权衡》，《运筹学年鉴》，第85卷，第193-227页，1999年。[10] L.C.Maclean、R.Sanegre、Y.Zhao和W.T.Ziemba“安全的资本增长”，《经济动力与控制杂志》，第28卷，第937-9542004页。[11] L.C.Maclean、E.O.Thorp和W.T。

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能者818

2022-6-1 11:45:47

Ziemba《长期资本增长：凯利资本增长标准和分数凯利资本增长标准的优劣》，《量化金融》，第10卷，第681-687页，2010年8月至9月。[12] J.K.Rising和A.J.Wyner，“部分Kelly投资组合和收缩估值器”，IEEE信息理论过程国际研讨会，第1618-16222012页。[13] V.Nekrasov，“多元投资组合的Kelly准则：无模型方法”，社会科学研究网络电子杂志，2014年。[14] V.Nekrasov，《知识而非希望：面向散户投资者和数学金融学生的书》，作者自行出版，2014年。[15] G.C.Cala fiore和B.Monastero，“触发长短交易指数”，《国际贸易、经济和金融杂志》，第1卷，第289-2962010页。[16] S.Malepour和B.R.Barmish，“在布朗运动（BrownianMotion）控制的市场中通过线性反馈进行股票交易的提取公式”，《欧洲控制会议论文集》，瑞士苏黎世，第87-92页，2013年7月。[17] B.R.Barmish和J.A.Primbs，“关于通过无模型反馈控制器进行股票交易的新范式”，IEEE Transactionson Automatic Control，2015年出版。[18] S.P.Boyd和L.Vandenberghe，凸优化，剑桥大学出版社，2004年。[19] M.C.Grant和S.P.Boyd，“CVX：用于规则凸规划的Matlab软件”，2.12015版。[20] W.F.Sharpe，“Sharpe比率”，《投资组合管理杂志》，第21卷，第49-58页，1994年。

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