考虑执行成本和市场影响的期权定价和套期保值

nandehutu2022

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Option pricing and hedging with execution costs and market impact》
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作者：
Olivier Gu\\\'eant, Jiang Pu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
This article considers the pricing and hedging of a call option when liquidity matters, that is, either for a large nominal or for an illiquid underlying asset. In practice, as opposed to the classical assumptions of a price-taking agent in a frictionless market, traders cannot be perfectly hedged because of execution costs and market impact. They indeed face a trade-off between hedging errors and costs that can be solved by using stochastic optimal control. Our modelling framework, which is inspired by the recent literature on optimal execution, makes it possible to account for both execution costs and the lasting market impact of trades. Prices are obtained through the indifference pricing approach. Numerical examples are provided, along with comparisons to standard methods.
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中文摘要：
本文考虑了在流动性重要的情况下，看涨期权的定价和套期保值，即，对于大额名义资产或非流动性标的资产。在实践中，与无摩擦市场中价格接受代理的经典假设相反，由于执行成本和市场影响，交易者无法完全对冲。它们确实面临着套期保值误差和成本之间的权衡，这可以通过使用随机最优控制来解决。我们的建模框架受最近有关最优执行的文献启发，可以考虑执行成本和交易的持久市场影响。价格是通过无差异定价方法获得的。文中给出了数值例子，并与标准方法进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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Option_pricing_and_hedging_with_execution_costs_and_market_impact.pdf
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能者818

2022-5-5 05:08:52

考虑执行成本和市场影响的期权定价和套期保值*Olivier Guéant+Jiang PuAbstract本文考虑了在流动性重要的情况下，看涨期权的定价和套期保值，即对于大额名义资产或非流动性基础资产。在实践中，与无摩擦市场中价格接受代理的经典资产相反，由于执行成本和市场影响，交易者无法完全对冲。他们确实面临着套期保值误差和成本之间的权衡，这可以通过使用随机最优控制来解决。我们的建模框架受到了有关最佳执行的最新文献的启发，使我们能够考虑执行成本和交易的持久市场影响。价格通过独立定价法获得。给出了数值算例，并与标准方法进行了比较。关键词：期权定价，期权套期保值，非流动市场，最优执行，随机最优控制。1简介经典期权定价理论基于一个无摩擦市场的假设，在这个市场中，代理人是价格接受者：没有交易成本，交易者对价格没有影响——既不是暂时的，也不是永久的。这些假设并不现实，但结果期权定价模型（例如Black-Scholes模型或Heston模型）被广泛使用，只要标的资产是流动的，且名义价值是固定的，就可以提供有用的结果*这项研究是在欧洲金融研究所支持下的研究倡议“最佳执行情况统计”的支持下进行的。

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何人来此

2022-5-5 05:08:55

作者要感谢罗伯特·阿姆格伦（量化经纪人）、尼古拉斯·格兰尚·德·劳克斯（汇丰法国）、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒（CFM）、特里·莱昂斯（牛津人）、拉姆齐·马格里比（汇丰法国）、胡延·范（巴黎迪德罗大学）、克里斯·罗杰斯（剑桥）、马修·罗森鲍姆（UPMC）和纪尧姆·罗耶（法国理工学院）就这个话题进行的讨论。作者还想感谢两位匿名推荐人对我们论文的评论。+巴黎狄德罗大学、数学研究院、雅克·路易斯·利昂斯实验室、，gueant@ljll.univparis-狄德罗。fr欧盟金融研究所，蒋。聚氨基甲酸酯。2009@m4x.orgnot太大了。然而，对于非流动资产期权或与标的资产市场上通常交易量相比具有较大名义价值的期权，执行成本和市场影响不容忽视。Black-Scholes模型已经做了一些改进，以考虑交易成本。其基本思想是，由于交易费用，高频套期保值成本过高，而低频套期保值会导致较大的跟踪误差。Leland在[21]中提出了在期权定价背景下处理交易成本的第一个模型之一。其他具有固定交易成本或交易成本与交易量成比例的摩擦市场模型包括[6]、[11]和[12]。在期权定价模型中，还有另外两条途径被认为是市场缺陷的原因。第一条路线通常被称为“供给曲线”方法。在切丁、贾罗和普罗特[7]提出的这种方法中（另见[3]和[8,9]），交易者不是价格接受者，他们支付的价格取决于他们交易的数量。虽然这个框架很吸引人，但它的价格与布莱克-斯科尔斯模型中的价格相同。

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大多数88

2022-5-5 05:08:58

切丁、索纳和图齐[10]考虑了相同的方法，但他们限制了可接受的策略集（另见[23]），以获得正的流动性成本和价格，最终与布莱克-斯科尔斯模型中的流动性成本和价格不同。我们对执行成本（流动性成本）进行了不同的建模，因为我们的框架受到了有关临时执行的文献的启发（见[1,16,28]）。第二条路线必须受到-对冲基础资产的动态，以及由此产生的反馈对期权价格的影响。关于这一主题有大量文献，因此我们参考[25]、[29]和[30]了解不同的建模方法。为了考虑这种影响，我们使用了与大多数关于最优执行的论文相同的线性形式的永久市场影响。除了这两条路线之外，最近出现了一种新的方法，与优化执行的文献有关。罗杰斯和辛格[26]以及李和阿尔姆格伦[22]考虑了受这些文献启发的方法，与我们的方法类似。在他们的设置中，作者认为执行成本在执行量中不是线性的，而是凸的，以考虑流动性影响。罗杰斯和辛格考虑了一个客观函数，该函数惩罚执行成本和到期时的均方对冲误差。在这种接近平均方差的框架下，当非流动性成本很小时，他们得到了最优套期保值策略的封闭形式近似值。受2012年7月观察到的美国股票价格波动的推动，李和阿尔姆格伦考虑了一个具有永久性和暂时性影响的模型，而罗杰斯和辛格在[26]中没有研究永久性市场影响。在套期保值误差是主要变量的情况下，他们使用均值-方差优化准则。

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nandehutu2022

2022-5-5 05:09:01

他们考虑了二次执行成本的情况，并使用常数Γ近似，以获得套期保值策略的闭式表达式。2012年7月，通过对五只主要美国股票价格的锯齿模式观察到了这种影响（见[19,20,22]）。我们的目标是考虑一个通用模型，而不是讨论导致封闭式表达的特殊情况。我们使用执行成本的一般形式，并检查永久市场影响的影响范围。我们考虑的优化标准是应用于最终财富的预期性。因此，我们用偏微分方程（PDE）来描述最优策略，并依靠数值方法来近似PDE的解和最优套期保值策略。另一个不同之处是我们考虑了利率。此外，无论[22]还是[26]都没有将实物交付与现金结算区分开来。在本文中，我们展示了对冲策略和期权价格是如何受到结算类型的影响的。就（部分）对冲策略而言，[22]和[26]都获得了围绕经典均值回归的最优策略. 在我们的预期效用框架中并非如此：我们的最优策略不会在没有执行成本和市场影响的情况下围绕解决方案波动。我们模型中的最优策略比经典的更平滑-套期保值策略因为交易者试图避免股票的往返，这会导致股票买卖的执行成本。在实物结算的情况下，平滑策略还取决于这样一个事实，即交易者既厌恶价格风险，也厌恶必须交付与不交付的二元风险。

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kedemingshi

2022-5-5 05:09:04

通过将OUR策略与经典策略进行比较-套期保值策略对于不同的再平衡频率，我们表明，我们的方法可以在降低执行成本的同时达到非常低的差异水平。特别是，我们观察到，由于重新平衡的频率导致了相同水平的执行成本，与我们的策略相关的PNL方差低于通过经典方法获得的方差-享乐策略。除了最优套期保值策略外，我们的预期CARA效用框架还通过使用差异定价方法提供定价。我们计算了当交易者使用最优对冲策略时，客户需要支付的金额，用效用来补偿期权的支付。我们发现，与经典模型相比，在存在执行成本的情况下，看涨期权的价格更高，并且该价格是标的资产流动性不足和期权名义价值的函数。尽管我们在整篇文章中都集中讨论了看涨期权的情况，但同样的应用程序也可以用于其他类型的期权。特别是，类似的应用程序roach被用于定价和对冲加速股票回购合同（见[15,18]）。这些合同是亚洲类型的期权，具有百慕大风格的锻炼日期和物理交付。正文的其余部分组织如下。在第二节中，我们给出了模型的基本假设，并介绍了与该问题相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程。在第3节中，我们解决了无永久市场影响的控制问题，并证明了期权价格满足非线性偏微分方程。在第4节中，我们将展示如何将您的解决方案扩展到具有永久市场影响的情况。第五章，我们讨论了解决这个问题的数值方法。

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kedemingshi

2022-5-5 05:09:07

在第6节中，我们介绍了几个例子的结果，并将我们的模型与Bachelier模型进行了比较。2.模型的设置2。1注释我们考虑一个经过过滤的概率空间Ohm, F、（Ft）t≥0，P这对应于市场上的可用信息，即观察时间之前的股票市场价格。为了0≤ s<t≤ 我们将P（s，T）表示为R值渐进可测过程的集合[s，T]。我们考虑的问题是银行（或交易员）向客户出售股票的看涨期权。看涨期权有一个名义N（以股份计）、一个行使K和一个到期日T。执行过程由于执行成本，银行无法复制该选项。然而，为了（部分地）对冲其风险头寸，它还是在积极地买卖股票。为了对执行过程进行建模，我们首先引入了市场容量过程（Vt），它被假定为确定性、非负性和有界的。通过施加最大参与率ρm，限制交易相对于市场交易量不会走得太快。因此，对冲组合中的股票数量被建模为：qt=q+^tvsds，其中随机过程v属于一组可接受的策略，定义为：a:={v∈ P（0，T），|vt |≤ ρmVt，a.e.in（0，T）×Ohm}.备注1。当市场关闭时，市场容量过程可用于通过假设gvt=0对隔夜风险进行建模。价格过程根据历史概率将标的资产的价格过程定义为Ito过程，其形式为：dSt=udt+σdWt+kvtdt，其中k≥ 0模型永久性市场影响，其中u通常是对基础资产未来趋势的看法。为了避免动态套利，我们考虑了永久市场影响的线性形式（参见Gatheral[14]的分析）。

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mingdashike22

2022-5-5 05:09:10

[17]中提出的更一般的框架可能是另一种可能性，但我们认为它更适合日内问题。对于看跌期权或银行购买期权的情况，理由是相同的。我们考虑看涨期权的具体情况，以突出实物交割和现金结算之间的差异。合格中介机构指投资组合开始时的股份数量。在非流动性市场中，尤其是对于包括期权在内的公司交易，看涨期权的买方可以提供初始股数（见第3节的讨论）。下面我们将考虑q=0和QI设置为初始单身汉的情况感谢您与Buyer的首次交易。在我们的框架中，没有理由考虑风险中性概率，因为由于执行成本，我们无法复制看涨期权的有效性。备注2。我们考虑的是价格波动的Bach-elier动力学，而不是经典的Black-Scholes框架。Almgren和Li的论文[22]也是如此。这种选择的根本原因是我们考虑了一个CARA效用函数，它先验地与几何布朗运动不相容。因此，当期权到期时间较长时，我们获得的价格会受到批评（参见[27]了解th eBachelier和Black-Scholes期权定价模型之间的比较）。现金账户和执行成本银行的现金账户遵循与现金策略相关的动态。它尤其受到执行成本的影响。

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大多数88

2022-5-5 05:09:14

这些执行成本通过引入函数L来建模∈ C（R，R+）证明了以下条件：oL（0）=0，oL是一个偶数函数，oL在R+上增加，oL是严格凸的，oL是渐近超线性的，即：limρ→+∞L（ρ）ρ=+∞.对于任何v∈ A、现金账户X演变为：dXt=rXtdt-vtStdt- VtLvtdt，其中r是无风险利率。备注3。在应用中，L通常是形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ且φ>0的幂函数，或形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|且φ，ψ>0的函数，其中ψ考虑了比例成本，如买卖价差或印花税。特别是，初始Almgren-Chriss框架对应于L（ρ）=ηρ（φ=1，ψ=0）。在时间T，我们考虑实物结算或现金结算。让我们来考虑实际解决的情况。如果行使期权，则银行收到KN，并需要交付N sh ares。由于套期保值组合包含qTsharesat time T，银行必须购买N- 我们希望股票能够交付。因此，如果行使期权，则银行的支付为：XT+KN-（N）- ST）qT- L（qT，N）=XT+qTST+N（K- （圣）- L（qT，N），其中L（q，q′）对从一个有q股的投资组合到一个有q′股的投资组合的额外成本进行建模，该成本高于按市值计价（MtM）价格。在未行使期权的情况下，支付金额为XT+qTST- L（qT，0），因为交易者需要清算投资组合。术语L（qT，0）是清算剩余的s兔所产生的折扣。如果我们假设当且仅当股票价格高于K时行使期权，那么实物结算的总支付为：XT+qTST- N（圣- （K）+- 第一≥吉隆坡（qT，N）- 第1次<KL（qT，0）。在现金结算的情况下，唯一的区别是行使期权的时间。

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mingdashike22

2022-5-5 05:09:17

在这种情况下，银行支付N（圣-K）并清算其投资组合（通常持有大量股票）。清算将为银行带来以下收益：XT+qTST- N（圣-（K）+- L（qT，0）。一般来说，对于现金结算和实物结算，支付方式为formXT+qTST- π（qT，ST），其中∏（q，S）≥ N（S）- K） +。优化我们考虑的随机最优控制问题是：supv∈AE[-经验(-γ（XT+qTST）- π（qT，ST））]，其中γ是银行的绝对风险规避参数。备注4。惩罚函数L需要具体说明。当没有永久性的市场影响时，自然选择是L（q，q′）=l（| q）-q′|）在哪里l 是一个增凸函数。一名候选人l 是大宗交易的风险流动性溢价，如[16]所示。另一个候选因素是与某个固定参与率ρ（例如ρm）下的清算相关的风险流动性溢价：l（q） =^T′TL（ρ）Vtdt+γ∑T′Tqtdt=L（ρ）ρq |+γ∑T′T |q |- ρ^tTVsds！dt，其中T′是第一次，使得`T′TρVtdt=|q |。在市场上，低流动性的罢工可能比低流动性的罢工要少。当考虑到永久市场影响时，L必须有一个特定的形式，以避免动态波动（见第4节）。2.2价值函数和HJB方程为了解决上述随机最优控制问题，我们定义价值函数u:u（t，x，q，S）=supv∈阿泰-经验-γXt，x，vT+qt，q，vTSt，S，vT-π（qt，q，vT，St，St）i、其中：At:={v∈ P（t，t），|vs|≤ ρmVs，a.e.in（t，t）×Ohm},式中：Xt，x，vt′=x+t′trXt，x，vs- vsSt，S，vs- VsLVSVdsqt，q，vt′=q+^t′tvsdst，S，vt′=S+u（t′）- t） +t′tσdWs+k（qt，q，vt′）- q）。与该问题相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程如下：-屠- u苏-σ苏- sup | v|≤ρmVt五、曲+rx- vS- LvVt及物动词xu+kv苏= 0，终端条件为：u（T，x，q，S）=-经验(-γ（x+qS）- π（q，S）））。备注5。

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kedemingshi

2022-5-5 05:09:21

在实际沉降的情况下，这种终端条件不是连续的。3解决方案的特征我们首先考虑没有永久市场影响的情况（k=0）。在这种情况下，我们考虑形式为L（q，q′）的函数L=l（|q′）-q |），在哪里l 是一个凸且偶数的函数，在R+上增加（如备注4所示）。下面的引理说明我们可以算出currentportfolio的复合MtM值（我们省略上标以提高可读性）：引理1。XT+qTST=er（T-t）（x+qS）+er（t）-t） ^Tte-r（s）-t） qs（u）- rSs）ds+^Tte-r（s）-t） qsσdWs-^Tte-r（s）-t） VsLVSVds！。这个引理表明值函数u（t，x，q，s）的形式是：u（t，x，q，s）=-经验-γer（T-t）（x+qS）infv∈AtJt（q、S、v）。式中jt:R×R×At→ R（q，S，v）7→ Jt（q，S，v）定义为Jt（q，S，v）=E“exp-γer（T-t） ^Tte-r（s）-t） qs（u）- rSs）ds+^Tte-r（s）-t） qsσdWs-^Tte-r（s）-t） VsLVSVds！- #。我们还定义了θ（t，q，S）=infv∈吃了-r（T）-t） γ测井（Jt（q，S，v））。以下命题说明θ定义良好，并给出θ的下界：位置1。（t，q，S）∈ [0，T]×R×R，θ（T，q，S）是有限的。此外，如果u=r=0，那么：θ（t，q，S）≥ N E[（圣约翰）- K） +]。函数θ有一个自然的解释。让我们考虑一下银行和客户之间的看涨期权交易，其中在时间0时：o银行通过实物或现金结算写入看涨期权，客户支付价格P，并且o客户向银行提供qshares，并从银行收到qSin现金。在效用方面，银行为该交易提供了以下价值（0，X- qS+P，q，S）=-经验-γerT（X+P）- θ（0，q，S））.因此，如果P=θ（0，q，S），如果我们假设现金以r的利率投资，那么银行就不愿意做交易或不做交易。

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能者818

2022-5-5 05:09:23

因此，θ（0，q，S）是看涨期权交易的不同价格。看涨期权价格的定义取决于q：投资组合中股票的初始数量。这呼应了这样一个事实，即在实践中，构建初始对于名义价值较大的期权，头寸（如经典模型中计算的）通常是昂贵的。对θ的这种解释也使我们能够以不同的方式看到命题1的不等式。当u=r=0时，我们设置的价格总是高于没有执行成本时的价格（Bacelier型号）。我们现在关注的是函数θ，因为它是看涨期权的价格。我们的第一个结果θ表明它是q:proposition 2的凸函数。对于（t，S）∈ [0，T]×R，q∈ R7→ θ（t，q，S）是凸函数。备注6。我们不能期望S的结果相同，因为S的最终支付通常是不连续的（见实际交付案例）。θ的主要性质是以下偏微分方程特征：位置3。让我们介绍一下h（p）=sup |ρ|≤ρmpρ- L（ρ）。θ是下式的粘度解：-tθ+rθ+（u- rS）q- uSθ-σSSθ-γσer（T-（t）(Sθ- q） +VtH(qθ=0，终端条件θ（T，q，S）=经典意义上的∏（q，S）。θ满足的PDE是一个非线性方程，尤其是看涨期权的价格与名义价格不成正比。

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kedemingshi

2022-5-5 05:09:27

为了从一个等于N的名义值变为一个等于1的名义值，我们引入了由以下公式定义的函数θ：θ（t，q，S）=Nθ（t，Nq，S）。那么，θ满足粘度传感器中的以下方程：-t~θ+r~θ+（u- rS）~q- uS~θ-σSS~θ-γNσer（T-（t）(S~θ- ~q）+VtNH(~qθ=0，终端条件θ（T，~q，S）=N∏（Nq，S）。在Bachelier模型中，一个看涨期权的价格（当r=0时为一个单位名义价格）由以下公式给出：Eh圣，圣- K+i=（S）- K） Φs- Kσ√T- T+ σ√T- t~ns- Kσ√T- T,式中，φ和Φ分别为标准正态变量的概率密度函数和累积分布函数。换句话说，我们需要重新调整风险规避参数γ、市场交易量p过程（Vt）t和清算惩罚函数L，以便从名义N的调用变为名义1的调用。PDE中的每个术语tθ=rθ|{z}（I）+（u）- rS）q |{z}（二）-uSθ-σSSθ|{z}（Ⅲ）-γσer（T-（t）(Sθ- q） |{z}（IV）+VtH(qθ）|{z}（V）有一个特殊的解释：o术语（I）是与无风险利率r贴现相关的经典术语。o术语（II）对应于与持有股票而非现金相关的溢价。如果发现一个人持有q股，平均而言，MtM财富每单位时间增加uq，而相当于q股（即qS）的现金金额每单位时间增加MtM财富rqS术语（III）与股票价格的动态相关套期保值投资组合中的股票数量q和价格动态之间的相互依赖性通过（IV）实现，更准确地说是通过期限实现(Sθ- q）。

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可人4

2022-5-5 05:09:30

虽然没有在这个模型中，由于市场是不完整的，所以这个术语衡量期权价格的第一个衍生工具相对于标的资产的价格和Hedging投资组合中的股票数量之间的差异：因此，它看起来像是对错误对冲的衡量（V）是文献中关于最优执行的经典术语。它对执行成本和参与限制ρm进行了建模。特别是，t时刻的最佳参与率为ρ*（t，qt，St）=v*（t，qt，St）Vt=H′(qθ（t，qt，St））。备注7。如果我们用rS替换u，用σS替换σ，那么（I）、（II）和（III）项与Black-Scholes偏微分方程中的项完全相同。此外，由θ满足的偏微分方程（令人惊讶地）不是从控制问题中推导出来的，因为（pq，pS）7→ -γσer（T-t）（pS）- q） +VtH（pq）既不凸也不凹。事实上，它源于一个零和游戏（见[4]的附录），在这个游戏中，第一个玩家控制q到hdqt=vtdt，玩家2控制pr icedSt=（u+αt）dt+σdWt的漂移。与上述等式相关的零和博弈的回报是：E“^Ter（T-t） Lvt及物动词-E-r（T）-t） 2γσ（αt+γer（t-t） σqt）-γer（T-t） σqt+（rSt）- u）qt！dt+π（qT，ST）#，其中玩家1最小化，玩家2最大化。4.永久性市场影响的问题我们现在转向永久性市场影响的情况。在Gatherel关于无动态套利的永久市场影响的论文框架[14]中，我们认为u=r=0，并使用第2节中介绍的永久市场影响的线性形式。我们将证明，在变量发生变化之前，从数学角度来看，问题与永久性市场影响的情况相同。为了避免动态套利，我们必须指定L。

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何人来此

2022-5-5 05:09:33

在时间T，如果一个人想要从持有q股的投资组合变成持有q股的投资组合，他必须支付与交易量相关的流动性成本。这是由l（q′）-q），与前一个案例一样，没有永久性的市场影响。然而，我们也必须考虑到长期的市场影响。从时间T为q股的投资组合到时间T为q′的投资组合所支付的金额是（平均而言，忽略暂时的市场影响）：E“^T′TdqtStST#=（q′）- q） ST+T′Tk（q′）- qt）dqt=（q′）- q） ST+k（q′）-q）。因此，我们将L定义为：L（q，q′）=l（|q′）- q |）+k（q′）- q）。现在让我们来讨论变量的变化。在上一节中，我们展示了在没有永久市场影响的情况下，u（t，x，q，S）可以写成：u（t，x，q，S）=-经验(-γ（x+qS）- θ（t，q，S）））。使用与第3节相同的方法，我们证明，在具有永久市场影响的情况下，u可以写成：u（t，x，q，S）=-经验-γx+qS-kq+kq- θ（t，q，S）- k（q）- q） ).换句话说，我们引入了函数：θ（t，q，~S）=x+q（~S+k（q）- q） )-kq+kq+γ测井-u（t，x，q，~S+k（q- q） ).与前一种情况一样，θ（0，q，S）是在交易开始时，以现金交换qshares和qshares时的买入价格。备注8。新变量St=St- k（qt）- q）是我们在永久市场影响范围内消除的价格。现在，使用与第3节相同的技术，我们提出以下建议：建议4。假设u=r=0。那么，θ是下式的粘度解：-tθ-σ~S~Sθ-γσ(~Sθ- q） +VtH(qθ=0，终端条件θ（T，q，~S）=∏（q，~S+k（q- q） )-kq+kq引入永久性市场影响只会改变产品的终端条件。

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可人4

2022-5-5 05:09:36

在现金结算的情况下，终端条件是：θ（T，q，＠S）=N（＠S+k（q- q）- K） ++l（q） +kq。在物理沉降的情况下，终端条件为：θ（T，q，~S）=N（~S+k（q- q）- K） ++1S+K（q）-q）≥Kl（N）- q） +kN（N）- 第2季度）+ 1~S+k（q）-q） <Kl（q） +kq。5数值方法我们现在提供两种数值方法来近似解决我们的套期保值和定价问题。5.1 PDEProposition 3和Proposition 4的数值方法表明，套期保值和定价问题归结为求解维度3中的偏微分方程。考虑到通话的名义金额，PDE为：t~θ=r~θ+（u- rS）~q- uS~θ-σSS)θ|{z}（A）-γNσer（T-（t）(S~θ- ~q）{z}（B）+VtNH(~qθ）|{z}（C），最终条件取决于结算的性质以及我们是否考虑永久市场影响（如果考虑了永久市场影响，则我们考虑u=r=0）。为了用与我们的问题相对应的终端条件近似该偏微分方程的解，我们首先将方程分为三部分，以考虑基于算子分裂的数值格式。对于（A），我们考虑隐式有限差分方案。我们总是从平滑终端条件的这一步开始，因为在时间T有一个奇点。对于（B），我们使用单调显式格式a la Godunov，除了边界（见下文）。对于（C），我们使用半拉格朗日方法，因为它直接提供最优控制（有关HJB方程的经典数值方法的更多详细信息，请参见[13]）。关于边界条件，我们可以使用足够大的网格来搜索域内的最优值。然而，就S的有限差异而言，情况并非如此（这与θ描述零和博弈的事实有关）。

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mingdashike22

2022-5-5 05:09:39

因此，我们需要为S的最小值和最大值指定边界条件（假定Sminis远低于走向K，Smaxis远大于K）。因为θ是看涨期权的价格，自然条件是SSθ=0在Smand Smax处。然而，这个条件导致了一个全局非单调方案（参见Crandall和Lions关于mon-otone方案的开创性论文[24]）。在实践中，该方案提供了良好的效果（见下文）。然而，由于它需要设置与潜在金融问题不完全一致的边界条件，我们还开发了另一种方法。5.2基于树的方法上述数值方法基于有限差分格式，因此需要特别设置边界条件。避免设置边界条件的方法是使用基于树的方法。其基本思想是将问题离散化，对我们来说，变量的变化与连续模型中的相同，以获得近似θ的方法。我们考虑细分t=0，tj=jTtJ=Jt=t。我们还考虑了由以下等式定义的序列（Xj）j，（qj）j，（Sj）jd:oSj+1=Sj+ut+σ√tj+1，其中j是i.i.d.，E[j]=0，V[j]=1，oqj+1=qj+vjt、 oXj+1=ertXj- vjSjT- LvjVj+1Vj+1t、我们的目标是最大化{（vj）0≤j<j，|vj |≤ ρmVj+1}，以下表达式：E[-经验(-γ（XJ+qJSJ）- /（qJ，SJ））]。为此，我们引入了值函数：uj（x，q，S）=E[-经验(-γ（XJ+qJSJ）- |Xj=x，qJ=q，SJ=S]。与该问题相关的贝尔曼方程为：J∈ {0, . . .

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何人来此

2022-5-5 05:09:42

J- 1} ，uj（x，q，S）=sup | v|≤ρmVj+1E“uj+1（er德克萨斯州- vST- LvVj+1！Vj+1t、 q+vt、 S+ut+σ√tj+1）#，anduJ（x，q，S）=-经验(-γ（x+qS）- π（q，S）））。如果我们写uj（x，q，S）=-经验-γer（J）-j）t（x+qS）- θj（q，S））, 然后Bellman方程变成：θj（q，S）=e-r（J）-j）tγinf|v|≤ρmVj+1log E“expγer（J-（j+1））tqS（er）T- 1） +LvVj+1！Vj+1T-（q+v）t）（u）t+σ√t）+θj+1（q+v）t、 S+ut+σ√t），0≤ j<j，θj（q，S）=∏（q，S）。现在我们考虑一个对应于的三项式树=α与概率2α0与概率1-α-α的概率为2α，其中α>1。树的每个节点代表一对（j，Sj），其中Sj∈ {S+ujt+σ√tpα，-J≤ P≤ j} ，树自然重组，因为漂移是恒定的，噪声是对称的。在给定节点（j，Sj），我们使用上述递归方程计算特定网格（u=r=0时的自然边界为qmin=0，对于看涨期权，qmax=N）上q的θj（q，Sj）值。特别是，如果假定市场容量为常数（等于V），则步骤q中网格的q应该是ρmV的倍数q、递归地，通过反向归纳，我们在节点（0，S）处结束，对任何q调用的价格。此外，我们在每个节点处得到作为q函数的最优策略。这种方法比第一种方法更可取，因为S中的边界没有问题。然而，与所有树方法一样，它忽略了在短时间内发生重要价格变动的风险。6数值例子和与Bachelier模型的比较6。1没有永久市场影响的例子为了举例说明我们模型的使用和我们数值方法的有效性，我们考虑了以下没有永久市场影响的参考情景。

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大多数88

2022-5-5 05:09:45

该参考情景对应于股票总SA（CCC 40指数最重要的组成部分）的四舍五入值：oS=45欧元，oσ=0.6欧元·天-1/2–它对应的年度波动率约为21%，oT=63天，oV=4000股·天-1，oN=20000万股，oL（ρ）=η|ρ| 1+φ，η=0.1欧元·股-1·天-1，φ=0.75。对于我们的参考案例，我们考虑u=r=0。我们对风险规避参数的选择是γ=2·10-7EUR-1.我们考虑行使K=45的看涨期权（货币看涨期权）。在示例中，我们考虑α=√2.此外，我们考虑（默认情况下）ρm=500%的情况，因此在实践中，参与率不受限制。对于最终成本，我们使用马克4中给出的形式，参与率等于ρm。图6.2给出了q=0.5N（初始学士学位）时的结果 ) 对于图6.1所示的股票价格轨迹的物理交付（与每天四级节点的树结构兼容）。该轨迹对应于时间T时的选项执行。在ST<K的情况下也可以得到类似的结果。我们使用上述两种数值方法来说明最佳策略，并绘制出Bachelier 作为基准。图6.2显示，就最优策略而言，有限差分模式和基于树的方法提供了几乎相同的结果。此外，该最优策略不同于阿巴切利尔模型中的套期保值策略。与文献中的其他论文不同，我们模型中的最优策略不会围绕着单身汉摇摆相反，他是保守派。

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nandehutu2022

2022-5-5 05:09:49

我们的策略是平稳的，因为由于执行成本，交易员避免购买太多股票，以避免事后出售。0 10 20 30 40 50 6035 40 45 50 55时间价格罢工图6.1：股价轨迹。0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0次/NTreePDEBachelier三角洲图6.2：基于树的方法和有限差异方案（PDE）的结果。就价格而言，PDE方法和基于树的方法得出的结果非常接近（表6.1）。然而，在我们的方法中，单身汉的价格和价格之间的差异是显著的。模型/方法基于Bachelier树的方法PDE方法价格1.900 2.060 2.067表6.1：两种数值方法的看涨期权价格。6.2参数的影响我们现在说明了我们的方法和单身模式之间差异的主要驱动因素。首先是执行成本，因为模型中存在执行成本，所以我们说明η的OLER。我们考虑前一种情况，即物理交付，但η∈ {0.01, 0.05, 0.1, 0.2}.使用基于树的方法获得的结果如图6.3所示。我们将价格除以N，得到有意义的数据。图6.3：不同η值的最佳策略（基于树的方法）。执行成本的影响是显而易见的：执行成本越高，最优策略就越顺畅。交易者希望避免由于执行成本而在其投资组合中发生代价高昂的不稳定变化。此外，当执行成本增加时，最优投资组合接近0.5N。

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何人来此

2022-5-5 05:09:52

这和上面的想法是一样的：因为交易者不知道他或她最终需要交付N股还是0股，所以他或她希望避免往返。因此，当标的资产的流动性降低时，交易者保持在接近0.5N的水平。如表6.2所示，看涨期权的价格随着η的增加而增加。η0.20.1 0.05 0.01 0（学士）看涨期权价格2.144 2.060 2.007 1.943 1.900表6.2：不同流动性水平的看涨期权价格（基于树的方法）。初始头寸与流动性相关的另一个参数是q。为了了解初始股数的作用，我们在图6.4中展示了q=0和q=0.5N的最佳策略。为了更加现实，我们在图6中添加了参与约束ρm=50%。5.0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/2.0.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1.0次/1（基于树的方法）。表6.3给出了相关价格。p参数值q=0 q=0，ρm=50%q=0.5N q=0.5N，ρm=50%看涨期权价格2.182 2.653 2.060 2.100表6.3：初始投资组合不同值和不同参与约束条件下的看涨期权价格（基于树的方法）。表6.3显示，当q=0和当Qn=0.5时，认购期权的价格之间存在显著差异，尤其是当施加参与约束时。这种差异的原因是建立与期权相关风险一致的头寸的成本。这在图6.4和6.5中可以清楚地看到。几天后，这两个投资组合几乎相同。

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nandehutu2022

2022-5-5 05:09:55

然而，交易者会在最初几天购买股票，以获得一个与他或她在开始交易时可能拥有的投资组合接近的投资组合在单身汉模式中。价格风险和风险规避处理期权时的主要参数之一是波动性。这里，参数σ的影响是显而易见的。股票的波动性越大，对单身汉越不利对冲策略是有效的。此外，看涨期权的价格是σ的递增函数。当涉及到风险时，有趣的不是σ，而是风险规避参数γ，因为有两种不同性质的风险：o第一种风险与合同的可选维度有关：交易者必须交付N股或无股。对这种风险的厌恶会鼓励交易者选择q=0.5N的中性投资组合第二个风险与股票的买卖价格有关：交易员知道，在时间T时，他或她的投资组合将由0股或N股组成，取决于ST，而交易员为买卖股票支付的价格是随机的。规避价格风险鼓励交易者拥有与价格方向相同的投资组合，就像Bachelier模型一样。图6.6和6.7中考虑了几个γ值，以了解这两种影响。图6.6显示，对于较小的γ值，第二种影响占主导地位。当γ真的很小时，交易方对套期保值并不感兴趣，他或她只是想最小化股票的转让成本（如果行使了期权）。因此，套期保值策略适用于非常小的γ值。随着γ的增加，对冲策略越来越多地跟随价格的变化，就像单身汉一样: 这是第二个风险。现在，为了看到效果，我们需要考虑γ的高值。

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kedemingshi

2022-5-5 05:09:59

图6.7显示，当γ增加到一定阈值以上时，套期保值策略变得越来越保守，“接近”0。5N：交易者不想买太多，因为他或她害怕事后被迫卖出。0 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0次/Ngamma=2e-7gamma=5e-8gamma=2e-8gamma=1e-8图6.6：小γ值的最优投资组合（基于树的方法）。0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0时间/Ngamma=2e-7gamma=1e-6gamma=2e-6gamma=5e-6图6.7：大γ值的最优投资组合（基于树的方法）。然而，就价格而言，其影响是明确的。表6.4显示，交易者越厌恶风险，他或她收取的风险就越高。γ 1 · 10-82 · 10-85 · 10-82 · 10-71 · 10-62 · 10-65 · 10-6看涨期权价格1.955 1.968 1.994 2.060 2.207 2.308 2.521表6.4：不同γ值的看涨期权价格（基于树的方法）。漂移和利率我们已经讨论了主要参数的作用。为了完成这一节的比较静力学，我们将重点介绍r和u各自的作用。在经典的单身汉（或Black-S choles）环境中，底层资产没有漂移的空间，因为支付可以重复。在这里，情况有所不同。实际上，除了套期保值问题之外，还有一个投资组合管理问题，在这个问题中，交易方必须在现金和股票之间选择最佳的重新分配。图6.8（其中u=0）显示，r从0%增加到5%会导致两种影响。与经典理论一样，利率的提高会导致套期保值投资组合中的份额增加。这是我们观察到的，除了在期末。第二个效应是投资组合管理效应，解释了近时间T的行为。

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nandehutu2022

2022-5-5 05:10:02

由于现金头寸与股票的多头头寸相比是有利的（r=5%），与r=0.0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Timeq/Nr=0.05r=0图6.8：不同r值的最优投资组合（基于树的方法）。就u而言，同样的投资组合管理效应也在发挥作用。当μ增加时，持有股份更具代表性，套期保值投资组合包含更多股份（见图6.9）。0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Timeq/Nmu=0.05mu=0图6.9：不同u值的最佳投资组合（基于树的方法）。6.3实物结算和现金结算之间的差异我们的模型与文献中的大多数模型之间的重要差异是：区分实物结算和现金结算。为了说明这一点，我们再次使用参考场景，但参与约束ρm=50%。图6.10显示，当名义值较大时，两种类型的定居点之间存在重大差异。在这两种情况下，当标的资产价格上升（下降）以对冲头寸时，最佳策略包括买入（卖出）。因此，当价格仍然远高于t的K接近t时，对冲组合包含大量股票。在实物交割的情况下，这是确定的，因为如果价格保持在K以上，交易者必须在到期时交割n股。然而，在现金结算的情况下，交易者需要交割现金。图6.10显示，为了获得现金（以及流动头寸），交易者在接近到期时逐步出售其股票（考虑到我们考虑的最终成本函数，交易者在时间T后继续以等于50%的参与率向市场出售）。

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kedemingshi

2022-5-5 05:10:05

为了解释离到期日很远的地方会发生什么，我们依赖于第二种更微妙的影响。因为如果S较高，投资组合包含大量即将到期的股票，所以实际收益不仅取决于S，还取决于S-K） +但也通过l（q）因此，如果应用经典推理，套期保值策略包括在价格上涨时购买更多的衍生股票。这是我们在图6.10中观察到的两种策略之间差异的原因，除了近期的T.0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0次/NCash结算物理结算图6.10：物理结算和现金结算之间的差异（基于树的结算方法）。表6.5显示，现金结算比实物结算更昂贵。根本原因是期权到期时的最终清算成本。现金结算ρm=50%实物结算ρm=50%看涨期权价格2.401 2.100表6.5：现金交付和实物交付的看涨期权价格（基于树的方法）。6.4与Bacelier模型的比较命题1认为，当u=r=k=0时，Bacelier模型中的价格低于我们模型中的价格。这是很自然的，因为我们的模型包含了与流动性相关的额外成本。因此，重要的一点是理解当一个人使用Bacelier模型时，在实践中会发生什么，并且在重新平衡该模型时必须支付执行成本-Hedging投资组合（在离散时间点）。

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kedemingshi

2022-5-5 05:10:08

这种情况突出了低错误对冲（当-套期保值是在高频率和低执行成本（当-对冲是在低频率下进行的）。这个公式在Bachelier模型中（r=0时）为：Bt=P[ST≥ K | St]=Φ圣- Kσ√T- T为了在我们的模型和Bachelier模型之间进行公平的比较，我们考虑了 -对冲过程。设t=0，ti=iδt，tM=Mδt是[0，t]的细分。如果当时是十分之一单身汉模式的一个特点是Bti，那么我们假设（即。，Bti-Bti-1）在[ti，ti+1]期间使用完美的TWAP算法执行。换句话说，执行的速度是：vt=v（0）：=qt- qδt=B- 如果t<tv（i）：=qti+1，qδt=0- qtiδt=Bti- Bti-t的1δt∈ [ti，ti+1），1≤ i<M.在每个时间间隔[ti，ti+1）交易者获得的价格（不包括执行成本）是这段时间内的TWAP:TWAPi，i+1=δt^ti+1istdt。布朗桥的一个经典结果导致TWAPi，i+1 |{Sti，Sti+1}是高斯的：E[TWAPi，i+1|Sti Sti，Sti+1]=Sti+1和V[TWAPi，i+1 | Sti Sti，Sti 1]=现在可以计算执行成本vtVV dt=M-1Xi=0^ti+1tiLvtVV dt=VδtM-1Xi=1Lv（i）v对于终端条件，我们考虑了物理沉降的情况，以及参考场景中带有ρmof值的备注4的终端条件。为了在使用Bachelier模型时获得关于PnL的统计信息，我们考虑了一种具有10000次绘制的蒙特卡罗算法。我们在时间网格（ti）i上绘制价格的每条轨迹（Sti）。这些轨迹是使用标准偏差参数σ的高斯增量绘制的√δt。然后，我们为Twap绘制值，并计算与样本轨迹（Sti）i的策略相关联的样本Pn。

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可人4

2022-5-5 05:10:11

NL的均值和方差（事实上-PnL）图6.11和6.12给出了M的几个值（投资组合再平衡的数量）。为了将Bachelier模型的结果与我们模型的结果进行比较，我们对253个时间点（每天四个时间点）使用了相同的蒙特卡罗程序，但每个时期要买卖的野兔数量[ti，ti+1]是使用PDE方法来近似θ的。我们假设q=B.50 100 150 200 2501.9 2.0 2.1 2.2.3 2.4 2.5再平衡的数量意味着最佳战略图6.11：再平衡战略的平均成本。50 100 150 200 2500.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5再平衡差异数量最优策略图6.12：对冲策略成本的差异。正如预期的那样，图6.11显示-套期保值随着再平衡的频率而增加。当使用我们的模型时，平均成本水平与M=40再平衡对应。然而，与由M=40次与单身汉重新平衡组成的策略相比，我们策略的差异非常小. 事实上，对于再平衡次数的任何值，与我们的策略相关联的PnL方差小于与Bachelier策略相关联的PnL方差。就-套期保值，对于较小的M值，方差确实随M减小，但达到最小值（大于我们策略的方差），然后由于执行成本的存在而增大，这会产生方差。6.5具有永久市场影响的数值示例到目前为止，我们只考虑了不存在永久市场影响的情况。AsProposition 4认为，增加永久性的市场影响只会改变PDE的最终状况。当nk=3·10时，我们使用现场差异方案来解决参考案例的偏微分方程-7.

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mingdashike22

2022-5-5 05:10:15

最佳策略如图6.13所示，受影响的价格如图6.14所示。0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0时间/Nk=3e-7k=0图6.13：有无永久性市场影响的最佳策略。考虑到长期市场的影响，当价格上涨时，买入速度更快，当价格下跌时，卖出速度更快。事实上，有几个因素在起作用第一个影响是机械性的：当非衍生资产的价格上升时，基础资产中的头寸上升，并推动基础资产的价格。相反，当标的资产价格下跌时，标的资产的头寸也会下跌，从而推动标的资产价格下跌第二个影响是战略性的：交易者是规避风险的，他或她更喜欢知道他或她是否必须在时间T清算。因此，当交易者的仓位高于某个阈值，且价格远高于罢工时，他或她可以买入以推高价格，以降低不确定性水平此外，由于长期市场的影响，交易者可能会试图抛售股票以压低价格，从而使期权到期时一文不值。在图6.13中，我们没有观察到这种影响（在我们的实验中，当价格接近罢工时有时会发生）。0 10 20 30 50 6035 40 45 50 55时间价格影响价格未影响价格罢工图6.14：策略对标的资产价格的影响。就价格而言，我们得到了表6.6中给出的结果。

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大多数88

2022-5-5 05:10:18

该表显示，由于购买股票的价格较高，而出售股票的价格较低，差异很大。k=0 k=3·10-7看涨期权价格2.067 2.689表6.6：有无永久市场影响的看涨期权价格（PDE法）。结论在本文中，我们提出了一个新的模型，用于在标的资产不流动或期权的名义价值太大而不能忽略执行成本的情况下对期权进行定价和套期保值。我们证明了在考虑执行成本的情况下，看涨期权的价格是一个三变量非线性偏微分方程的解，可以用各种数值方法求解。与经典模型的比较表明了我们的方法的相关性。虽然我们的论文关注的是看涨期权的情况，但它可以推广到其他期权，无论到期时是否实物交割。例如，[15]使用了一个类似的框架来处理ricean加速股份回购合同——一个执行合同，可以被视为带有亚洲支付的aBermudan期权。附录：引理1的证明：通过定义，d（e-rtXt）=e-rt-vtStdt- VtLvtdt.因此，e-rTXT- E-rtx=^Tte-rs-VSSSD- VsLVSVds= E-RTQ- E-rTqTST+^Ttqse-rs(-rSsds+uds+σdWs）-^Tte-rsVsLVSV在ds中，我们使用了一种部件集成。重新组织这些术语的结果是：XT+qTST=er（T-t）（x+qS）+er（t）-t） ^Tte-r（s）-t） qs（u）- rSs）ds+^Tte-r（s）-t） qsσdWs-^Tte-r（s）-t） VsLVSVds！。命题1的证明：我们定义（t，q，S，v）=^Tte-r（s）-t） qs（u）- rSs）ds+^Tte-r（s）-t） qsσdWs-^Tte-r（s）-t） VsLVSVds- E-r（T）-t） π（qT，ST）和w（t，q，S）=infv∈AtJt（q，S，v）=infv∈阿泰哈克斯-γer（T-t） I（t，q，S，v）i、很容易验证i（t，q，S，0）在R上定义了拉普拉斯变换。

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何人来此

2022-5-5 05:10:21

因此，w（t，q，S）≤ 进出口-γer（T-t） I（t，q，S，0）我+∞.这证明了θ是有界的。关于另一个不等式，詹森不等式给出：w（t，q，s）≥ infv∈Atexp-γer（T-t） E[I（t，q，S，v）]≥ 经验-γer（T-t） E“^Tte-r（s）-t） qs（u）- rSs）ds- E-r（T）-t） N（圣- K） +#！因为q是有界的，而且SSI是所有s的高斯随机变量，w（t，q，s）>-∞.因此，θ也从下方有界。如果u=r=0，那么θ（t，q，S）=γ对数（w（t，q，S））≥ N E[（圣约翰）- K） +]。命题2的证明：我们首先证明I是（v，q）的凹函数。给定t∈ [0，T]和S∈ R、函数（q，v）7→^Tte-r（s）-t） qt，q，vs（u）- rSs）ds=^Tte-r（s）-（t）q+^stvudu(u - rSs）dsand（q，v）7→^Tte-r（s）-t） qt，q，vsσdWs=^Tte-r（s）-（t）q+^stvuduσd是线性的，因此是凹的。因为L是凸的，所以下面的函数是凹的：（q，v）7→ -^Tte-r（s）-t） VsLVSVds。因为∏（qT，ST）是qT=q+`Ttvsds，（q，v）7的凸函数→ I（t，q，S，v）是凹函数（四个凹函数之和）。接下来，我们需要一个引理（这是霍尔德不等式的结果）：引理2。设X和Y为两个随机变量。让λ∈ [0, 1].

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