精确矩匹配的篮子期权定价与套期保值

2022-5-5 07:23:52

定价和对冲篮子期权，精确时刻匹配帕莱塔，*, Arturo Leccaditob，英国坎特伯雷CT2 7PE公园伍德路肯特大学拉杜·图纳鲁阿商学院，英国经济研究所，金融统计所，卡拉布里亚大学，布奇库博桥3C，伦德（CS），87030，它认为用于期权定价的抽象理论模型应考虑基础金融时间序列的经验特征。在本文中，我们展示了当资产遵循转移对数正态过程，且跳跃能够适应负偏度时，如何对篮子期权进行定价。我们的技术基于埃尔米特多项式展开，它可以精确匹配模型隐含概率分布的前m个矩。该方法不仅在定价方面，而且在套期保值方面，为一揽子期权提供了优越的结果。关键词：篮子期权，转移对数正态跳跃过程，埃尔米特多项式，负偏态，期权定价和hedgingJEL:C18，C63，G13，G19在线提交：2013年12月17日*通讯作者：URL:t。paletta@kent.ac.uk（托马索·帕莱塔）1。简介篮子期权是对一组资产的或有权益，如股票、商品、货币甚至其他普通衍生品。价差期权可以被概念化为篮子期权，其收益取决于两种资产的价格差异。篮子期权是异国情调期权的一个子类，通常在场外交易，以对冲相关风险或传染风险。对冲基金也将其用于投资目的，将多元化与杠杆化结合起来。

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2022-5-5 07:23:56

差价期权在大宗商品市场上大量交易，尤其是在能源市场上，在能源市场上，几种最终产品由同一种原材料工业生产。从建模的角度来看，该框架应该是多层面的，因为15到30项资产的篮子经常被交易。许多PricingModel对于单个资产似乎运行良好，但无法轻松扩展为多维设置，这主要是由于计算困难。因此，为了避免这些困难，实践者求助于经典的多维几何布朗运动类型模型，该模型易于实现。然而，通过这样做，篮子中资产的经验特征被完全忽略了。特别是，负偏度，众所周知是股票的特征，不能被这些简单的模型正确地捕捉到，这些模型可以产生有限的偏度值范围。最近，Borovkova和Permana（2007年）以及Borovkova等人（2007年、2012年）提出了一种新的方法，通过将整个篮子视为一项单一资产，在改变对数正态分布的情况下，该方法可以结合负偏斜度，同时仍然保持分析的可处理性。这个强大的假设允许推导出期权定价的封闭式公式。理想情况下，人们希望两者兼得，即逼真的建模和精确的计算。本文提出了一种多维模型的通用计算方法，该方法缺乏封闭形式的公式，或者需要繁琐的数值计算程序。带有跳跃的移位对数正态过程举例说明了pricingbasket选项遇到的问题。一方面，这种分布对于跟踪一种资产的动态非常有用，但另一方面，将这种设置扩展到一系列资产会导致严重的计算问题。

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2022-5-5 07:23:59

我们通过使用与模型隐含概率分布的第一个m阶矩完全匹配的埃尔米特多项式展开来避免这个问题。因此，我们的方法的唯一前提是能够以封闭形式计算篮子的动量。此外，同样的技术也适用于其他模型的任何其他类似建模情况。此外，我们的方法适用于篮子中的一些资产遵循一种差异模型，而其他资产遵循不同的差异模型的情况。本文的结构如下。在第2节中，我们简要回顾了篮子期权和差价期权的定价方法，重点介绍了近似技术。第3节描述了我们在这里使用的连续时间模型。第4节讨论了我们的新方法，第5节给出了实证结果。最后一节结束。2.相关文献在过去三十年中，涉及篮子期权，尤其是展销期权的论文数量大幅增加。Margrabe（1978）是第一个为欧洲价差期权开发精确公式的人，假设这两种资产遵循几何布朗运动。Carmona和Durrleman（2003）对差价期权的定价方法进行了广泛的文献综述，并介绍了一种新方法。根据各种展开式和矩匹配技术，篮子期权定价方法可分为分析类、纯数值类和混合半分析类。我们的方法属于最后一类。与早期关于亚洲期权定价的论文类似，斯威特（1993）提出了一篮子期权的定价方法，即用几何平均值近似算术加权平均值，从而可以应用Black-Scholes公式。

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2022-5-5 07:24:02

Korn和Zeytun（2013）利用这样一个事实改进了这种近似，即如果篮子中资产的现货价格被一个大的标量常数C移动，那么它们的算术和几何平均值渐近收敛。他们考虑对数正态分布资产，并用标准对数正态分布近似C移位分布。Kirk（1995）开发了一种定价差价期权的技术，方法是将具有负权重的资产与履约价格耦合，将其组合视为一种具有偏移分布的资产，然后使用Margrabe（1978）公式交换两种资产。这种转移假设对应于练习范围y的线性近似。Li等人的方法。在那篇论文中，假设篮子中的所有资产都有正权重。行使边界是第一项资产的最低标准原木价格，使货币中的差价期权成为标准原木价格的函数（2008年）可以被视为Kirk（1995年）的延伸。他们通过应用行使边界的二次泰勒展开式，导出了差价期权的封闭式定价公式。Li等人（2010年）进一步将这些结果推广到具有正权重和负权重的N资产的情况。Venkatramanan和Alexander（2011年）以及Alexander和Venkatramanan（2012年）使用复合交换期权组合（CEO）对价差期权和更一般的多资产期权（basketand ra inbow期权）进行定价。他们的想法是利用精确复制的投资组合，然后近似计算CEO的定价公式。值得注意的是，Venkatarmanan和Alexander（2011）使用Kim（1990）提出的早期行使溢价方法推导出了美式价差期权的分析公式。

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2022-5-5 07:24:05

Bjerksund和Stensland（2011年）还通过直接使用Kirk（1995年）的隐含行使边界对价差期权进行定价。当在特定模型下很难找到分析公式时，金融行业通常采用蒙特卡罗（MC）方法。Pellizzari（2001）和Korn and Zeytun（2013）描述了篮子期权定价的控制变量技术。Barraquand（1995）提出了一个非常通用的框架，通过蒙特卡罗模拟和二次重新抽样对多维或有索赔进行定价。Barraquand和Martineau（1995年）、Longstaff和Schwartz（2001年）以及Broadie和Glasserman（2004年）也成功地利用蒙特卡罗模拟对美式篮子期权进行了定价。虽然蒙特卡罗方法提供了一个可行的解决方案，但即使对于金融市场上常用的标准尺寸篮子，计算成本也可能过高。因此，关于篮子期权定价的大部分文献都围绕着近似方法展开，这些方法绕过了ba sket模型的高维性所产生的数值问题。一个典型的例子是Li（2000）的研究，他采用了四参数偏态广义t分布的Edgeworth展开。Jarrow和Rudd（1982年）以及Turnbull和Wa keman（1991年）首先提出了Edgeworth系列扩展，分别为欧洲篮子期权和算术亚洲期权定价。Rubinstein（1998）将Edgeworth展开和二叉树结合起来，为美式期权定价，并预先指定了偏度和峰度。这种方法有两个缺点。首先，考虑到一个二次资源，偏度和峰度的匹配是不精确的。对概率的估计是必要的。

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能者818

2022-5-5 07:24:08

其次，并非所有偏度和峰度的组合都可以匹配，因为可能会导致负概率和多模态分布。Levy（1992）通过将篮子的前两个矩与对数正态密度函数的矩相匹配来近似篮子的分布，因此可以采用Black-Scholes定价公式。其他工作改进了对数nor ma l近似，从而改进了偏度和峰度校准。Rubinstein（1981）引入的位移差将移位的篮子值视为对数正态分布。Borovkova et a l.（2007）提出了一种广义对数正态方法，该方法优于Rubinstein（1981）中的模型，因为它允许篮子的分布覆盖负值和负偏态。Zhou和Wang（2008）提出了一种类似于BP W的方法，即选择对数扩展斜正态分布作为近似分布。他们得到了Black-Scholes型定价公式，其中标准扩展斜正态累积分布函数取代了正态分布函数。Borovkova等人（2012年）将该方法扩展到通过一维二叉树为美式篮子期权定价。在一个有趣的应用中，Borovkova和Permana（2007）采用了inBP W中描述的方法来为亚洲篮子期权定价。Milevsky和Posner（1998）使用倒数伽马分布来近似相关对数正态随机变量的正加权和。匹配篮子的前两个时刻，他们通过Black-Scholes型公式对欧洲篮子期权进行定价，其中正态累积函数被伽马分布的累积分布函数取代。

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2022-5-5 07:24:11

只有当篮子具有衰减的相关结构（类似于亚式期权的相关结构）时，这种方法才能获得良好的结果。波斯纳和米列夫斯基（1998）利用约翰逊分布系统中的两个分布，得出了一个封闭形式的定价公式，这两个分布与篮子价值的前四个矩相匹配。Ju（2002）使用Taylor展开式计算了亚洲和篮子期权的价格，该展开式表示了到期时ba sket价值的特征函数与近似对数正态随机变量的特征函数之比。虽然关于pricingbasket期权的文献很多，但关于篮子期权套期保值参数计算的研究却很少。Hurd和Zhou（2010）对两种或两种以上资产的价差期权进行了定价，并使用快速Fourier变换推导了希腊参数。基础资产价格过程的唯一假设是，联合收益的特征函数在分析上是已知的。3.建模框架在本文中，我们考虑了一个新的资产价格过程：转移跳跃扩散过程。我们首先描述了第3.1节中的标准跳跃扩散模型，该模型为第3.2.3.1节中的移位跳跃扩散模型的设计提供了平台。跳跃扩散模型考虑过滤概率空间(Ohm, F，（英尺）0≤T≤T、 P）。

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何人来此

2022-5-5 07:24:14

让我们在这个空间上定义由Υ资产组成的金融市场，S（i）代表anyi=1，····，Υ，由比亚迪（i）t=（αi）驱动的动力学- βiλi）S（i）tdt+S（i）tnwXj=1γijdW（j）t+S（i）t-dQ（i）t，i=1，··，Υ（3.1）和银行账户DMT=rMtdt（3.2），可用于以连续复合利率r借贷和存款≥ 0，假定随时间变化为常数。方程（3.1）描述了一个跳跃扩散过程，其中αi是资产i的预期收益率，nW（j）tot≥0是相互独立的维纳过程，nQ（i）tot≥0是由一些基本泊松过程形成的独立复合泊松过程nn（i）tot≥强度为λi的0≥ 0和Y（i）j表示任何i=1、···、Υ的N（i）t的第j次跳跃的跳跃幅度。对于任何i=1，····，Υ的j umps Y（i）jj是具有概率密度函数f（i）（Y）的独立且相同分布的随机变量：R+→ [0,1]和物理测量下的预期值βi=E[Y（i）]=RR此外，不同资产的跳跃是独立的。应用跳转过程的标准Ito规则（见Shreve，2004年，第11.7.2章），可以导出（3.1）中SDE的封闭形式解决方案，本小节的内容和符号得益于（Shreve，2004年，第11.5章）。as:S（i）t=S（i）e（αi）-βiλi-γ=j，wj=1，pni=1。（3.3）由（3.1）和（3.2）给出的市场是无套利的，当且仅当存在θ=[θ，···，θnw]，β=[β，··，βΥ]和λ=[λ，····，λΥ]解r isk方程αi的市场价格系统- βiλi- r=nwXj=1γijθj-βiλi，i=1，···，Υ。（3.4）一般来说，（3.4）的解决方案不是唯一的。然而，我们假设选择了系统（3.4）的一种解决方案，并确定了定价措施。

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2022-5-5 07:24:17

在P-测度下，对于篮子中的资产i-th，我们仍然有复合泊松过程nq（i）tot≥0，基本泊松过程nn（i）tot≥0和跳跃Y（i）jb，现在是泊松过程的强度≥0isλi和βi=~E[Y（i）]=RRyf（i）（y）dy.对跳跃规模进行建模的一种方法是，对于每项资产，采用通常分布的跳跃iid log，使得E[log（y（i）j+1）]=ηiandgV ar[log（y（i）j+1）]=Γi.构成篮子的资产的风险中性P-动态可以描述为：dS（i）t=（r-βiλi）S（i）tdt+S（i）tnwXj=1γijdW（j）t+S（i）t-dQ（i）t，i=1，···，Υ（3.5），其中W（i）tot≥0是鞅测度P下的独立维纳过程。有大量文献致力于选择定价测度的问题。有关areview，请参见Frittelli（2000）和其中的参考文献。此后，E和▄E分别用于表示物理度量值P和风险中性度量值▄P下的期望运算符。当我们对Y（i）j+1施加对数正态分布时，我们隐含地假设（3.4）中的方程组有解。除此之外，任何其他分配f（i）（y）：R+→ [0，1]可能会被选择，如果它导致一个可行的系统。（3.5）的解可以用以下方便的封闭形式导出：S（i）t=S（i）e（r-~βi~λi-Pnwj=1γij）t+Pnwj=1γijW（j）tN（i）tYl=1（Y（i）l+1），i=1，··，Υ。(3.6)3.2. 从建模的角度来看，使用能够产生反映股票市场经验价值的负偏态的模型更合适。Borovkova等人（2007年）提出的广义GBM过程就是这样一个灵活的模型。

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2022-5-5 07:24:21

在这里，我们将该模型扩展到包含跳跃，从而获得置换或转移资产价值的跳跃扩散过程：dB（i）t- δ（i）t= （αi）- βiλi）B（i）t- δ（i）tdt+B（i）t- δ（i）tnwXj=1γijdW（j）t++B（i）t-- δ（i）tdQ（i）t，i=1，··，Υ。（3.7）在（3.7）中，δ（i）是应用于S（i）tat时间t和bi的位移∈ {-1, 1}. 当资产价格假定为(-∞, -δ（i）t）和正值当资产价格的范围f为δ（i）t时，∞). 假设位移δ（i）遵循等式dδ（i）t=rδ（i）tdt，其中δ（i）∈ R 因此，代表0时的现金状况。所有其他参数的含义与上述公式（3.1）相同，只是它们现在指的是资产价格的变动。方程（3.7）的解，在风险中性定价测度P下，在以下命题中明确。提议3.1。考虑到篮子中的资产遵循移位跳跃扩散模型，SDE（3.7）给出了动态，移位过程nδ（i）tot≥满足dδ（i）t=rδ（i）tdt。如果系统αi的解（θ，～β，～λ）- βiλi- r=nwXj=1γijθj-■βiλi，i=1，···，Υ（3.8）在命题A.1中陈述了命题3.1的一个更一般的版本，以表示完全态，但本文中没有实证使用。与风险中性定价度量P相关，则在该风险中性度量下，s（i）t=S（一）- biδ（i）e（r）-~βi~λi-Pnwj=1γij）t+Pnwj=1γijW（j）tN（i）tYl=1（Y（i）l+1）+biδ（i）ert。（3.9）证据。见附录A.1为了简化第5节中进行的经验工作的符号，我们将V（i）t=Pnwj=1γijσiW（j）t表示为σi=Pnwj=1γij。

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2022-5-5 07:24:24

图斯诺夫（i）托特≥0ρll=corr（V（l）t，V（l）t）=σlσlnwXj=1γljγlj，以及由此产生的lys（i）t的相关标准布朗运动=S（一）- biδ（i）e（r）-~βi~λi-使用σi）t+σiV（i）tN（i）tYl=1（Y（i）l+1）+biδ（i）ert（3.10）代替（3.9）。最后，我们指出，s-移位跳跃差异可能包含三种情况：o当δ（i）=0和λi=0 f或每种情况下的几何布朗运动（GBM）当每个资产i的∧i=0时，移动GBM对于每项资产i.4，标准跳跃差异wh enδ（i）=0。定价和套期保值方法我们的目标是在转移跳差模型下为欧洲篮子期权定价。该期权到期时的支付为（B）*T- K*)+, 由基础变量B驱动*t=ΥXi=1aiS（i）t，（4.1）其中K*是履约价格，a=（a，…，aΥ）′是篮子权重的向量，可以是正的，也可以是负的，T是到期时间。在实际应用的大多数模型中，篮B的概率密度*t通常不能以封闭形式获得。这里提出的方法是使用埃尔米特近似概率密度来避免这个问题，该概率密度将取代模型（3.10）所暗示的风险中性密度。此外，本文推导的近似密度是以这样的方式构造的，以精确匹配模型隐含风险中性密度的第一个m阶矩。Leccadito等人（2012年）提出了金融衍生品定价的埃尔米特树方法。简而言之，这个想法是将标的资产的对数收益的矩与离散随机变量的矩相匹配。这项工作详细阐述了Leccadito等人（2012年）提出的方法的一些变体，以应对可能出现负值的篮子。

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2022-5-5 07:24:29

特别是，二项分布随渐近相等高斯分布（编码为G）而改变，力矩匹配在表1中规定的两种不同类型的返回量（编码为A和B）上进行，其中Bt由方程（4.2）定义。此后，假定Bis不同于0。[关于这里的表1。]4.1. 篮子时刻我们方法中的第一步是根据基础资产模型的规定推导篮子时刻（4.1）。对于模型（3.10），考虑“移位篮子”Bt=ΥXi=1aiS（i）t- biδ（i）ert（4.2）和“转移执行价”K=K*-ΥXi=1aibiδ（i）ert。（4.3）出于实际目的，我们将计算移动篮子的力矩。命题4.1展示了如何计算这些力矩。提议4.1。在P下，Bt的k矩由uk=~E[Bkt]=ΥXi=1····ΥXik=1ai给出S（一）- biδ（i）e（r+ωi）t×·aikS（ik）- biδ（ik）e（r+ωik）tmgf（ei+…+eik）（4.4），其中ωj=-~βj~λj-σj，ej是在位置j和0处有1个向量的向量。此外，σiV（i）t+PN（i）tl=1log（Y（i）l+1的矩生成函数由mgf（u）=exp{tu′∑u/2}ΥYi=1mgfN（i）t给出ηiui+γiui/2（4.5）式中，∑表示V的协方差矩阵=V（1）t，··，V（Υ）t′, 和mgfn（i）t（u）=exp（t)λi（eu）- 1)). （4.6）证据。见附录A.2.4.2。方程（4.2）和（4.3）中的篮子和履约价格转移机制允许以两种等效方式重写欧洲篮子看涨期权价格：c=e-rTE[（B）*T- K*)+] = E-rTE[（BT- K）+]。（4.7）我们将使用表1中所述的两个埃尔米特近似变量，每个变量与篮子的特定目标数量相关。在本文所考虑的近似条件下，n-ext命题给出了欧洲看涨期权价格的公式。提议4.2。

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2022-5-5 07:24:33

带有Hermite扩展变型mGA或mGB的欧洲看涨期权的价格为b y:c=b[（φ+h）Φ(-h~z）+hg（~z）]- K e-rTΦ(-h~z）（4.8），其中g（~z）=φ（~z）m-2Xk=0аk+1Hk（аz），（4.9）k是移动的执行价格，h=0是变量mGA，h=1是变量mGB，h=sgn（B），аz是[J（аz）+h]BerT=k的解，φ（·）是标准正态密度函数，Φ（·）是标准正态累积分布函数。本文描述的方法由附录B中描述的各种计算工具支持，以确保内部一致性。证据见附录A.3下一个p位置报告了关于变量u的套期保值参数公式，该公式可以是任何数量S（i），B，σi，r，T，ai，＠λi，δ（i），＠βi，ηior＠i。对于命题4.2中定义的c、h、h、z、g（·）、φ（·）和Φ（·），根据埃尔米特扩展变量mGA或mGB，欧洲看涨期权关于变量U的套期保值参数由下式给出：Cu=证书E-rTu+Bhg′（~z）+φuφ(-h~z）++ E-rT（伯特）Uhg（~z）+φ(-h~z）+h-hΦ（z）+h+1（4.10）式中g′（~z）=φ（~z）m-2Xk=0~nk+1uHk（~z），（4.11）证明。参见第5.2节附录A.4，我们使用增量套期保值绩效作为衡量标准，将我们的方法与文献中的其他方法进行了比较。对于该练习，尤其重要的是，当nu=B时，应用公式（4.10）：Cu=Bhg′（~z）+φuφ(-h~z）++ hg（~z）+φ(-h~z）+h-hΦ（z）+h+1. (4.12)5. 经验比较5。1.定价性能新提出的方法的实用性可以通过与文献中其他已建立的方法进行比较来衡量。为此，在本节中，我们的Hermite近似方法的两种方法mGA和mGB直接与Borov kova等人（2007）的方法进行了基准测试。

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2022-5-5 07:24:36

此外，Pellizzari（2001）中定义的蒙特卡洛控制变量方法适用于具有方程式（3.10）规定的动态特性的资产。模型性能的确定考虑了三个误差指标：C1找到的最佳解决方案的数量，定义为在特定方法下达到最小平方误差的次数：C1l=Xi∈O明杰∈{BPW，mGA，mGB}SEji=SEli（5.1）其中O是考虑的选项集，对于每个选项i∈ O、 Seji是选项i和方法j的平方误差∈ {BP W，mGA，mGB}；C2一种方法无法为期权定价的次数，即矩匹配的过程给出的期权结果较差。当相对误差（Er）大于5%时，我们认为动量匹配较差：C2l=Xi∈O1{Erli>5%}（5.2）根据惯例，如果C2没有明确说明，它等于0。C3 MSE的平方根，仅相对于该方法能够找到数值解的选项计算。5.1.1. 多维模型比较本节与Borovkova等人（2007）中的方法进行了直接比较。表2总结了该文件中定价的六个篮子期权。特殊情况∧i=0、δ（i）=0和bi=1与方程式（3.10）结合，属于篮子中所有资产的GBMcase。表3包含比较结果。BP W的移位对数正态模型的价格与Borovkova等人（2007年）的价格不同，因为为了与本文中的其他模型一致，我们对基础资产为股票而非远期合同的篮子期权进行定价。实证结果表明，根据C1，方法6GA似乎是最好的方法。对于这六个基本选项，4GA和4GB方法给出了完全相同的价格，并且在C3（RMSE）下，它们实现了最佳性能。

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2022-5-5 07:24:39

对于本文分析的篮子，匹配所有六个矩几乎没有什么优势，当只匹配前四个矩时，埃尔米特近似法也能工作。[关于这里的表2。][关于这里的表3。]在本文中，1{·}将表示给定的指示函数，对于任何集合A，由1{A}（x）表示=1，如果x∈ A.0，否则。。5.1.2. 在一组模拟场景下进行比较考虑一组2000个随机生成的选项进行一般比较。具体而言，地下模型（3.10）的参数如下所示：o无风险利率r均匀分布在0.0和0.1之间；o波动性参数σi均匀分布在0.1和0.6之间到期时间T均匀分布在0.1至1年之间当前现货价格S（i）在70和130之间均匀分布篮子中资产的权重在-1和1之间均匀分布比率K*超过B*在0.95和1.05之间均匀分布位移δ（i）在-20和20之间均匀变化每项资产都有正概率（bi=1）或负概率（bi=1）-1）如果ted是sh泊松过程∧的强度在0和0.2之间均匀分布；对于每种情况，都会随机生成满足半正条件的相关矩阵。此外，期权价格场景分为两组，每组1000个期权：第一组包括500个期权，资产数量不均匀分布在2和10之间，300个期权，资产数量均匀分布在11和15之间，100个期权在16和20之间，100个期权在21和50之间。

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mingdashike22

2022-5-5 07:24:42

每个资产都有跳跃，平均规模（η）均匀分布在-0.3和0之间，波动率（η）均匀分布在0和0之间。3.集合2包括1000个期权，资产数量均匀分布在2和50之间，每个资产的平均规模（η）在-0.3和0.3之间，波动率（η）均匀分布在0和0.3之间。对于集合1中资产少于10个的篮子，计算结果时匹配m=4个矩，也匹配m=6个矩。如表4所示，m=6的结果优于m=4的结果。这与Corrado和Su（1997）的研究是一致的，他们的结论是，考虑四个以上的时刻“会产生严重的共线问题，因为所有偶数……（时刻）……彼此高度相关……（和）……同样，所有奇数下标（时刻）也高度相关”。因此，对于集合1中资产超过10项的篮子，以及集合2中的所有期权，我们仅对m=4进行了实证分析。此外，对于这两组篮子期权，Pellizzari（2001）中详细介绍的控制变量Monte Carlo方法被用作基准。根据考虑的资产数量，使用的模拟数量介于10和4·10之间。表4、表5、表6和表7总结了与集合1相关的结果，分别针对资产数量介于2-10、11-15、16-20和21-50之间的场景进行分组，而表8总结了该集合中所有1000个实例的结果。总体而言，4GA和4GB方法在RM SE（C3）方面给出的结果相同，对于短期到期，4GA方法略优于4GB方法。考虑到比较标准C2，4GB方法比其他方法好得多。

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2022-5-5 07:24:45

对于较小的到期日，BP W的表现略好于我们的方法，但与BP W方法相关的误差至少是所有其他比较数据的两倍。最后，考虑到C1，两种方法4GA和4GB的性能都比BP W好得多。应用BP W方法时，增加篮子中的资产数量会增加匹配选项的RM SE。BP W在不同类别中的表现几乎是不变的，只有在小到期日时才能看到轻微的改善（平均1.5个小数点）。此外，C2，即非匹配期权的百分比，随着资产数量的增加而增加，在利率较低、期限较短和货币期权方面表现更好。考虑C1，即最小误差数，对于篮子中11到20之间的多个资产，可以获得最佳结果。BP的WMD方法适用于更长的到期日。对于4GA，资产数量和C3之间似乎没有明确的关系。然而，我们的经验结果表明，C1和C2分别随着资产数量的增加而减少和增加。总的来说，我们可以得出结论，Hermite近似方法4GA和4GB h在大篮子上都有出色的性能。[关于这里的表4。][关于这里的表5。][关于这里的表6。][关于这里的表7。][关于此处的表8。]表9总结了集合2的结果，反映了考虑泊松过程强度所带来的挑战。对于该组中的分析，我们还考虑了一种由4GA和4GB两种方法组成的混合方法，该方法将被称为4GAB。如果4GA和4GB中只有一个工作正常，这种混合方法4GAB返回的方法的解与矩正确匹配。

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2022-5-5 07:24:48

如果4GA和4GB中只有一个找到了一个解，则进行比较时考虑了匹配前四个矩的方法的误差，或者如果两者都找到了数值解，则考虑了最严重的误差。尽管4GAB方法考虑了A和B变体之间最严重的误差，但它还是优于其他比较方法，能够在96.6%（1-C2）的情况下匹配所需的篮框力矩，并在84%的时间内达到最小误差（C1）。[关于这里的表9。]5.2. Delta套期保值pe rf绩效我们的公式（4.12）与BP W中提出的公式之间的动态Delta套期保值绩效比较（参见在那篇论文中）在这一节中有说明。为六个篮子期权生成了1000条模拟路径的样本，以s=1、···、1000为索引，具有1个月的套期保值滚动频率。考虑的篮子选项主要是表2中的选项，并进行了一些修改，以便进行更有意义的比较。下面详细介绍了这些选项的特点：o篮子1*和2*与表2中的1和2完全相同篮筐3*等于篮框3，但δ（i）=10·ie-rT，λi=0.3，ηi=-对于所有i=1，···，Υ；·篮4*等于篮子4，但δ（1）=0，δ（2）=50e-rT，b=-对于所有i=1，···，Υ；·篮子5*和6*分别等于篮5和篮6，但δ（i）=10·ie-rT，λi=0。对于每个路径，在每个时间步计算期权价格和期权增量。Delta hed ged投资组合的绩效评估通过三种不同的衡量标准进行：Borovkova等人（2007年）报告了期权对篮子中单个股票价格的敏感性公式。

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2022-5-5 07:24:52

对于BCA的灵敏度可以通过乘以硅B=人工智能。C4δ的平均波动率，定义为：C4l=Xi=1σli（5.3），其中σli是通过方法l沿路径I计算的δ的波动率。暗示波动性较小的Delta的定价方法更好，因为混合成本不会给投资者带来流动性压力；h边投资组合中MSE的C5平方根（每月）评估为：C5l=12ctn-1Xi=0hcti- cti+1+lti（Bti）- Bti+1）i（5.4），其中Cti是ti=T·i，n=12和LTI是在TIB方法l.C6-C10中计算的与到期时的期权价值相匹配的套期保值策略能力的时间差。在交易成本之外，我们评估套期保值投资组合在T到期时的价值离零有多远。在时间0时，套期保值投资组合包含看涨期权中的短期头寸，在篮子中的头寸和货币账户中的现金，使得投资组合在时间0时为空。在每个时间步中，篮中的位置数都会根据因此，货币账户。五个绩效指标用于评估货币绩效：次级套期保值的百分比（C6）、超级套期保值的百分比（C7）、次级套期保值和超级套期保值组合的平均误差（分别为C8和C9 r），以及所有模拟中的平均误差（C10）。表10中报告了hed老化性能的结果。4GA和4GB方法产生了非常好的结果，与4GA非常相似，只是稍微好一点，但这可能是由于定价选项中使用了特定的模拟。然而，对于除RMSE（C5）之外的所有性能度量，两种厄米近似方法都优于BP WMD方法。对于BP W，C6和C7几乎相同，表明这种方法可能会导致套期保值不足，但也可能导致过度套期保值。

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2022-5-5 07:24:55

同时，4GA和4GB方法似乎只是偶尔被套期保值，但如C10所示，套期保值误差很小。[关于这里的表10。]6.结论通过在篮子资产基础的扩散过程中引入移位参数，可以解释这些资产历史价格的经验特征。特别是，建模是建立在改进的基础上的，能够覆盖记录良好的负偏斜。然而，最近的技术对篮子作为一个整体的演化动力学施加了强有力的假设，寻找封闭形式的解决方案，并重新包装对数正态Black-Scholes型定价公式。在本文中，我们已经证明了这条路径是不必要的，并且我们已经强调了一种方法，它可以很好地与该领域的其他未来模型配合使用。我们在这里集中讨论了转移跳跃扩散模型，并通过经验模拟证明，我们的厄米展开方法可以提供与竞争方法一样好的定价结果，并且在许多情况下优于竞争方法。除此之外，我们还采用了套期保值作为比较工具，againour技术提供了出色的结果。我们认为，本文强调的改进结果并不令人满意，因为该技术基本上是基于匹配模型规格的前四个动量。因此，我们允许对每项资产的动态进行粒度规定，然后只确定篮子的力矩。虽然我们的论文主要关注的是均衡篮子，但很明显，同样的方法也可以应用于资产和模型的混合，只要m时刻可以轻松计算。参考文献Alexander，C.和Venkatarmanan，A.（2012）。多资产期权定价的解析近似。数学金融，22（4）：667-689。Barraquand，J.（1995年）。

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2022-5-5 07:24:58

高维多元欧洲证券的数值估值。管理科学，41（12）：1882-1891。Barraquand，J.和Martineau，D.（1995年）。高维多元美国证券的数值估值。《金融与定量分析杂志》，30（3）：383-405。Bjerksund，P.和Stensland，G.（2011）。封闭式价差期权估值。定量金融，第1-10页。Borovkova，S.，Permana，F.，和Weide，H.（2007）。一种封闭式方法，用于评估和对冲篮子和备用期权。衍生工具杂志，14（4）：8-24。Borovkova，S.，Perm an a，F.，和Weide，H.V.（2012）。通过一个简单的二叉树进行篮子和展布期权定价。《河流杂志》，19（4）：29-38。Borovkova，S.和Permana，F.J.（2007）。亚洲篮子期权和石油市场的隐含相关性。《第四届国际金融工程与应用学会国际会议论文集》，FEA\'07，第85-91页，美国加利福尼亚州阿纳海姆，ACTA出版社。布罗迪，M.和格拉斯曼，P.（2004）。高维美式期权定价的随机网格方法。计算金融杂志，7（4）：35-72。卡莫纳，R.和杜勒曼，V.（2003年）。定价和对冲差价期权。《暹罗评论》，45（4）：627-685。科拉多，C.J.和苏，T.（1997）。隐含波动率偏差和股票收益率偏差，以及股票期权价格隐含的峰度。《欧洲金融杂志》，3（1）：73-85。弗里特利，M.（2000）。最小熵鞅测度与不完全市场中的估值问题。数学金融，10（1）：39-52。温特，D.（1993）。编织篮子。风险，第51-52页。赫德·T.和周，Z.（2010）。sp读取期权定价的傅里叶变换方法。暹罗金融数学杂志，1（1）：142-157。贾罗，R.和陆克文，A.（1982）。任意随机过程的近似估值。《金融经济杂志》，10:347-369。Ju，N.（2002）。

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2022-5-5 07:25:01

通过T aylor扩展为亚洲和篮子期权定价。计算金融杂志，5（3）：79-103。Kim，I.J.（1990）。美式期权的分析估值。金融研究回顾，3（4）：547-572。柯克，E.（1995）。能源市场的相关性。管理能源价格，风险出版物和欧元，第71-78页。Korn，R.和Zeytun，S.（2013年）。有效的篮子蒙特卡罗期权定价是一种简单的分析近似。计算与应用数学杂志，243:48-59。Leccadito，A.，Toscano，P.，和Tunaru，R.（2012）。埃尔米特二叉树：衍生产品定价的一种新技术。《国际理论与应用金融杂志》，15（8）：1-36。Levy，E.（1992年）。欧洲平均汇率货币期权定价。《国际货币和金融杂志》，11（5）：474-491。李福（2000）。期权定价：SPD的灵活性如何？《衍生杂志》，7（4）：49-65。李明，邓S-J.，和周，J.（2008）。期权价格和希腊货币的闭式近似。技术报告3。李明、周俊杰和邓南杰（2010）。多资产利差期权定价和套期保值。定量金融，10（3）：305-324。朗斯塔夫，F.A.和施瓦茨，E.S.（2001）。通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。金融研究回顾，14（1）：113-47。Margrabe，W.（1978）。用一种资产交换另一种资产的期权价值。《金融杂志》，33（1）：177-186。米列夫斯基，M.A.和波斯纳，S.E.（1998）。对篮子期权进行估值的封闭形式近似。衍生工具杂志，5（4）：54-61。佩利扎里，P.（2001年）。利用均值控制变量对欧式期权进行有效的蒙特卡罗定价。《经济与金融决策》，24:107–126。波斯纳，S.E.和米列夫斯基，M.A.（1998）。通过高阶矩近似SPD来评估奇异选项。《金融工程杂志》，7（2）：54-61。鲁宾斯坦，M。

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mingdashike22

2022-5-5 07:25:03

(1981). 替代的差异期权定价。《金融杂志》，38（1）：213-217。鲁宾斯坦，M.（1998）。二叉树。衍生工具杂志，5（3）：20-27。Shreve，S.（2004）。金融随机演算2：连续时间模型。斯普林格金融公司第11号。斯普林格。特恩布尔，S.M.和韦克曼，L.M.（1991）。PricingeEuropean平均期权的快速算法。《金融与定量分析杂志》，26（3）：377-389。文卡特拉马南，A.和亚历山大，C.（2011）。闭式近似用于扩展选项。应用数学金融，18（5）：447-472。周，J.和王，X.（2008）。pricingAsian期权和篮子期权的精确闭式近似。商业和工业应用随机模型，24（4）：343-358。表1：本工作中考虑的Hermite方法变体的总结。第一列包含所考虑变量的名称：m代表匹配的矩数，G强调考虑了高斯分布的变换（如第二列中的变量Z所示），a和B识别用作近似随机变量的标准化收益（最后一列）。特别是，重新考虑了两个标准化收益a：变量a的构造方式是，近似随机变量的第一时刻为1，而变量B中的r回报的第一时刻为0。B如（4.2）所述，J（Z）的矩和最后一列中的量的矩在附录B.2中，Hk（x）表示第k阶埃尔米特多项式Hk（x）=(-1） kφ（x）kφ（x）xkwhereφ（·）是标准正态密度函数，并被确定为精确匹配近似随机变量（最后一列）的前m个矩。变体的名称接近r.v。

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2022-5-5 07:25:07

近似r.v.mGAJ（Z）=Pm-1k=0аkHk（Z）bTBERTMGBTBERT- 1表2：多维GBM模型下篮子选项的具体说明。本规范遵循Borovkova等人（2007年）的规定。其他相关参数包括等于3%的无风险利率、1年期、λ=0、δ（i）=0和bi=1。第一行表示[S（1），S（2），S（3）]，第二行表示[σ，σ，σ]，第三行表示[a，a，a]，第四行表示每对（i，j）资产的相关性ρi，j和第五个K*. 与Borovkova等人（2007年）的期权唯一不同之处在于，他们对一篮子远期合同的期权进行定价，而我们对一篮子资产的期权进行定价。篮子1篮子1篮子1篮子1篮子2篮子1篮子2篮子2篮子3篮子3篮子3篮子3篮子3篮子3篮子3篮子4篮子5篮子6篮子6篮子6篮子6公共公共公共体育[100120[[100120[150100[150[100[100[100[100[100[100[100[100[150[100[100[100[100[100[150[100[150[100[100[100[100[100[100[100[100[100[100[100，90[100[100[100[100[100[100[100[100[100[100[100[50[50[100[100[50[50[50[100[100[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[100[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[100[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[50[0.9，ρ1,2=0.9，ρ2,3=0.9ρ2,3=0.9ρ1,3=0.8ρ1,3=0.8履约价格20-50 104-140-30 35表3：多维GBM模型下的比较。该表记录了Borovkova等人（2007年）对六个篮子选项的比较。在第二列中，使用Pellizzari（2001）中的控制变量MonteCarlo方法，通过4×10模拟计算出的价格（bra-cket中的标准偏差）被视为基准。在第三栏中，是根据Borovkova等人（2007年）的方法计算的价格。当m=4和m=6时，最后四列包含方法mGA和mGB下的价格。

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mingdashike22

2022-5-5 07:25:11

最后两行报告了所考虑的两个误差测量值：C1——指定方法下达到的最小平方误差的百分比，C3——仅相对于该方法能够找到数值解的选项计算的MSE平方根。误差的第三个度量值C2表示相对误差大于5%的次数百分比始终等于0，表中未报告。4.bebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebebe56（0.0030）C1-33.33%16.67%16.67%66.67%33.3%C3-0.0635 0.0195 0.0195 0.0224 0.0454附录A。我是罗莎。1.命题证明3.1确定数量Γ（t）=e（r）-~βi~λi-Pnwj=1γij）t+Pnwj=1γijW（j）tN（i）tYl=1（Y（i）l+1）（A.1），并计算其在▄P-鞅测度下的期望。从方程（3.6）中，假设方程组（3.4）允许一个解，则得出E[Γ（t）]=ert。将id实体（3.9）的右侧分成两个不同的组成部分（i）t=[S（i）Γ（t）]+h-biΓ（t）δ（i）+biδ（i）ti（A.2），并取第二个括号中数量的贴现预期值-嗯-biΓ（t）δ（i）+biδ（i）ti=e-rtbi-~E[Γ（t）]δ（i）+~E[δ（i）t]= E-rtbi-ertδ（i）+ertδ（i）= 0（A.3），其中我们使用了nδ（i）tot的鞅性质≥0.因此，（A.2）中的第二个括号不影响预期，但只有第一个括号起作用。最后，通过使用（A.2）和（A.3），~Ehe-rtS（i）ti=~EhS（i）Γ（t）e-rti=S（i）得出证明结论。命题3.1可以概括如下。提议A.1。

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2022-5-5 07:25:14

命题3.1仍然适用于任何经过调整的过程nδ（i）tot≥0使)E[E-rtδ（i）t]=δ（i）。在这种情况下，SDEs（3.7）的解是：S（i）t=S（一）- biδ（i）e（r）-βiλi-Pnwj=1γi，j）t+Pnwj=1γi，jW（j）tN（i）tYl=1（Y（i）l+1）+biδ（i）t（A.4）证明。这个证明和命题3.1的证明是一样的，因为我们只使用了移位的鞅性质。A.2。命题4.1公式（4.4）的证明是通过公式（4.2）的幂运算得出的，其中（4.5）中σiV（i）t+PN（i）tl=1log（Y（i）l+1）的力矩生成函数是通过对Nt的条件作用计算的。A.3。命题4.2的证明这个命题可以通过考虑（4.7）中的第二个等式来证明：c=e-rTE[（BT- K）+]≈ E-rTZll伯特（J（z）+h）- Kφ（z）dz（A.5），其中，对于B>0，l=~z和l=+∞ 对于B<0，l=-∞ 对于（A.5）中的最后一个积分，附加ix B.1是有用的。A.4。命题4.3的证明套期参数的计算可以通过应用莱布尼茨规则直接微分近似定价公式（A.5）来实现。附录B中的结果在这里很有用。计算工具。1.定价公式工具（命题4.2）埃尔米特多项式满足递归关系hk（z）=zHk-1（z）- 好的-1（z）k=1，2。H（z）=1。因此，对于B>0Z+∞~zH（z）φ（z）dz=Φ(-~z）和k≥ 1Z+∞~zHk（z）φ（z）dz=z+∞~zzHk-1（z）φ（z）dz-Z+∞~zH′k-1（z）φ（z）dz。用φ′（z）=-zφ（z），z+∞~zHk（z）φ（z）dz=z+∞~zzHk-1（z）φ（z）dz+--香港-1（z）φ（z）|+∞~z+z+∞ZHK-1（z）φ（z）dz== 香港-1（~z）φ（~z），因此，z+∞~zJ（z）φ（z）dz=g（~z）+Φ(-~z）。（B.1）给定Hermite多项式的正交性特征，Z∞-∞对于n，Hk（z）φ（z）dx=0≥ 1，（B.2）对于B<0Zz-∞Hk（z）φ（z）dz=-香港-1（~z）φ（~z）和z ~z-∞J（z）φ（z）dz=-g（~z）+Φ（~z）。（B.3）B.2。约束的矩j（Z）=m的第k阶矩-1Xk=0 k kHk（Z）可计算为：~E[Jk]=mXi=0。mXik=0аi。

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能者818

2022-5-5 07:25:19

.ikE[Hi（Z）…Hik（Z）]。（B.4）应用埃尔米特多项式相对于标准正态概率密度函数是正交的性质（见方程式（B.2）），公式（B.4）变为E[J]=ν，~E[J]=Pmi=0i！νi和E[J]=+（3+6+18+72+360）+6+36+144+720+108+720+576+3600+648+8640+43200。对于k>3，公式（B.4）可以以闭合形式作为标准正态变量的矩的加权和进行计算，因为知道两个厄米多项式之间的乘积仍然是（非厄米）多项式，并且期望值是线性算子。公式很长，由于篇幅不足，此处不提供，但可根据作者的要求获得。表1中mGA的标准化篮子的第k个力矩由以下公式得出：~E“伯特k#=E[BkT]BkerkT（B.5），因此mGB的标准化篮子的第k阶矩由以下公式给出：~E“伯特- 1.k#=kXi=0基(-1）我（伯特）k-i~E[Bk-它（B.6）B.3。套期保值参数计算对于套期保值公式，方程式（B.1）和（B.3）是有用的。这些公式也可用于ZLL的计算J（z）uφ（z）dzJ（z）u=mXk=0~nkuHk（z）和，因此，J（z）和J（z）我们有相同的结构但是~nkutakes的位置是φk。最后是导数~nkX的计算方法如下。我们从系统开始：~E[J]=~E[XT]~E[J]=~E[XT]··············[Jm]=~E[XmT]式中，XT=BTBerT+手我们区分每个方程关于u的左侧和右侧。当根据当前状态计算导数时，我们对系统的解感兴趣，即当为，······，m时，Borovkova等人（2007）也使用了这种方法。而参数u是“u”。

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