我们还假设存在非随机函数Φ，并描述保守力的影响。这些力量来源于全球经济环境，并描述了特定市场运行的条件。下一步，我们可以将等式（9）分成实部和虚部：m电视- DU+（V·)五、- （U·)你！=-Φ，m屠- DV+（V·)U+（U·)V！=并在给定的实数Φ下，原则上求解得到的水动力方程组，但我们对可能的边界条件一无所知。接下来我们进行替换v=-2iD（lnψ）（10）在（9）中，经过一些代数变换[13]得到方程Dψ+iDtψ-Φ2mψ=0（11），如果用~/2m代替D，则取标准薛定谔方程形式：i~ψt=-~2米ψ + Φψ. （12） 得到的表达式（11）和（12）描述了复杂速度场潜在lnψ的价格动态。引入该潜力的可能性本身是基本金融潜力假设的结果。关系式D=~/2m（13）允许我们考虑与扩散成反比的资产惯性质量m。这里的常数是维度纵横比。很难从财务角度对m给出明确的解释。我们只强调低波动性（大“质量”）涉及高流动性。市场流动性是指资产在不引起重大价格变动且价值损失最小的情况下出售的能力。价格上涨幅度很小——当买入订单量和卖出订单量接近平衡时，市场将保持稳定。要做到这一点，具有不同投资视野的参与者必须在场。由于视野不同，且相差一百万倍，经济主体做出不同的决定（购买或出售）。

如果市场让投资者失去了不同的投资期限，那么流动性和稳定性就会降低。现代金融理论中没有市场流动性或稳定性的数值特征。这个角色的候选人可能是大众。根据（5），价格波动的平均二次速度为hvi≈ h（δx/δt）i=2D/δt，相应的能量表示为ε=mhvi/2≈ mD/δt。考虑到（13），并将时间间隔δt与时间分辨率τ相关联，我们得出了财务不确定性关系：ε·τ≈ ~/2.（14）因此，波动能量与时间间隔成反比。在量子力学中，零时间分辨率区间的传递没有物理意义（进行测量需要有限的能量）。在观察市场时，我们面临着一个不同的问题。用连续（τ）→ 0）观察价格看起来完全不同。固体轨迹消失了，我们只能看到滴答声（几乎）瞬间（带v）→ ∞) 改变。换句话说，价格在一段时间内保持其价值，然后下降。财务指标行为的这种高频模式消失，我们回到过渡到有限周期τ>0的连续路径。滴答声的统计数据需要另一种考虑[18]，这里不进行分析。5.回到经典力学在目前的方法中，我们在不引入概率密度的情况下得到了薛定谔方程。现在我们的理论必须通过统计解释来完成。ψ=A exp形式的ψ-函数的逆代换i~S（15） 转化为公式（10）给定SV=S/m（16）使得将S解释为经典动作成为可能。Schr¨odinger公式（12）中变量的相同替换产生了Bohm-Madelung方程组[26,27]：A.t=-2米[A]S+2A·[S]，-st=(S）2m+Φ-~2米AA。（17） 第一个等式。

（17） 由于（16）被转化为连续性方程：Pt=-（P·V）（18）对于函数P（x，t）=A=ψ*这可以解释为在一维价格空间的某个位置发现价格点的概率密度。根据（18），概率密度随电流速度v=S/m.（17）的第二个比值只不过是哈密顿-雅可比方程，其中嵌入了波姆形式的量子势[26]：Q=-~2米AA。与外力函数Φ相反，依赖于概率振幅的量子势必须反映交易者预期或解释[5]和[4]时的“心理ψ场”的影响。由于现代电子通信，金融代理人几乎可以立即获知所有价格变动，这可能会改变他们对市场的看法，即进行反过来影响报价的交易。波姆解释中的微粒波二象性是这种递归相互作用的量子模拟。我们还可以对通过函数U=D表达的势Q给出相当“经典”的解释P/Pit采用公式Q=-穆- 医学博士U的平均值Hqi=Zmupdx，其形式为能量，除平均外电势外。根据爱因斯坦的布朗运动理论（见[12]），这种能量是粒子在与外力平衡时获得的，用来平衡神的力量。我们可以称之为渗透速度。在我们的财务解释中，渗透压是由交易者订单总量的不平衡造成的。6.财务潜力全球财务潜力Φ在很长一段时间内似乎是恒定的。如果是这样的话，我们就有了固定的量子力学任务-S/t=E=const，平均速度V=S/m等于零。然后，薛定谔方程将tom（Φ- E） =2D√P√P

（19） 在这一点上，我们有机会从“实验”数据中提取潜在的Φ（x）（或相同的，估计渗透影响）。我们考虑了标准普尔500指数，并计算了两个时间图1的概率P（x）：标准普尔500指数区间：1997年至2002年和2003年至2008年（图1）。选定的时段包括长期上涨和下跌，分别包含327和311个交易周。（完整的数据集可在www.yahoo.com上获得）。研究发现，特定时期的差异分别为00169和00136。为了构造P（x），我们将选定的间隔划分为19个部分，并计算每个特定框中的时间步数。在无花果上。2和3 x位置是水平绘制的，出现的次数是垂直绘制的。直方图给出了我们的计数结果。图2：函数2D√P/√1997-2002年间标准普尔500指数的P（实线）与相应的分布P（x）（柱状图）。概率平方根的二阶导数计算为y“=（xk+1- 2xk+xk-1)/x、 与x=0.04如图1所示，在这两段时间内，现货价格均未超出价格范围（600；1600）$。所以我们可以假设势阱。然后，将P代入式（19）（图2和图3中的实线）的结果应视为井型的粗略估计。在这里，我们实际上解决了量子力学的返回问题，但不能完全准确地定义“散射”势，因为测试次数仅限于一次。它出现在无花果上。2和3考虑的两个时间间隔的井底振荡周期均为0,08。振荡的次数大致相同，但振荡的位置发生了移动。

图3的标识：函数2D√P/√2003-2008年期间标准普尔500指数的P（实线）与相应的分布P（x）（柱状图）。概率平方根的二阶导数计算为y“=（xk+1- 2xk+xk-1)/x、 与x=0.04未来时间段潜在函数更新的相同规律性可能有助于解决价格预测问题。7.变波动率与广义薛定谔方程现在我们来研究D<2的现象。已知相应的进程是持久的或“有内存的”。对于总范围1<D<2，可以构造的广义薛定谔方程是退化的、非物理的，如[14]所示。因此，我们只考虑D与2之间存在微小偏差的大多数市场的典型情况。在这种情况下，τ的尺度依赖性可以称为D。也就是说，假设随机过程是非平稳的，我们重写。（5） D<2的形式与标准布朗步行相似，hdξ±（t）i=±2D（t，τ）dt，定义了广义的尺度相关扩散系数（t，τ）=D′（t）τ（2/D）-1.（20）按照第3节的行，我们发现相应的时间导数运算符由等式（8）中相同的表达式给出，但现在D是由等式（20）给出的函数：^ddt=t+V - iD（t，τ）.在此之后，我们定义了系数hDi，即与变量t相关的常数，但与尺度相关，D=hDi+δD（t），并从公式ψ=AeiS/2mhDi中引入复函数ψ。那么ψ与复速度的关系为：V=-2ihDilnψ。此外，通过第4节的步骤，我们得到了广义薛定谔方程：Dψ+iψt=Φ2mhDi+δD(lnψ）！ψ. （21）因此，不同差异（波动性）的影响相当于改变标准Schr¨odinger方程中的电位形式。对价格中“记忆”的财务潜在反应的非线性onψ加法。

从基于价格空间分形和量子理论的市场混沌动力学未来发展的角度来看，这种行为可能会引起人们的兴趣。第二个结论是，每一个时间尺度（视界）都对应着自己的薛定谔方程。一个时间范围内的变化δD是必要的（例如外汇市场上的日内波动性波动[19]），其他则不是。假设δD<< D、 附加项的影响和D作为t函数的影响可以用微扰的方法来处理。在方程式上ψ+ihDiψt=Φ2m- hDi[ lnψ]δD（t）！ψ（22）适用于实际计算。8.结论因此，已经证明，金融市场的量子力学描述基于少量假设是可能的，即价格空间的分形（尺度不变性）和不可微性，以及价格动态的牛顿特性。在特定的框架下，价格现货被认为是经济和心理因素的粒子移动负压。显然，通过牛顿方程中累积金融潜力的经济因素首先定义了市场运行的一般条件，而由薛定谔方程驱动的“ψ场”潜力提供了轨迹的分形。我们认为波函数振幅是一个可测量的量，因为它可以直接从价格数据中估算出来。通过它，我们原则上可以得到主要市场因素的数学描述。研究波函数演化可能有助于解决价格可预测性问题。参考文献[1]E.黑文，Physica A 324（2003）201。[2] E.海文，Physica A 344（2004）142。[3] E.黑文，国际J.托尔。菲斯。44 (2005) 1957.[4] O.Choustova，Int.J.Theor。菲斯。47 (2008) 252.[5] Khrennikov，A.（2003年）。

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出版社（2000年）。